Theorem 6lcm4e12 16633

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12306	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 12300	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11186	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 12499	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 12593	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 12602	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
7		lcmcl 16618	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12541	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mp2an 702	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
10		gcdcl 16523	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12541	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
12	5, 6, 11	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
13	5, 6	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14		4ne0 12326	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2958	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 490	. . . . . 6 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17		gcdn0cl 16519	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
18	13, 16, 17	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
19	18	nnne0i 12250	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
20	12, 19	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21		6nn 12304	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
22		4nn 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
23	21, 22	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24		lcmgcdnn 16628	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
25	23, 24	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	25	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27		divmul3 11847	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
28	26, 27	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
29	28	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
30	3, 9, 20, 29	mp3an 1481	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31		6gcd4e2 16555	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
32	31	oveq2i 7403	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33		2cn 12290	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		2ne0 12321	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
35	1, 2, 33, 34	divassi 11944	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36		4div2e2 12386	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
37	36	oveq2i 7403	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38		6t2e12 12794	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
39	35, 37, 38	3eqtri 2788	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
40	30, 32, 39	3eqtri 2788	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  4c4 12271  6c6 12273  ℤcz 12565  ;cdc 12685   gcd cgcd 16511   lcm clcm 16605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-lcm 16607

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16664  lcm4un  42597