Theorem 6lcm4e12 16712

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12360	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 12354	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11244	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 12553	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 12647	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 12656	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
7		lcmcl 16697	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12595	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mp2an 705	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
10		gcdcl 16602	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12595	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
12	5, 6, 11	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
13	5, 6	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14		4ne0 12380	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2959	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 492	. . . . . 6 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17		gcdn0cl 16598	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
18	13, 16, 17	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
19	18	nnne0i 12304	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
20	12, 19	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21		6nn 12358	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
22		4nn 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
23	21, 22	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24		lcmgcdnn 16707	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
25	23, 24	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	25	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27		divmul3 11905	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
28	26, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
29	28	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
30	3, 9, 20, 29	mp3an 1490	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31		6gcd4e2 16634	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
32	31	oveq2i 7428	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33		2cn 12344	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		2ne0 12375	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
35	1, 2, 33, 34	divassi 11999	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36		4div2e2 12440	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
37	36	oveq2i 7428	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38		6t2e12 12849	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
39	35, 37, 38	3eqtri 2789	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
40	30, 32, 39	3eqtri 2789	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133   / cdiv 11899  ℕcn 12261  2c2 12323  4c4 12325  6c6 12327  ℤcz 12619  ;cdc 12740   gcd cgcd 16590   lcm clcm 16684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-gcd 16591  df-lcm 16686

This theorem is used by:  lcmf2a3a4e12  16743  lcm4un  42890