Theorem 41prothprmlem1 48092

Description: Lemma 1 for 41prothprm 48094. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12638	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12651	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12175	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12257	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11565	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7370	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12247	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12276	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11902	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4div2e2 12337	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12656	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2760	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  4c4 12229  ;cdc 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-dec 12636

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  48093