Theorem pw2divsassd 28689

Description: An associative law for division by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2divsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsassd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28665	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsassd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28677	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2ne0s 28666	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
8		expsne0 28682	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9	3, 7, 4, 8	mp3an12i 1494	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
10		pw2recs 28684	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	4, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
12	1, 2, 6, 9, 11	divsasswd 28449	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  (class class class)co 7419   No csur 27857   0_s c0s 28051   1_s c1s 28052   ·_s cmuls 28352   /_su cdivs 28433  ℕ_0scn0s 28558  2_sc2s 28656  ↑_scexps 28658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-nadd 8658  df-no 27860  df-lts 27861  df-bday 27862  df-les 27962  df-slts 28004  df-cuts 28006  df-0s 28053  df-1s 28054  df-made 28073  df-old 28074  df-left 28076  df-right 28077  df-norec 28184  df-norec2 28195  df-adds 28206  df-negs 28267  df-subs 28268  df-muls 28353  df-divs 28434  df-seqs 28530  df-n0s 28560  df-nns 28561  df-zs 28625  df-2s 28657  df-exps 28659

This theorem is used by:  pw2divscan4d  28690  pw2cut2  28708  z12shalf  28726