Theorem qreccl 12864

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		nnne0 12156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
3	2	ancli 548	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0))
4		neeq1 2990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
5		zcn 12470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		nncn 12130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
7	5, 6	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
8		divne0b 11784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
9	8	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
10	7, 9	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
11	10	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
12	4, 11	sylan9bbr 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
13		nnz 12486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
14		zmulcl 12518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
15	13, 14	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
17		msqznn 12552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
18	17	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
19	16, 18	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
20	19	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
21	20	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
22		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (1 / 𝐴) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
23		divid 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
25	24	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
26		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
29		divdivdiv 11819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
30	26, 27, 27, 28, 29	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
31	25, 30	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
32	31	an4s 660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
33	7, 32	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
34	33	anass1rs 655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
35	22, 34	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
36	35	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
37	21, 36	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))
38	37	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
39	12, 38	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
40	39	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
41	40	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
42	3, 41	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
43		rspceov 7395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
44	43	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
45		elq 12845	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
46	44, 45	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
47	42, 46	syl8 76	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)))
48	47	rexlimivv 3174	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
49	1, 48	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
50	49	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   / cdiv 11771  ℕcn 12122  ℤcz 12465  ℚcq 12843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-q 12844

This theorem is referenced by:  qdivcl  12865  qexpclz  13985  qsubdrg  21354  mpaaeu  43182