Theorem cxpi11d 42316

Description: i to the powers of 𝐴 and 𝐵 are equal iff 𝐴 and 𝐵 are a multiple of 4 apart. EDITORIAL: This theorem may be revised to a more convenient form. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpi11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpi11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpi11d	⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxpi11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11087	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
3		cxpi11d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		cxpi11d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		ine0 11573	. . . 4 ⊢ i ≠ 0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
7		ine1 42287	. . . 4 ⊢ i ≠ 1
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ≠ 1)
9	2, 3, 4, 6, 8	cxp112d 42314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)))))
10		2cn 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		picn 26383	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13	1, 12	mulcli 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		zcn 12494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
16		logcl 26493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (log‘i) ∈ ℂ)
17	1, 5, 16	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘i) ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (log‘i) ∈ ℂ)
19		logccne0 26503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ i ≠ 1) → (log‘i) ≠ 0)
20	1, 5, 7, 19	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘i) ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (log‘i) ≠ 0)
22	14, 15, 18, 21	div23d 11955	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)) = (((i · (2 · π)) / (log‘i)) · 𝑛))
23		logi 26512	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘i) = (i · (π / 2))
24	23	oveq2i 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · (2 · π)) / (log‘i)) = ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2)))
25	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℂ)
26		2ne0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
27	11, 10, 26	divcli 11884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
29	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
30		pine0 26385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ≠ 0
31	11, 10, 30, 26	divne0i 11890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (π / 2) ≠ 0)
33	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
34	25, 28, 29, 32, 33	divcan5d 11944	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2))) = ((2 · π) / (π / 2)))
35	34	mptru 1547	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2))) = ((2 · π) / (π / 2))
36	10, 11, 27, 31	divassi 11898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) / (π / 2)) = (2 · (π / (π / 2)))
37	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
38		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
39	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → π ≠ 0)
40	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
41	37, 38, 39, 40	ddcand 11938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (π / (π / 2)) = 2)
42	41	mptru 1547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / (π / 2)) = 2
43	42	oveq2i 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (π / (π / 2))) = (2 · 2)
44		2t2e4 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
45	36, 43, 44	3eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) / (π / 2)) = 4
46	24, 35, 45	3eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (2 · π)) / (log‘i)) = 4
47	46	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ (((i · (2 · π)) / (log‘i)) · 𝑛) = (4 · 𝑛)
48	22, 47	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)) = (4 · 𝑛))
49	48	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) = (𝐵 + (4 · 𝑛)))
50	49	eqeq2d 2740	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))
51	50	rexbiia 3074	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛)))
52	9, 51	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   / cdiv 11795  2c2 12201  4c4 12203  ℤcz 12489  πcpi 15991  logclog 26479  ↑_𝑐ccxp 26480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-cxp 26482

This theorem is referenced by: (None)