Theorem 41prothprmlem1 47744

Description: Lemma 1 for 41prothprm 47746. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12599	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7364	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12612	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12144	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12219	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11128	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11550	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7364	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12209	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12238	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11886	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4div2e2 12299	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7365	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12407	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12617	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2756	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020   − cmin 11353   / cdiv 11783  2c2 12189  4c4 12191  ;cdc 12596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-dec 12597

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47745