Theorem dvdsmultr2d 16270

Description: Deduction form of dvdsmultr2 16269. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmultr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdsmultr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdsmultr2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdsmultr2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr2d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmultr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmultr2d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
2		dvdsmultr2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		dvdsmultr2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dvdsmultr2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		dvdsmultr2 16269	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
7	1, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7369   · cmul 11045  ℤcz 12526   ∥ cdvds 16223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-ltxr 11186  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-n0 12440  df-z 12527  df-dvds 16224

This theorem is referenced by:  aks4d1p9  42529  flt4lem5  43085