Theorem 41prothprmlem1 42555

Description: Lemma 1 for 41prothprm 42557. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 11848	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 6932	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 11861	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 11385	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 11461	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 10384	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 10799	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2802	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 6932	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 11450	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 11486	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11131	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4d2e2 11552	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 6933	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 11661	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 11867	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2802	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2802	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2802	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   − cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  4c4 11432  ;cdc 11845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-dec 11846

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  42556