Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvadiaN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvadiaN 40829
Description: Any closed subspace is a member of the range of partial isomorphism A, showing the isomorphism maps onto the set of closed subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvadiaN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dvadiaN
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
2 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3 dvadia.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
42, 3lssss 20915 . . . . . . 7 (𝑋𝑆𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
54ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
6 dvadia.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dvadia.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
96, 7, 8, 2dvavbase 40714 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
109adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
115, 10sseqtrd 4020 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
12 dvadia.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13 dvadia.n . . . . . 6 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
146, 7, 12, 13docaclN 40825 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
1511, 14syldan 589 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
166, 7, 12diaelrnN 40746 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran 𝐼) → ( 𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
1715, 16syldan 589 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
186, 7, 12, 13docaclN 40825 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran 𝐼)
1917, 18syldan 589 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran 𝐼)
201, 19eqeltrrd 2827 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑆 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  ran crn 5685  cfv 6556  Basecbs 17215  LSubSpclss 20910  HLchlt 39050  LHypclh 39685  LTrncltrn 39802  DVecAcdveca 40703  DIsoAcdia 40729  ocAcocaN 40820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-riotaBAD 38653
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-undef 8290  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-plusg 17281  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-proset 18322  df-poset 18340  df-plt 18357  df-lub 18373  df-glb 18374  df-join 18375  df-meet 18376  df-p0 18452  df-p1 18453  df-lat 18459  df-clat 18526  df-lss 20911  df-oposet 38876  df-ol 38878  df-oml 38879  df-covers 38966  df-ats 38967  df-atl 38998  df-cvlat 39022  df-hlat 39051  df-llines 39199  df-lplanes 39200  df-lvols 39201  df-lines 39202  df-psubsp 39204  df-pmap 39205  df-padd 39497  df-lhyp 39689  df-laut 39690  df-ldil 39805  df-ltrn 39806  df-trl 39860  df-dveca 40704  df-disoa 40730  df-docaN 40821
This theorem is referenced by:  diarnN  40830
  Copyright terms: Public domain W3C validator