Theorem dchrzrhcl 25815

Description: A Dirichlet character takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrzrh1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrhcl	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dchrzrhcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrzrh1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 25812	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7	1, 3	dchrrcl 25810	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnnn0 11898	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11	2, 4, 10	znzrhfo 20688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12		fof 6584	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
13	9, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
14		dchrzrh1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	13, 14	ffvelrnd 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
16	6, 15	ffvelrnd 6846	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ⟶wf 6345  –onto→wfo 6347  ‘cfv 6349  ℂcc 10529  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  Basecbs 16477  ℤRHomczrh 20641  ℤ/nℤczn 20644  DChrcdchr 25802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-seq 13364  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-nsg 18271  df-eqg 18272  df-ghm 18350  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-rnghom 19461  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-lidl 19940  df-rsp 19941  df-2idl 19999  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zrh 20645  df-zn 20648  df-dchr 25803

This theorem is referenced by:  dchrisumlem1  26059  dchrisumlem2  26060  dchrisumlem3  26061  dchrisum  26062  dchrmusumlema  26063  dchrmusum2  26064  dchrvmasumlem1  26065  dchrvmasum2lem  26066  dchrvmasum2if  26067  dchrvmasumlem3  26069  dchrvmasumiflem1  26071  dchrvmasumiflem2  26072  dchrvmaeq0  26074  dchrisum0fmul  26076  dchrisum0lema  26084  dchrisum0lem1b  26085  dchrisum0lem1  26086  dchrisum0lem2a  26087  dchrisum0lem2  26088  dchrisum0lem3  26089  dchrisum0  26090  dchrmusumlem  26092  dchrvmasumlem  26093