Theorem 6lcm4e12 16583

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12270	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 12264	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11150	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 12456	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 12550	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 12559	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
7		lcmcl 16568	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12498	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mp2an 698	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
10		gcdcl 16473	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12498	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
12	5, 6, 11	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
13	5, 6	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14		4ne0 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2937	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 487	. . . . . 6 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17		gcdn0cl 16469	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
18	13, 16, 17	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
19	18	nnne0i 12215	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
20	12, 19	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21		6nn 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
22		4nn 12262	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
23	21, 22	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24		lcmgcdnn 16578	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
25	23, 24	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	25	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27		divmul3 11812	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
28	26, 27	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
29	28	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
30	3, 9, 20, 29	mp3an 1469	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31		6gcd4e2 16505	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
32	31	oveq2i 7374	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33		2cn 12254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		2ne0 12283	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
35	1, 2, 33, 34	divassi 11909	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36		4div2e2 12344	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
37	36	oveq2i 7374	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38		6t2e12 12746	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
39	35, 37, 38	3eqtri 2767	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
40	30, 32, 39	3eqtri 2767	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  4c4 12236  6c6 12238  ℤcz 12522  ;cdc 12642   gcd cgcd 16461   lcm clcm 16555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-lcm 16557

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16614  lcm4un  42508