Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diarnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diarnN 39805
Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
diarnN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   (𝑥)

Proof of Theorem diarnN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvadia.u . . . 4 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
3 dvadia.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4 dvadia.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
51, 2, 3, 4diasslssN 39735 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼𝑆)
6 sseqin2 4211 . . 3 (ran 𝐼𝑆 ↔ (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
75, 6sylib 217 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
8 dvadia.n . . . . . . 7 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
91, 3, 8doca3N 39803 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑥)) = 𝑥)
109ex 413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ‘( 𝑥)) = 𝑥))
1110adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ‘( 𝑥)) = 𝑥))
121, 2, 3, 8, 4dvadiaN 39804 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥)) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
1312expr 457 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → (( ‘( 𝑥)) = 𝑥𝑥 ∈ ran 𝐼))
1411, 13impbid 211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥))
1514rabbi2dva 4213 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
167, 15eqtr3d 2773 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3431  cin 3943  wss 3944  ran crn 5670  cfv 6532  LSubSpclss 20491  HLchlt 38025  LHypclh 38660  DVecAcdveca 39678  DIsoAcdia 39704  ocAcocaN 39795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-riotaBAD 37628
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-undef 8240  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-lss 20492  df-oposet 37851  df-cmtN 37852  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-llines 38174  df-lplanes 38175  df-lvols 38176  df-lines 38177  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664  df-laut 38665  df-ldil 38780  df-ltrn 38781  df-trl 38835  df-tendo 39431  df-edring 39433  df-dveca 39679  df-disoa 39705  df-docaN 39796
This theorem is referenced by:  diaf1oN  39806
  Copyright terms: Public domain W3C validator