Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p9 41554
Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p9.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p9.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p9.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p9.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p9
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12311 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12340 . . . . . . . . . 10 0 < 2
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
5 aks4d1p9.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
6 eluzelz 12857 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
87zred 12691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9 0red 11242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10 3re 12317 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12 3pos 12342 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 3)
14 eluzle 12860 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
169, 11, 8, 13, 15ltletrd 11399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
17 1red 11240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18 1lt2 12408 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
2017, 19ltned 11375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 2)
2120necomd 2992 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 1)
222, 4, 8, 16, 21relogbcld 41438 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2322resqcld 14116 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
24 aks4d1p9.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
25 aks4d1p9.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
26 aks4d1p9.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
275, 24, 25, 26aks4d1p4 41545 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
2827simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ (1...𝐵))
29 elfznn 13557 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
315, 24, 25, 26aks4d1p8 41553 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
3230, 7, 313jca 1126 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
33 odzcl 16756 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
3534nnzd 12610 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
36 flge 13797 . . . . . . 7 ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ) → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
3723, 35, 36syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
3837biimpd 228 . . . . 5 (𝜑 → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
3938imp 406 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
4030nnzd 12610 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
4140adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
427adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4334nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
4542, 44zexpcld 14079 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) ∈ ℤ)
46 1zzd 12618 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ∈ ℤ)
4745, 46zsubcld 12696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
485, 25aks4d1lem1 41528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))
4948simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
5049nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5149nngt0d 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝐵)
522, 4, 50, 51, 21relogbcld 41438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
5352flcld 13790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
54 2cnd 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
559, 4gtned 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5654, 55, 213jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
57 logb1 26695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
59 2z 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
612leidd 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≤ 2)
62 0lt1 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 1
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 1)
6449nnge1d 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
6560, 61, 17, 63, 50, 51, 64logblebd 41441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
6658, 65eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
67 0zd 12595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
68 flge 13797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6952, 67, 68syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
7066, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
7153, 70jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
72 elnn0z 12596 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
7371, 72sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
747, 73zexpcld 14079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
75 fzfid 13965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
767adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
77 elfznn 13557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7877nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8076, 79zexpcld 14079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
81 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
8280, 81zsubcld 12696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
8375, 82fprodzcl 15925 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
8474, 83zmulcld 12697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
8524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
8685eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
8784, 86mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8887adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
89 iddvds 16241 . . . . . . . . . . 11 (((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ → ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁))
91 odzdvds 16758 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁)))
9232, 43, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑅)‘𝑁) ∥ ((od𝑅)‘𝑁)))
9390, 92mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
9493adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
9573adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
9642, 95zexpcld 14079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
97 fzfid 13965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
9842adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
9977adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
10099nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10198, 100zexpcld 14079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
102 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
103101, 102zsubcld 12696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
10497, 103fprodzcl 15925 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((od𝑅)‘𝑁) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)))
106105breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((od𝑅)‘𝑁) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘)))
107 ssidd 4002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ⊆ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
1087adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
109 elfznn 13557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
111110nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
112108, 111zexpcld 14079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
113 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
114112, 113zsubcld 12696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑥) − 1) ∈ ℤ)
115114fmpttd 7120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)):(1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))⟶ℤ)
11675, 107, 115fprodfvdvdsd 16305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘))
117116adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘))
11822adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
119118resqcld 14116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
120119flcld 13790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
12135adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
12234nnge1d 12285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ ((od𝑅)‘𝑁))
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ≤ ((od𝑅)‘𝑁))
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
12546, 120, 121, 123, 124elfzd 13519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
126106, 117, 125rspcdva 3609 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘))
127 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)))
128 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁))
129128oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁)) → (𝑁𝑥) = (𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)))
130129oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((od𝑅)‘𝑁)) → ((𝑁𝑥) − 1) = ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
131127, 130, 125, 47fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) = ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1))
132 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1)))
133 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
134133oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑘))
135134oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝑁𝑥) − 1) = ((𝑁𝑘) − 1))
136 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
137132, 135, 136, 103fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) = ((𝑁𝑘) − 1))
138137prodeq2dv 15894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
139131, 138breq12d 5156 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘((od𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
140126, 139mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
14147, 96, 104, 140dvdsmultr2d 16270 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
14224a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
143141, 142breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((od𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ 𝐴)
14441, 47, 88, 94, 143dvdstrd 16266 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅𝐴)
145144ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅𝐴))
146145adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅𝐴))
147146imp 406 . . . 4 (((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅𝐴)
14839, 147mpdan 686 . . 3 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅𝐴)
14927simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑅𝐴)
150149adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ¬ 𝑅𝐴)
151148, 150pm2.65da 816 . 2 (𝜑 → ¬ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
15234nnred 12252 . . 3 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15323, 152ltnled 11386 . 2 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁) ↔ ¬ ((od𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)))
154151, 153mpbird 257 1 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  {crab 3428   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7415  infcinf 9459  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   · cmul 11138   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469  cn 12237  2c2 12292  3c3 12293  5c5 12295  9c9 12299  0cn0 12497  cz 12583  cuz 12847  ...cfz 13511  cfl 13782  cceil 13783  cexp 14053  cprod 15876  cdvds 16225   gcd cgcd 16463  odcodz 16726   logb clogb 26690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-symdif 4239  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-ceil 13785  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-prod 15877  df-ef 16038  df-e 16039  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-lcm 16555  df-lcmf 16556  df-prm 16637  df-odz 16728  df-phi 16729  df-pc 16800  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-cmp 23285  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-mbf 25542  df-itg1 25543  df-itg2 25544  df-ibl 25545  df-itg 25546  df-0p 25593  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26484  df-cxp 26485  df-logb 26691
This theorem is referenced by:  aks4d1  41555
  Copyright terms: Public domain W3C validator