MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6lcm4e12 15661
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 11403 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 11395 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 10334 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 11599 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 11688 . . . . 5 6 ∈ ℤ
6 4z 11697 . . . . 5 4 ∈ ℤ
75, 6pm3.2i 463 . . . 4 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
8 lcmcl 15646 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11638 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
107, 9ax-mp 5 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
11 gcdcl 15560 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11638 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
137, 12ax-mp 5 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
14 4ne0 11424 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
1514neii 2971 . . . . . . . 8 ¬ 4 = 0
1615intnan 481 . . . . . . 7 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
177, 16pm3.2i 463 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0))
18 gcdn0cl 15556 . . . . . 6 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (6 gcd 4) ∈ ℕ
2019nnne0i 11349 . . . 4 (6 gcd 4) ≠ 0
2113, 20pm3.2i 463 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
22 6nn 11401 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
23 4nn 11393 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2422, 23pm3.2i 463 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
25 lcmgcdnn 15656 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2726eqcomd 2803 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
28 divmul3 10980 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
2927, 28mpbird 249 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
3029eqcomd 2803 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
313, 10, 21, 30mp3an 1586 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
32 6gcd4e2 15587 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3332oveq2i 6887 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
34 2cn 11384 . . . 4 2 ∈ ℂ
35 2ne0 11420 . . . 4 2 ≠ 0
361, 2, 34, 35divassi 11071 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
37 4d2e2 11486 . . . 4 (4 / 2) = 2
3837oveq2i 6887 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
39 6t2e12 11885 . . 3 (6 · 2) = 12
4036, 38, 393eqtri 2823 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4131, 33, 403eqtri 2823 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  (class class class)co 6876  cc 10220  0cc0 10222  1c1 10223   · cmul 10227   / cdiv 10974  cn 11310  2c2 11364  4c4 11366  6c6 11368  cz 11662  cdc 11779   gcd cgcd 15548   lcm clcm 15633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-dvds 15317  df-gcd 15549  df-lcm 15635
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15692
  Copyright terms: Public domain W3C validator