Theorem cxpi11d 43362

Description: i to the powers of 𝐴 and 𝐵 are equal iff 𝐴 and 𝐵 are a multiple of 4 apart. EDITORIAL: This theorem may be revised to a more convenient form. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpi11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpi11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpi11d	⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxpi11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11240	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
3		cxpi11d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		cxpi11d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		ine0 11732	. . . 4 ⊢ i ≠ 0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
7		ine1 43339	. . . 4 ⊢ i ≠ 1
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ≠ 1)
9	2, 3, 4, 6, 8	cxp112d 43360	. 2 ⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)))))
10		2cn 12399	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		picn 26767	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13	1, 12	mulcli 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		zcn 12679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
16		logcl 26878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (log‘i) ∈ ℂ)
17	1, 5, 16	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘i) ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (log‘i) ∈ ℂ)
19		logccne0 26888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ i ≠ 1) → (log‘i) ≠ 0)
20	1, 5, 7, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘i) ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (log‘i) ≠ 0)
22	14, 15, 18, 21	div23d 12111	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)) = (((i · (2 · π)) / (log‘i)) · 𝑛))
23		logi 26897	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘i) = (i · (π / 2))
24	23	oveq2i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · (2 · π)) / (log‘i)) = ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2)))
25	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℂ)
26		2ne0 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
27	11, 10, 26	divcli 12040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
29	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
30		pine0 26771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ≠ 0
31	11, 10, 30, 26	divne0i 12046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (π / 2) ≠ 0)
33	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
34	25, 28, 29, 32, 33	divcan5d 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2))) = ((2 · π) / (π / 2)))
35	34	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2))) = ((2 · π) / (π / 2))
36	10, 11, 27, 31	divassi 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) / (π / 2)) = (2 · (π / (π / 2)))
37	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
38		2cnd 12402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
39	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → π ≠ 0)
40	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
41	37, 38, 39, 40	ddcand 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (π / (π / 2)) = 2)
42	41	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / (π / 2)) = 2
43	42	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (π / (π / 2))) = (2 · 2)
44		2t2e4 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
45	36, 43, 44	3eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) / (π / 2)) = 4
46	24, 35, 45	3eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (2 · π)) / (log‘i)) = 4
47	46	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ (((i · (2 · π)) / (log‘i)) · 𝑛) = (4 · 𝑛)
48	22, 47	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)) = (4 · 𝑛))
49	48	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) = (𝐵 + (4 · 𝑛)))
50	49	eqeq2d 2772	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))
51	50	rexbiia 3108	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛)))
52	9, 51	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182  ici 11183   + caddc 11184   · cmul 11186   / cdiv 11954  2c2 12378  4c4 12380  ℤcz 12674  πcpi 16212  logclog 26864  ↑_𝑐ccxp 26865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867

This theorem is used by: (None)