Theorem dchrzrhcl 27233

Description: A Dirichlet character takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrzrh1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrhcl	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dchrzrhcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrzrh1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27230	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7	1, 3	dchrrcl 27228	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnnn0 12442	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11	2, 4, 10	znzrhfo 21529	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12		fof 6746	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
13	9, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
14		dchrzrh1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	13, 14	ffvelcdmd 7033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
16	6, 15	ffvelcdmd 7033	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  ℂcc 11034  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  Basecbs 17177  ℤRHomczrh 21481  ℤ/nℤczn 21484  DChrcdchr 27220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-ec 8642  df-qs 8646  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-imas 17470  df-qus 17471  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-nsg 19098  df-eqg 19099  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209  df-2idl 21250  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-zn 21488  df-dchr 27221

This theorem is referenced by:  dchrisumlem1  27477  dchrisumlem2  27478  dchrisumlem3  27479  dchrisum  27480  dchrmusumlema  27481  dchrmusum2  27482  dchrvmasumlem1  27483  dchrvmasum2lem  27484  dchrvmasum2if  27485  dchrvmasumlem3  27487  dchrvmasumiflem1  27489  dchrvmasumiflem2  27490  dchrvmaeq0  27492  dchrisum0fmul  27494  dchrisum0lema  27502  dchrisum0lem1b  27503  dchrisum0lem1  27504  dchrisum0lem2a  27505  dchrisum0lem2  27506  dchrisum0lem3  27507  dchrisum0  27508  dchrmusumlem  27510  dchrvmasumlem  27511