MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qreccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qreccl 12893
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12874 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
2 nnne0 12186 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
32ancli 549 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
4 neeq1 3006 . . . . . . . . . 10 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
5 zcn 12503 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 nncn 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
75, 6anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚))
8 divne0b 11823 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
983expa 1118 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
107, 9sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
1110bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
124, 11sylan9bbr 511 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
13 nnz 12519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
14 zmulcl 12551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
1513, 14sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
17 msqznn 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
1817adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
1916, 18jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
2019adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
2120adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
22 oveq2 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (1 / ๐ด) = (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
23 divid 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฅ) = 1)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฅ) = 1)
2524oveq1d 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
26 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
27 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
29 divdivdiv 11855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3125, 30eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3231an4s 658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
337, 32sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3433anass1rs 653 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3522, 34sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3635an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3721, 36jca 512 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))
3837ex 413 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))))
3912, 38sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))))
4039ex 413 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
4140anasss 467 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
423, 41sylan2 593 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
43 rspceov 7403 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
44433expa 1118 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
45 elq 12874 . . . . . 6 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
4644, 45sylibr 233 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)
4742, 46syl8 76 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)))
4847rexlimivv 3196 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š))
491, 48sylbi 216 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š))
5049imp 407 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2943  โˆƒwrex 3073  (class class class)co 7356  โ„‚cc 11048  0cc0 11050  1c1 11051   ยท cmul 11055   / cdiv 11811  โ„•cn 12152  โ„คcz 12498  โ„šcq 12872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-q 12873
This theorem is referenced by:  qdivcl  12894  qexpclz  13986  qsubdrg  20847  mpaaeu  41454
  Copyright terms: Public domain W3C validator