MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6lcm4e12 16617
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 12355 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 12349 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 11271 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 12545 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 12639 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 12648 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 16602 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 12586 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 690 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 16506 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12586 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 690 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 469 . . . . . 6 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 12372 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
1514neii 2932 . . . . . . 7 ¬ 4 = 0
1615intnan 485 . . . . . 6 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 16502 . . . . . 6 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 690 . . . . 5 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 12304 . . . 4 (6 gcd 4) ≠ 0
2012, 19pm3.2i 469 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21 6nn 12353 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
22 4nn 12347 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2321, 22pm3.2i 469 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24 lcmgcdnn 16612 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2523, 24mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2625eqcomd 2732 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27 divmul3 11928 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
2826, 27mpbird 256 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
2928eqcomd 2732 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
303, 9, 20, 29mp3an 1458 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31 6gcd4e2 16539 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3231oveq2i 7435 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33 2cn 12339 . . . 4 2 ∈ ℂ
34 2ne0 12368 . . . 4 2 ≠ 0
351, 2, 33, 34divassi 12021 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36 4d2e2 12434 . . . 4 (4 / 2) = 2
3736oveq2i 7435 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38 6t2e12 12833 . . 3 (6 · 2) = 12
3935, 37, 383eqtri 2758 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4030, 32, 393eqtri 2758 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  (class class class)co 7424  cc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  6c6 12323  cz 12610  cdc 12729   gcd cgcd 16494   lcm clcm 16589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-lcm 16591
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16648  lcm4un  41715
  Copyright terms: Public domain W3C validator