Theorem 6lcm4e12 15661

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 11403	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 11395	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 10334	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 11599	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 11688	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 11697	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 463	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
8		lcmcl 15646	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 11638	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
11		gcdcl 15560	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11638	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
13	7, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
14		4ne0 11424	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2971	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 481	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17	7, 16	pm3.2i 463	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0))
18		gcdn0cl 15556	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
20	19	nnne0i 11349	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
21	13, 20	pm3.2i 463	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
22		6nn 11401	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
23		4nn 11393	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
24	22, 23	pm3.2i 463	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
25		lcmgcdnn 15656	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
27	26	eqcomd 2803	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
28		divmul3 10980	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
29	27, 28	mpbird 249	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
30	29	eqcomd 2803	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
31	3, 10, 21, 30	mp3an 1586	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
32		6gcd4e2 15587	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
33	32	oveq2i 6887	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
34		2cn 11384	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		2ne0 11420	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
36	1, 2, 34, 35	divassi 11071	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
37		4d2e2 11486	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
38	37	oveq2i 6887	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
39		6t2e12 11885	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
40	36, 38, 39	3eqtri 2823	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
41	31, 33, 40	3eqtri 2823	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969  (class class class)co 6876  ℂcc 10220  0cc0 10222  1c1 10223   · cmul 10227   / cdiv 10974  ℕcn 11310  2c2 11364  4c4 11366  6c6 11368  ℤcz 11662  ;cdc 11779   gcd cgcd 15548   lcm clcm 15633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-dvds 15317  df-gcd 15549  df-lcm 15635

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15692