Theorem diarnN 40464

Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadia.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n	⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diarnN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   ⊥ (𝑥)

Proof of Theorem diarnN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadia.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvadia.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
3		dvadia.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		dvadia.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	diasslssN 40394	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
6		sseqin2 4215	. . 3 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
7	5, 6	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
8		dvadia.n	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
9	1, 3, 8	doca3N 40462	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
10	9	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
12	1, 2, 3, 8, 4	dvadiaN 40463	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
13	12	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥 → 𝑥 ∈ ran 𝐼))
14	11, 13	impbid 211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
15	14	rabbi2dva 4217	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})
16	7, 15	eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ran crn 5677  ‘cfv 6543  LSubSpclss 20774  HLchlt 38684  LHypclh 39319  DVecAcdveca 40337  DIsoAcdia 40363  ocAcocaN 40454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38287

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-lss 20775  df-oposet 38510  df-cmtN 38511  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-llines 38833  df-lplanes 38834  df-lvols 38835  df-lines 38836  df-psubsp 38838  df-pmap 38839  df-padd 39131  df-lhyp 39323  df-laut 39324  df-ldil 39439  df-ltrn 39440  df-trl 39494  df-tendo 40090  df-edring 40092  df-dveca 40338  df-disoa 40364  df-docaN 40455

This theorem is referenced by:  diaf1oN  40465