Theorem 41prothprmlem1 48251

Description: Lemma 1 for 41prothprm 48253. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12710	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7418	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12239	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12322	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11212	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11634	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7418	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12312	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12343	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11967	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4div2e2 12408	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12733	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2792	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2792	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437   / cdiv 11867  2c2 12291  4c4 12293  ;cdc 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-dec 12708

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  48252