Theorem 41prothprmlem1 47016

Description: Lemma 1 for 41prothprm 47018. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12705	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12718	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12247	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12322	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11246	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11663	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7423	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12312	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12341	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11995	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4d2e2 12407	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12723	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2753	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   − cmin 11469   / cdiv 11896  2c2 12292  4c4 12294  ;cdc 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-dec 12703

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47017