Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p9 40545
Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p9.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p9.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p9.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p9.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p9
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12227 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12256 . . . . . . . . . 10 0 < 2
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
5 aks4d1p9.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
6 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
87zred 12607 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9 0red 11158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10 3re 12233 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12 3pos 12258 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 3)
14 eluzle 12776 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
169, 11, 8, 13, 15ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
17 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
2017, 19ltned 11291 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 2)
2120necomd 2999 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 1)
222, 4, 8, 16, 21relogbcld 40430 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2322resqcld 14030 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
24 aks4d1p9.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
25 aks4d1p9.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
26 aks4d1p9.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
275, 24, 25, 26aks4d1p4 40536 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
2827simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ (1...𝐵))
29 elfznn 13470 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
315, 24, 25, 26aks4d1p8 40544 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
3230, 7, 313jca 1128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
33 odzcl 16665 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
3534nnzd 12526 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
36 flge 13710 . . . . . . 7 ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ) → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
3723, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
3837biimpd 228 . . . . 5 (𝜑 → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
3938imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
4030nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
427adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4334nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
4542, 44zexpcld 13993 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) ∈ ℤ)
46 1zzd 12534 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ∈ ℤ)
4745, 46zsubcld 12612 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
485, 25aks4d1lem1 40519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))
4948simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
5049nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5149nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝐵)
522, 4, 50, 51, 21relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
5352flcld 13703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
54 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
559, 4gtned 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5654, 55, 213jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
57 logb1 26119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
59 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
612leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≤ 2)
62 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 1
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 1)
6449nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
6560, 61, 17, 63, 50, 51, 64logblebd 40433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
6658, 65eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
67 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
68 flge 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6952, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
7066, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
7153, 70jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
72 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
7371, 72sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
747, 73zexpcld 13993 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
75 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
767adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
77 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7877nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7978adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8076, 79zexpcld 13993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
81 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
8280, 81zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
8375, 82fprodzcl 15837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
8474, 83zmulcld 12613 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
8524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
8685eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
8784, 86mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8887adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
89 iddvds 16152 . . . . . . . . . . 11 (((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ → ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁))
91 odzdvds 16667 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁)))
9232, 43, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁)))
9390, 92mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
9493adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
9573adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
9642, 95zexpcld 13993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
97 fzfid 13878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
9842adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
9977adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
10099nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10198, 100zexpcld 13993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
102 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
103101, 102zsubcld 12612 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
10497, 103fprodzcl 15837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((od𝑅)‘𝑁) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)))
106105breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((od𝑅)‘𝑁) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘)))
107 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ⊆ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
1087adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
109 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
111110nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
112108, 111zexpcld 13993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
113 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
114112, 113zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑥) − 1) ∈ ℤ)
115114fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)):(1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))⟶ℤ)
11675, 107, 115fprodfvdvdsd 16216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘))
117116adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘))
11822adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
119118resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
120119flcld 13703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
12135adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
12234nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ ((od𝑅)‘𝑁))
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ≤ ((od𝑅)‘𝑁))
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
12546, 120, 121, 123, 124elfzd 13432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
126106, 117, 125rspcdva 3582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘))
127 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)))
128 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁))
129128oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁)) → (𝑁𝑥) = (𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)))
130129oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁)) → ((𝑁𝑥) − 1) = ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
131127, 130, 125, 47fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) = ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
132 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)))
133 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
134133oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑘))
135134oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝑁𝑥) − 1) = ((𝑁𝑘) − 1))
136 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
137132, 135, 136, 103fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) = ((𝑁𝑘) − 1))
138137prodeq2dv 15806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
139131, 138breq12d 5118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
140126, 139mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
14147, 96, 104, 140dvdsmultr2d 16181 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
14224a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
143141, 142breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ 𝐴)
14441, 47, 88, 94, 143dvdstrd 16177 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅𝐴)
145144ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅𝐴))
146145adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅𝐴))
147146imp 407 . . . 4 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅𝐴)
14839, 147mpdan 685 . . 3 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅𝐴)
14927simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑅𝐴)
150149adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ¬ 𝑅𝐴)
151148, 150pm2.65da 815 . 2 (𝜑 → ¬ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
15234nnred 12168 . . 3 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15323, 152ltnled 11302 . 2 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁) ↔ ¬ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)))
154151, 153mpbird 256 1 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  5c5 12211  9c9 12215  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cfl 13695  cceil 13696  cexp 13967  cprod 15788  cdvds 16136   gcd cgcd 16374  odcodz 16635   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-lcm 16466  df-lcmf 16467  df-prm 16548  df-odz 16637  df-phi 16638  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1  40546
  Copyright terms: Public domain W3C validator