Theorem 41prothprmlem1 46880

Description: Lemma 1 for 41prothprm 46882. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem1	⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Proof of Theorem 41prothprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ;41
2		dfdec10 12702	. . . . . 6 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
3	1, 2	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((;10 · 4) + 1)
4	3	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ (𝑃 − 1) = (((;10 · 4) + 1) − 1)
5		10nn 12715	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 12244	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		4cn 12319	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11243	. . . . 5 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
9		pncan1 11660	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 4) ∈ ℂ → (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((;10 · 4) + 1) − 1) = (;10 · 4)
11	4, 10	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (𝑃 − 1) = (;10 · 4)
12	11	oveq1i 7424	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((;10 · 4) / 2)
13		2cn 12309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12338	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	6, 7, 13, 14	divassi 11992	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = (;10 · (4 / 2))
16		4d2e2 12404	. . . . 5 ⊢ (4 / 2) = 2
17	16	oveq2i 7425	. . . 4 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = (;10 · 2)
18		2nn0 12511	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	dec0u 12720	. . . 4 ⊢ (;10 · 2) = ;20
20	17, 19	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (;10 · (4 / 2)) = ;20
21	15, 20	eqtri 2755	. 2 ⊢ ((;10 · 4) / 2) = ;20
22	12, 21	eqtri 2755	1 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   − cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  4c4 12291  ;cdc 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-dec 12700

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  46881