Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvadiaN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvadiaN 38302
Description: Any closed subspace is a member of the range of partial isomorphism A, showing the isomorphism maps onto the set of closed subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvadiaN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dvadiaN
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
2 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3 dvadia.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
42, 3lssss 19683 . . . . . . 7 (𝑋𝑆𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
54ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
6 dvadia.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 eqid 2821 . . . . . . . 8 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dvadia.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
96, 7, 8, 2dvavbase 38187 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
109adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
115, 10sseqtrd 3983 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
12 dvadia.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13 dvadia.n . . . . . 6 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
146, 7, 12, 13docaclN 38298 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
1511, 14syldan 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
166, 7, 12diaelrnN 38219 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran 𝐼) → ( 𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
1715, 16syldan 594 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
186, 7, 12, 13docaclN 38298 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran 𝐼)
1917, 18syldan 594 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran 𝐼)
201, 19eqeltrrd 2913 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3910  ran crn 5529  cfv 6328  Basecbs 16461  LSubSpclss 19678  HLchlt 36524  LHypclh 37158  LTrncltrn 37275  DVecAcdveca 38176  DIsoAcdia 38202  ocAcocaN 38293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36127
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-plusg 16556  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-lss 19679  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672  df-lplanes 36673  df-lvols 36674  df-lines 36675  df-psubsp 36677  df-pmap 36678  df-padd 36970  df-lhyp 37162  df-laut 37163  df-ldil 37278  df-ltrn 37279  df-trl 37333  df-dveca 38177  df-disoa 38203  df-docaN 38294
This theorem is referenced by:  diarnN  38303
  Copyright terms: Public domain W3C validator