Theorem 41prothprmlem1 42565

Description: Lemma 1 for 41prothprm 42567. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 11852	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 6934	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 11865	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 11389	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 11465	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 10386	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 10801	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2802	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 6934	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 11454	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 11490	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11133	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4d2e2 11556	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 6935	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 11665	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 11871	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2802	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2802	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2802	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   − cmin 10608   / cdiv 11034  2c2 11434  4c4 11436  ;cdc 11849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-dec 11850

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  42566