Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvadiaN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvadiaN 40633
Description: Any closed subspace is a member of the range of partial isomorphism A, showing the isomorphism maps onto the set of closed subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvadia.u π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvadia.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvadia.n βŠ₯ = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvadia.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvadiaN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dvadiaN
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)
2 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 dvadia.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
42, 3lssss 20827 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
54ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
6 dvadia.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dvadia.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96, 7, 8, 2dvavbase 40518 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
109adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
115, 10sseqtrd 4022 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
12 dvadia.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dvadia.n . . . . . 6 βŠ₯ = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
146, 7, 12, 13docaclN 40629 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
1511, 14syldan 589 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
166, 7, 12diaelrnN 40550 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
1715, 16syldan 589 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
186, 7, 12, 13docaclN 40629 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ ran 𝐼)
1917, 18syldan 589 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ ran 𝐼)
201, 19eqeltrrd 2830 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  LSubSpclss 20822  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  DVecAcdveca 40507  DIsoAcdia 40533  ocAcocaN 40624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-lss 20823  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-docaN 40625
This theorem is referenced by:  diarnN  40634
  Copyright terms: Public domain W3C validator