MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qreccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qreccl 12989
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12970 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
2 nnne0 12282 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
32ancli 547 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
4 neeq1 2999 . . . . . . . . . 10 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
5 zcn 12599 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 nncn 12256 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
75, 6anim12i 611 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚))
8 divne0b 11919 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
983expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
107, 9sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
1110bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
124, 11sylan9bbr 509 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
13 nnz 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
14 zmulcl 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
1513, 14sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
17 msqznn 12680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
1817adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
1916, 18jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
2019adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
2120adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
22 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (1 / ๐ด) = (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
23 divid 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฅ) = 1)
2423adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฅ) = 1)
2524oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
26 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
27 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
28 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
29 divdivdiv 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3125, 30eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3231an4s 658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
337, 32sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3433anass1rs 653 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3522, 34sylan9eqr 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3635an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3721, 36jca 510 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))
3837ex 411 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))))
3912, 38sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))))
4039ex 411 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
4140anasss 465 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
423, 41sylan2 591 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
43 rspceov 7471 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
44433expa 1115 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
45 elq 12970 . . . . . 6 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
4644, 45sylibr 233 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)
4742, 46syl8 76 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)))
4847rexlimivv 3195 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š))
491, 48sylbi 216 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š))
5049imp 405 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  โˆƒwrex 3066  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   ยท cmul 11149   / cdiv 11907  โ„•cn 12248  โ„คcz 12594  โ„šcq 12968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-q 12969
This theorem is referenced by:  qdivcl  12990  qexpclz  14084  qsubdrg  21357  mpaaeu  42577
  Copyright terms: Public domain W3C validator