MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6lcm4e12 16560
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 12307 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 12301 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 11225 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 12497 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 12591 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 12600 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 16545 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 12538 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 689 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 16454 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12538 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 689 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 470 . . . . . 6 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 12324 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
1514neii 2936 . . . . . . 7 ¬ 4 = 0
1615intnan 486 . . . . . 6 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 16450 . . . . . 6 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 689 . . . . 5 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 12256 . . . 4 (6 gcd 4) ≠ 0
2012, 19pm3.2i 470 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21 6nn 12305 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
22 4nn 12299 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2321, 22pm3.2i 470 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24 lcmgcdnn 16555 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2523, 24mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2625eqcomd 2732 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27 divmul3 11881 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
2826, 27mpbird 257 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
2928eqcomd 2732 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
303, 9, 20, 29mp3an 1457 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31 6gcd4e2 16487 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3231oveq2i 7416 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33 2cn 12291 . . . 4 2 ∈ ℂ
34 2ne0 12320 . . . 4 2 ≠ 0
351, 2, 33, 34divassi 11974 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36 4d2e2 12386 . . . 4 (4 / 2) = 2
3736oveq2i 7416 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38 6t2e12 12785 . . 3 (6 · 2) = 12
3935, 37, 383eqtri 2758 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4030, 32, 393eqtri 2758 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   / cdiv 11875  cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  6c6 12275  cz 12562  cdc 12681   gcd cgcd 16442   lcm clcm 16532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-lcm 16534
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16591  lcm4un  41397
  Copyright terms: Public domain W3C validator