Theorem dchrzrhcl 27208

Description: A Dirichlet character takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrzrh1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrhcl	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dchrzrhcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrzrh1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27205	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7	1, 3	dchrrcl 27203	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnnn0 12508	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11	2, 4, 10	znzrhfo 21508	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12		fof 6790	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
13	9, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
14		dchrzrh1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	13, 14	ffvelcdmd 7075	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
16	6, 15	ffvelcdmd 7075	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  ℂcc 11127  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  Basecbs 17228  ℤRHomczrh 21460  ℤ/nℤczn 21463  DChrcdchr 27195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-ghm 19196  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-2idl 21211  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-zn 21467  df-dchr 27196

This theorem is referenced by:  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisumlem3  27454  dchrisum  27455  dchrmusumlema  27456  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2lem  27459  dchrvmasum2if  27460  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmasumiflem2  27465  dchrvmaeq0  27467  dchrisum0fmul  27469  dchrisum0lema  27477  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  dchrisum0  27483  dchrmusumlem  27485  dchrvmasumlem  27486