Theorem pw2divsassd 28711

Description: An associative law for division by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2divsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsassd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28687	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsassd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28699	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2ne0s 28688	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
8		expsne0 28704	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9	3, 7, 4, 8	mp3an12i 1494	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
10		pw2recs 28706	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	4, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
12	1, 2, 6, 9, 11	divsasswd 28471	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  (class class class)co 7414   No csur 27879   0_s c0s 28073   1_s c1s 28074   ·_s cmuls 28374   /_su cdivs 28455  ℕ_0scn0s 28580  2_sc2s 28678  ↑_scexps 28680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-nadd 8657  df-no 27882  df-lts 27883  df-bday 27884  df-les 27984  df-slts 28026  df-cuts 28028  df-0s 28075  df-1s 28076  df-made 28095  df-old 28096  df-left 28098  df-right 28099  df-norec 28206  df-norec2 28217  df-adds 28228  df-negs 28289  df-subs 28290  df-muls 28375  df-divs 28456  df-seqs 28552  df-n0s 28582  df-nns 28583  df-zs 28647  df-2s 28679  df-exps 28681

This theorem is used by:  pw2divscan4d  28712  pw2cut2  28730  z12shalf  28748