Theorem 41prothprmlem1 46275

Description: Lemma 1 for 41prothprm 46277. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12679	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7418	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12692	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12221	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12296	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11220	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11637	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7418	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12315	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11969	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4d2e2 12381	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12697	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2760	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  4c4 12268  ;cdc 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  46276