MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6lcm4e12 16654
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 12358 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 12352 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 11269 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 12549 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 12644 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 12653 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 16639 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 12591 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 692 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 16544 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12591 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 692 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 470 . . . . . 6 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 12375 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
1514neii 2941 . . . . . . 7 ¬ 4 = 0
1615intnan 486 . . . . . 6 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 16540 . . . . . 6 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 692 . . . . 5 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 12307 . . . 4 (6 gcd 4) ≠ 0
2012, 19pm3.2i 470 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21 6nn 12356 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
22 4nn 12350 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2321, 22pm3.2i 470 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24 lcmgcdnn 16649 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2523, 24mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2625eqcomd 2742 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27 divmul3 11928 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
2826, 27mpbird 257 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
2928eqcomd 2742 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
303, 9, 20, 29mp3an 1462 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31 6gcd4e2 16576 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3231oveq2i 7443 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33 2cn 12342 . . . 4 2 ∈ ℂ
34 2ne0 12371 . . . 4 2 ≠ 0
351, 2, 33, 34divassi 12024 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36 4d2e2 12437 . . . 4 (4 / 2) = 2
3736oveq2i 7443 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38 6t2e12 12839 . . 3 (6 · 2) = 12
3935, 37, 383eqtri 2768 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4030, 32, 393eqtri 2768 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  4c4 12324  6c6 12326  cz 12615  cdc 12735   gcd cgcd 16532   lcm clcm 16626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-lcm 16628
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16685  lcm4un  42018
  Copyright terms: Public domain W3C validator