MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qreccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qreccl 12954
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12935 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
2 nnne0 12247 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
32ancli 548 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
4 neeq1 2997 . . . . . . . . . 10 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
5 zcn 12564 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 nncn 12221 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
75, 6anim12i 612 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚))
8 divne0b 11884 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
983expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
107, 9sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
1110bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
124, 11sylan9bbr 510 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
13 nnz 12580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
14 zmulcl 12612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
1513, 14sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
17 msqznn 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
1817adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
1916, 18jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
2019adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
2120adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•))
22 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (1 / ๐ด) = (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
23 divid 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฅ) = 1)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฅ) = 1)
2524oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
26 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
27 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))
29 divdivdiv 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3125, 30eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3231an4s 657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
337, 32sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3433anass1rs 652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3522, 34sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3635an32s 649 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))
3721, 36jca 511 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))
3837ex 412 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))))
3912, 38sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ)))))
4039ex 412 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
4140anasss 466 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
423, 41sylan2 592 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))))))
43 rspceov 7451 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
44433expa 1115 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
45 elq 12935 . . . . . 6 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (1 / ๐ด) = (๐‘ง / ๐‘ค))
4644, 45sylibr 233 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โˆง (1 / ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) / (๐‘ฅ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)
4742, 46syl8 76 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)))
4847rexlimivv 3193 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š))
491, 48sylbi 216 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š))
5049imp 406 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„คcz 12559  โ„šcq 12933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-q 12934
This theorem is referenced by:  qdivcl  12955  qexpclz  14050  qsubdrg  21309  mpaaeu  42451
  Copyright terms: Public domain W3C validator