Theorem dchrmhm 27480

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrmhm	⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))

Proof of Theorem dchrmhm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
5		dchrmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6	1, 5	dchrrcl 27479	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 6, 5	dchrelbas 27475	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥)))
8	7	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥))
9	8	simpld 500	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
10	9	ssriv 3935	1 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  Basecbs 17304   MndHom cmhm 18892  mulGrpcmgp 20276  Unitcui 20499  ℂ_fldccnfld 21588  ℤ/nℤczn 21718  DChrcdchr 27471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-dchr 27472

This theorem is used by:  dchrzrh1  27483  dchrzrhmul  27485  dchrinvcl  27492  dchrfi  27494  dchrghm  27495  dchrabs  27499  dchrsum2  27507  sumdchr2  27509  sum2dchr  27513  dchrisum0flblem1  27747  rpvmasum2  27751