Theorem dchrmhm 25977

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrmhm	⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))

Proof of Theorem dchrmhm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
5		dchrmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6	1, 5	dchrrcl 25976	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 6, 5	dchrelbas 25972	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥)))
8	7	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥))
9	8	simpld 498	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
10	9	ssriv 3881	1 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3840   ⊆ wss 3843  {csn 4516   × cxp 5523  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  0cc0 10615  Basecbs 16586   MndHom cmhm 18070  mulGrpcmgp 19358  Unitcui 19511  ℂ_fldccnfld 20217  ℤ/nℤczn 20323  DChrcdchr 25968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-plusg 16681  df-dchr 25969

This theorem is referenced by:  dchrzrh1  25980  dchrzrhmul  25982  dchrinvcl  25989  dchrfi  25991  dchrghm  25992  dchrabs  25996  dchrsum2  26004  sumdchr2  26006  sum2dchr  26010  dchrisum0flblem1  26244  rpvmasum2  26248