Theorem 6lcm4e12 16527

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12216	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 12210	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11119	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 12402	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 12497	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 12506	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
7		lcmcl 16512	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12444	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
10		gcdcl 16417	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12444	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
12	5, 6, 11	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
13	5, 6	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14		4ne0 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2930	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 486	. . . . . 6 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17		gcdn0cl 16413	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
18	13, 16, 17	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
19	18	nnne0i 12165	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
20	12, 19	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21		6nn 12214	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
22		4nn 12208	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24		lcmgcdnn 16522	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
25	23, 24	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	25	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27		divmul3 11781	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
28	26, 27	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
29	28	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
30	3, 9, 20, 29	mp3an 1463	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31		6gcd4e2 16449	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
32	31	oveq2i 7357	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33		2cn 12200	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		2ne0 12229	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
35	1, 2, 33, 34	divassi 11877	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36		4d2e2 12290	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
37	36	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38		6t2e12 12692	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
39	35, 37, 38	3eqtri 2758	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
40	30, 32, 39	3eqtri 2758	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  4c4 12182  6c6 12184  ℤcz 12468  ;cdc 12588   gcd cgcd 16405   lcm clcm 16499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-lcm 16501

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16558  lcm4un  42055