Theorem aks4d1p9 42083

Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p9.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p9.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p9.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p9

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p9.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluzelz 12810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		3re 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12		3pos 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
14		eluzle 12813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
16	9, 11, 8, 13, 15	ltletrd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17		1red 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	2, 4, 8, 16, 21	relogbcld 41968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	resqcld 14097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
24		aks4d1p9.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
25		aks4d1p9.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
26		aks4d1p9.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
27	5, 24, 25, 26	aks4d1p4 42074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
28	27	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
29		elfznn 13521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
31	5, 24, 25, 26	aks4d1p8 42082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
32	30, 7, 31	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
33		odzcl 16771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
36		flge 13774	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
37	23, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
38	37	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
39	38	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
40	30	nnzd 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
42	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
43	34	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	42, 44	zexpcld 14059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ ℤ)
46		1zzd 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
48	5, 25	aks4d1lem1 42057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))
49	48	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
50	49	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51	49	nngt0d 12242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
52	2, 4, 50, 51, 21	relogbcld 41968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	flcld 13767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
54		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
55	9, 4	gtned 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
56	54, 55, 21	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
57		logb1 26686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
59		2z 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
61	2	leidd 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
62		0lt1 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
64	49	nnge1d 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
65	60, 61, 17, 63, 50, 51, 64	logblebd 41971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
66	58, 65	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
67		0zd 12548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
68		flge 13774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
69	52, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
70	66, 69	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
71	53, 70	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
72		elnn0z 12549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
73	71, 72	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
74	7, 73	zexpcld 14059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
75		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
76	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
77		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
78	77	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	76, 79	zexpcld 14059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
81		1zzd 12571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
83	75, 82	fprodzcl 15927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
84	74, 83	zmulcld 12651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
85	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
86	85	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
87	84, 86	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
88	87	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
89		iddvds 16246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
90	35, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
91		odzdvds 16773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
92	32, 43, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
93	90, 92	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
94	93	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
95	73	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
96	42, 95	zexpcld 14059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
97		fzfid 13945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
98	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
99	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101	98, 100	zexpcld 14059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102		1zzd 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
103	101, 102	zsubcld 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
104	97, 103	fprodzcl 15927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
106	105	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘)))
107		ssidd 3973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ⊆ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
108	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
109		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
111	110	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
112	108, 111	zexpcld 14059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
113		1zzd 12571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
114	112, 113	zsubcld 12650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑥) − 1) ∈ ℤ)
115	114	fmpttd 7090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)):(1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))⟶ℤ)
116	75, 107, 115	fprodfvdvdsd 16311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
118	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
119	118	resqcld 14097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
120	119	flcld 13767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
121	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
122	34	nnge1d 12241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
124		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
125	46, 120, 121, 123, 124	elfzd 13483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
126	106, 117, 125	rspcdva 3592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
127		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
128		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
129	128	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
130	129	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
131	127, 130, 125, 47	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
132		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
133		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
134	133	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑘))
135	134	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
136		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
137	132, 135, 136, 103	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
138	137	prodeq2dv 15895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
139	131, 138	breq12d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
140	126, 139	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
141	47, 96, 104, 140	dvdsmultr2d 16276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
142	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
143	141, 142	breqtrrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ 𝐴)
144	41, 47, 88, 94, 143	dvdstrd 16272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
145	144	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
146	145	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
147	146	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
148	39, 147	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
149	27	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
150	149	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
151	148, 150	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
152	34	nnred 12208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
153	23, 152	ltnled 11328	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)))
154	151, 153	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3408   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  infcinf 9399  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  5c5 12251  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  ⌈cceil 13760  ↑cexp 14033  ∏cprod 15876   ∥ cdvds 16229   gcd cgcd 16471  od_ℤcodz 16740   log_b clogb 26681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-symdif 4219  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-ef 16040  df-e 16041  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-lcm 16567  df-lcmf 16568  df-prm 16649  df-odz 16742  df-phi 16743  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529  df-ibl 25530  df-itg 25531  df-0p 25578  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-logb 26682

This theorem is referenced by:  aks4d1  42084