Theorem diarnN 41965

Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadia.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n	⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diarnN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   ⊥ (𝑥)

Proof of Theorem diarnN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadia.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvadia.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
3		dvadia.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		dvadia.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	diasslssN 41895	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
6		sseqin2 4176	. . 3 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
7	5, 6	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = ran 𝐼)
8		dvadia.n	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
9	1, 3, 8	doca3N 41963	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
10	9	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
12	1, 2, 3, 8, 4	dvadiaN 41964	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
13	12	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥 → 𝑥 ∈ ran 𝐼))
14	11, 13	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥))
15	14	rabbi2dva 4178	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∩ ran 𝐼) = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})
16	7, 15	eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  LSubSpclss 21106  HLchlt 40186  LHypclh 40820  DVecAcdveca 41838  DIsoAcdia 41864  ocAcocaN 41955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-riotaBAD 39789

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-proset 18376  df-poset 18395  df-plt 18410  df-lub 18426  df-glb 18427  df-join 18428  df-meet 18429  df-p0 18505  df-p1 18506  df-lat 18514  df-clat 18581  df-lss 21107  df-oposet 40012  df-cmtN 40013  df-ol 40014  df-oml 40015  df-covers 40102  df-ats 40103  df-atl 40134  df-cvlat 40158  df-hlat 40187  df-llines 40334  df-lplanes 40335  df-lvols 40336  df-lines 40337  df-psubsp 40339  df-pmap 40340  df-padd 40632  df-lhyp 40824  df-laut 40825  df-ldil 40940  df-ltrn 40941  df-trl 40995  df-tendo 41591  df-edring 41593  df-dveca 41839  df-disoa 41865  df-docaN 41956

This theorem is used by:  diaf1oN  41966