MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6lcm4e12 15959
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 11727 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 11721 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 10647 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 11917 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 12006 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 12015 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 15944 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 11956 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 690 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 15854 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11956 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 690 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 473 . . . . . 6 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 11744 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
1514neii 3018 . . . . . . 7 ¬ 4 = 0
1615intnan 489 . . . . . 6 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 15850 . . . . . 6 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 690 . . . . 5 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 11676 . . . 4 (6 gcd 4) ≠ 0
2012, 19pm3.2i 473 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
21 6nn 11725 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
22 4nn 11719 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2321, 22pm3.2i 473 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
24 lcmgcdnn 15954 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2523, 24mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2625eqcomd 2827 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
27 divmul3 11302 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
2826, 27mpbird 259 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
2928eqcomd 2827 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
303, 9, 20, 29mp3an 1457 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
31 6gcd4e2 15885 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3231oveq2i 7166 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
33 2cn 11711 . . . 4 2 ∈ ℂ
34 2ne0 11740 . . . 4 2 ≠ 0
351, 2, 33, 34divassi 11395 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
36 4d2e2 11806 . . . 4 (4 / 2) = 2
3736oveq2i 7166 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
38 6t2e12 12201 . . 3 (6 · 2) = 12
3935, 37, 383eqtri 2848 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4030, 32, 393eqtri 2848 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  (class class class)co 7155  cc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   / cdiv 11296  cn 11637  2c2 11691  4c4 11693  6c6 11695  cz 11980  cdc 12097   gcd cgcd 15842   lcm clcm 15931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-lcm 15933
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15990
  Copyright terms: Public domain W3C validator