Theorem 41prothprmlem1 48520

Description: Lemma 1 for 41prothprm 48522. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12739	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12756	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12267	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11240	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11662	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7423	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12340	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12371	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11995	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4div2e2 12436	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12762	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2783	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465   / cdiv 11895  2c2 12319  4c4 12321  ;cdc 12736

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-dec 12737

This theorem is used by:  41prothprmlem2  48521