Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diarnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diarnN 38418
 Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
diarnN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   (𝑥)

Proof of Theorem diarnN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvadia.u . . . 4 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
3 dvadia.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4 dvadia.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
51, 2, 3, 4diasslssN 38348 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼𝑆)
6 sseqin2 4145 . . 3 (ran 𝐼𝑆 ↔ (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
75, 6sylib 221 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
8 dvadia.n . . . . . . 7 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
91, 3, 8doca3N 38416 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑥)) = 𝑥)
109ex 416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ‘( 𝑥)) = 𝑥))
1110adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ‘( 𝑥)) = 𝑥))
121, 2, 3, 8, 4dvadiaN 38417 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥)) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
1312expr 460 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → (( ‘( 𝑥)) = 𝑥𝑥 ∈ ran 𝐼))
1411, 13impbid 215 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥))
1514rabbi2dva 4147 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
167, 15eqtr3d 2838 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ran crn 5524  ‘cfv 6328  LSubSpclss 19699  HLchlt 36639  LHypclh 37273  DVecAcdveca 38291  DIsoAcdia 38317  ocAcocaN 38408 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36242 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-lss 19700  df-oposet 36465  df-cmtN 36466  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tendo 38044  df-edring 38046  df-dveca 38292  df-disoa 38318  df-docaN 38409 This theorem is referenced by:  diaf1oN  38419
 Copyright terms: Public domain W3C validator