Theorem pw2divsassd 28602

Description: An associative law for division by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2divsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsassd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28578	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsassd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28590	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2ne0s 28579	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
8		expsne0 28595	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9	3, 7, 4, 8	mp3an12i 1491	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
10		pw2recs 28597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	4, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
12	1, 2, 6, 9, 11	divsasswd 28362	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  (class class class)co 7411   No csur 27770   0_s c0s 27964   1_s c1s 27965   ·_s cmuls 28265   /_su cdivs 28346  ℕ_0scn0s 28471  2_sc2s 28569  ↑_scexps 28571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-nadd 8652  df-no 27773  df-lts 27774  df-bday 27775  df-les 27875  df-slts 27917  df-cuts 27919  df-0s 27966  df-1s 27967  df-made 27986  df-old 27987  df-left 27989  df-right 27990  df-norec 28097  df-norec2 28108  df-adds 28119  df-negs 28180  df-subs 28181  df-muls 28266  df-divs 28347  df-seqs 28443  df-n0s 28473  df-nns 28474  df-zs 28538  df-2s 28570  df-exps 28572

This theorem is referenced by:  pw2divscan4d  28603  pw2cut2  28621  z12shalf  28639