Theorem pw2divsassd 28335

Description: An associative law for division by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2divsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsassd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2sno 28311	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsassd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28323	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2ne0s 28312	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
8		expsne0 28328	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9	3, 7, 4, 8	mp3an12i 1467	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
10		pw2recs 28330	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	4, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
12	1, 2, 6, 9, 11	divsasswd 28111	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7349   No csur 27549   0_s c0s 27736   1_s c1s 27737   ·_s cmuls 28014   /_su cdivs 28095  ℕ_0scnn0s 28211  2_sc2s 28302  ↑_scexps 28304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-nadd 8584  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sle 27655  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-0s 27738  df-1s 27739  df-made 27757  df-old 27758  df-left 27760  df-right 27761  df-norec 27850  df-norec2 27861  df-adds 27872  df-negs 27932  df-subs 27933  df-muls 28015  df-divs 28096  df-seqs 28183  df-n0s 28213  df-nns 28214  df-zs 28272  df-2s 28303  df-exps 28305

This theorem is referenced by:  pw2divscan4d  28336  zs12half  28357