Theorem dchrzrhcl 27536

Description: A Dirichlet character takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrzrh1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrhcl	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dchrzrhcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrzrh1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27533	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7	1, 3	dchrrcl 27531	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnnn0 12583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11	2, 4, 10	znzrhfo 21815	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12		fof 6784	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
13	9, 11, 12	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
14		dchrzrh1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	13, 14	ffvelcdmd 7073	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
16	6, 15	ffvelcdmd 7073	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6523  –onto→wfo 6525  ‘cfv 6527  ℂcc 11170  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  Basecbs 17349  ℤRHomczrh 21767  ℤ/nℤczn 21770  DChrcdchr 27523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-addf 11251  ax-mulf 11252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-seq 14114  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-0g 17574  df-imas 17642  df-qus 17643  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-nsg 19296  df-eqg 19297  df-ghm 19390  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-rhm 20664  df-subrng 20760  df-subrg 20784  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-lidl 21448  df-rsp 21449  df-2idl 21505  df-cnfld 21641  df-zring 21715  df-zrh 21771  df-zn 21774  df-dchr 27524

This theorem is used by:  dchrisumlem1  27780  dchrisumlem2  27781  dchrisumlem3  27782  dchrisum  27783  dchrmusumlema  27784  dchrmusum2  27785  dchrvmasumlem1  27786  dchrvmasum2lem  27787  dchrvmasum2if  27788  dchrvmasumlem3  27790  dchrvmasumiflem1  27792  dchrvmasumiflem2  27793  dchrvmaeq0  27795  dchrisum0fmul  27797  dchrisum0lema  27805  dchrisum0lem1b  27806  dchrisum0lem1  27807  dchrisum0lem2a  27808  dchrisum0lem2  27809  dchrisum0lem3  27810  dchrisum0  27811  dchrmusumlem  27813  dchrvmasumlem  27814