Theorem cxpi11d 43487

Description: i to the powers of 𝐴 and 𝐵 are equal iff 𝐴 and 𝐵 are a multiple of 4 apart. EDITORIAL: This theorem may be revised to a more convenient form. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpi11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpi11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpi11d	⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxpi11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11262	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
3		cxpi11d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		cxpi11d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		ine0 11754	. . . 4 ⊢ i ≠ 0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
7		ine1 43464	. . . 4 ⊢ i ≠ 1
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → i ≠ 1)
9	2, 3, 4, 6, 8	cxp112d 43485	. 2 ⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)))))
10		2cn 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		picn 26790	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13	1, 12	mulcli 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		zcn 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
16		logcl 26901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (log‘i) ∈ ℂ)
17	1, 5, 16	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘i) ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (log‘i) ∈ ℂ)
19		logccne0 26911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ i ≠ 1) → (log‘i) ≠ 0)
20	1, 5, 7, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘i) ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (log‘i) ≠ 0)
22	14, 15, 18, 21	div23d 12133	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)) = (((i · (2 · π)) / (log‘i)) · 𝑛))
23		logi 26920	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘i) = (i · (π / 2))
24	23	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · (2 · π)) / (log‘i)) = ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2)))
25	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℂ)
26		2ne0 12452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
27	11, 10, 26	divcli 12062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
29	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
30		pine0 26794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ≠ 0
31	11, 10, 30, 26	divne0i 12068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (π / 2) ≠ 0)
33	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
34	25, 28, 29, 32, 33	divcan5d 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2))) = ((2 · π) / (π / 2)))
35	34	mptru 1576	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · (2 · π)) / (i · (π / 2))) = ((2 · π) / (π / 2))
36	10, 11, 27, 31	divassi 12076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) / (π / 2)) = (2 · (π / (π / 2)))
37	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
38		2cnd 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
39	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → π ≠ 0)
40	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
41	37, 38, 39, 40	ddcand 12116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (π / (π / 2)) = 2)
42	41	mptru 1576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / (π / 2)) = 2
43	42	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (π / (π / 2))) = (2 · 2)
44		2t2e4 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
45	36, 43, 44	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) / (π / 2)) = 4
46	24, 35, 45	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (2 · π)) / (log‘i)) = 4
47	46	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ (((i · (2 · π)) / (log‘i)) · 𝑛) = (4 · 𝑛)
48	22, 47	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i)) = (4 · 𝑛))
49	48	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) = (𝐵 + (4 · 𝑛)))
50	49	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) ↔ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))
51	50	rexbiia 3107	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (((i · (2 · π)) · 𝑛) / (log‘i))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛)))
52	9, 51	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → ((i↑𝑐𝐴) = (i↑𝑐𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + (4 · 𝑛))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208   / cdiv 11976  2c2 12400  4c4 12402  ℤcz 12696  πcpi 16237  logclog 26887  ↑_𝑐ccxp 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cxp 26890

This theorem is used by: (None)