Theorem 6lcm4e12 15537

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 11304	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 11300	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 10247	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 11515	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 11604	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 11613	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 447	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
8		lcmcl 15522	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 11555	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
11		gcdcl 15436	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11555	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
13	7, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
14		4ne0 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2945	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 474	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17	7, 16	pm3.2i 447	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0))
18		gcdn0cl 15432	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
20	19	nnne0i 11257	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
21	13, 20	pm3.2i 447	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
22		6nn 11391	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
23		4nn 11389	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
24	22, 23	pm3.2i 447	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
25		lcmgcdnn 15532	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
27	26	eqcomd 2777	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
28		divmul3 10892	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
29	27, 28	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
30	29	eqcomd 2777	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
31	3, 10, 21, 30	mp3an 1572	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
32		6gcd4e2 15463	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
33	32	oveq2i 6804	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
34		2cn 11293	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		2ne0 11315	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
36	1, 2, 34, 35	divassi 10983	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
37		4d2e2 11386	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
38	37	oveq2i 6804	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
39		6t2e12 11842	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
40	36, 38, 39	3eqtri 2797	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
41	31, 33, 40	3eqtri 2797	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   / cdiv 10886  ℕcn 11222  2c2 11272  4c4 11274  6c6 11276  ℤcz 11579  ;cdc 11695   gcd cgcd 15424   lcm clcm 15509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-lcm 15511

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15568