Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p9 40574
Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p9.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
aks4d1p9.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p9.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p9.4 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p9 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) < ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘…,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ÿ)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem aks4d1p9
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3 2pos 12263 . . . . . . . . . 10 0 < 2
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
5 aks4d1p9.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
6 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
87zred 12614 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
9 0red 11165 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
10 3re 12240 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
12 3pos 12265 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
14 eluzle 12783 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
169, 11, 8, 13, 15ltletrd 11322 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
17 1red 11163 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
18 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
2017, 19ltned 11298 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
2120necomd 3000 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
222, 4, 8, 16, 21relogbcld 40459 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
2322resqcld 14037 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
24 aks4d1p9.2 . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
25 aks4d1p9.3 . . . . . . . . . . . . 13 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
26 aks4d1p9.4 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
275, 24, 25, 26aks4d1p4 40565 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
2827simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...๐ต))
29 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
315, 24, 25, 26aks4d1p8 40573 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
3230, 7, 313jca 1129 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) = 1))
33 odzcl 16672 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) = 1) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3534nnzd 12533 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
36 flge 13717 . . . . . . 7 ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
3723, 35, 36syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
3837biimpd 228 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
3938imp 408 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
4030nnzd 12533 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
427adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4334nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4542, 44zexpcld 14000 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
46 1zzd 12541 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
4745, 46zsubcld 12619 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
485, 25aks4d1lem1 40548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โˆง 9 < ๐ต))
4948simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
5049nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5149nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
522, 4, 50, 51, 21relogbcld 40459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
5352flcld 13710 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
54 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
559, 4gtned 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
5654, 55, 213jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1))
57 logb1 26135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 1) = 0)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) = 0)
59 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„ค
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
612leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 2)
62 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 1
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
6449nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
6560, 61, 17, 63, 50, 51, 64logblebd 40462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) โ‰ค (2 logb ๐ต))
6658, 65eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 logb ๐ต))
67 0zd 12518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
68 flge 13717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
6952, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
7066, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
7153, 70jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
72 elnn0z 12519 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
7371, 72sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
747, 73zexpcld 14000 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ค)
75 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
767adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
77 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
7877nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8076, 79zexpcld 14000 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
81 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
8280, 81zsubcld 12619 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
8375, 82fprodzcl 15844 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
8474, 83zmulcld 12620 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
8524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
8685eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
8784, 86mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8887adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
89 iddvds 16159 . . . . . . . . . . 11 (((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
9035, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
91 odzdvds 16674 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) = 1) โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
9232, 43, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
9390, 92mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1))
9493adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1))
9573adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
9642, 95zexpcld 14000 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ค)
97 fzfid 13885 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
9842adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
9977adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
10099nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
10198, 100zexpcld 14000 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
102 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
103101, 102zsubcld 12619 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
10497, 103fprodzcl 15844 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
105 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘ง) = ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
106105breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘ง) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜)))
107 ssidd 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
1087adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
109 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
110109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
111110nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
112108, 111zexpcld 14000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
113 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
114112, 113zsubcld 12619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
115114fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1)):(1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))โŸถโ„ค)
11675, 107, 115fprodfvdvdsd 16223 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘ง) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜))
117116adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘ง) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜))
11822adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
119118resqcld 14037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
120119flcld 13710 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
12135adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
12234nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
123122adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ 1 โ‰ค ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
124 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
12546, 120, 121, 123, 124elfzd 13439 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
126106, 117, 125rspcdva 3585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜))
127 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1)))
128 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘ฅ = ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ = ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
129128oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘ฅ = ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฅ) = (๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
130129oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘ฅ = ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1) = ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1))
131127, 130, 125, 47fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) = ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1))
132 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1)))
133 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘˜)
134133oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฅ) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
135134oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1) = ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
136 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
137132, 135, 136, 103fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
138137prodeq2dv 15813 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
139131, 138breq12d 5123 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†ฆ ((๐‘โ†‘๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€˜๐‘˜) โ†” ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
140126, 139mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
14147, 96, 104, 140dvdsmultr2d 16188 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
14224a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
143141, 142breqtrrd 5138 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘โ†‘((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ด)
14441, 47, 88, 94, 143dvdstrd 16184 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
145144ex 414 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
146145adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
147146imp 408 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
14839, 147mpdan 686 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
14927simprd 497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
150149adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
151148, 150pm2.65da 816 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
15234nnred 12175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
15323, 152ltnled 11309 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2) < ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ†” ยฌ ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
154151, 153mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) < ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  {crab 3410   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  9c9 12222  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โŒˆcceil 13703  โ†‘cexp 13974  โˆcprod 15795   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  odโ„คcodz 16642   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-ceil 13705  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-lcm 16473  df-lcmf 16474  df-prm 16555  df-odz 16644  df-phi 16645  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1  40575
  Copyright terms: Public domain W3C validator