Theorem 6lcm4e12 16771

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12415	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 12409	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11297	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 12608	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 12702	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 12711	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
7		lcmcl 16756	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12650	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mp2an 705	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
10		gcdcl 16656	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12650	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
12	5, 6, 11	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
13	5, 6	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14		4ne0 12435	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2958	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 492	. . . . . 6 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17		gcdn0cl 16652	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
18	13, 16, 17	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
19	18	nnne0i 12359	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
20	12, 19	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21		6nn 12413	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
22		4nn 12407	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
23	21, 22	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24		lcmgcdnn 16766	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
25	23, 24	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	25	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27		divmul3 11960	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
28	26, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
29	28	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
30	3, 9, 20, 29	mp3an 1490	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31		6gcd4e2 16691	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
32	31	oveq2i 7423	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33		2cn 12399	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		2ne0 12430	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
35	1, 2, 33, 34	divassi 12054	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36		4div2e2 12495	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
37	36	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38		6t2e12 12904	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
39	35, 37, 38	3eqtri 2788	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
40	30, 32, 39	3eqtri 2788	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  4c4 12380  6c6 12382  ℤcz 12674  ;cdc 12795   gcd cgcd 16644   lcm clcm 16743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-lcm 16745

This theorem is used by:  lcmf2a3a4e12  16802  lcm4un  43034