Theorem diarnN 41112

Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadia.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n	⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diarnN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   ⊥ (𝑥)

Proof of Theorem diarnN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadia.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvadia.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
3		dvadia.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		dvadia.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	diasslssN 41042	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
6		sseqin2 4231	. . 3 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
7	5, 6	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
8		dvadia.n	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
9	1, 3, 8	doca3N 41110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
10	9	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
12	1, 2, 3, 8, 4	dvadiaN 41111	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
13	12	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥 → 𝑥 ∈ ran 𝐼))
14	11, 13	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
15	14	rabbi2dva 4234	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})
16	7, 15	eqtr3d 2777	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ran crn 5690  ‘cfv 6563  LSubSpclss 20947  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecAcdveca 40985  DIsoAcdia 41011  ocAcocaN 41102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-lss 20948  df-oposet 39158  df-cmtN 39159  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-docaN 41103

This theorem is referenced by:  diaf1oN  41113