Theorem 41prothprmlem1 48671

Description: Lemma 1 for 41prothprm 48673. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12810	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7428	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12827	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12338	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12421	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11309	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11733	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7428	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12411	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12442	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 12066	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4div2e2 12507	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7429	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12616	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12833	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2784	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534   / cdiv 11966  2c2 12390  4c4 12392  ;cdc 12807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-dec 12808

This theorem is used by:  41prothprmlem2  48672