Theorem qreccl 12917

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12898	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		nnne0 12209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
3	2	ancli 553	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0))
4		neeq1 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
5		zcn 12527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
7	5, 6	anim12i 619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
8		divne0b 11818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
9	8	3expa 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
10	7, 9	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
11	10	bicomd 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
12	4, 11	sylan9bbr 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
13		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
14		zmulcl 12574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
15	13, 14	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
17		msqznn 12609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
18	17	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
19	16, 18	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
20	19	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
21	20	adantlr 721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
22		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (1 / 𝐴) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
23		divid 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
25	24	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
26		simpll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
29		divdivdiv 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
30	26, 27, 27, 28, 29	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
31	25, 30	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
32	31	an4s 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
33	7, 32	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
34	33	anass1rs 661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
35	22, 34	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
36	35	an32s 658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
37	21, 36	jca 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))
38	37	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
39	12, 38	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
40	39	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
41	40	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
42	3, 41	sylan2 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
43		rspceov 7412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
44	43	3expa 1124	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
45		elq 12898	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
46	44, 45	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
47	42, 46	syl8 76	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)))
48	47	rexlimivv 3182	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
49	1, 48	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
50	49	imp 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   / cdiv 11805  ℕcn 12172  ℤcz 12522  ℚcq 12896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-q 12897

This theorem is referenced by:  qdivcl  12918  qexpclz  14041  qsubdrg  21401  mpaaeu  43602