Theorem aks4d1p9 43139

Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p9.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p9.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p9.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p9

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12447	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p9.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluzelz 12975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		3re 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12		3pos 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
14		eluzle 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
15	5, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
16	9, 11, 8, 13, 15	ltletrd 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17		1red 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	2, 4, 8, 16, 21	relogbcld 43025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	resqcld 14268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
24		aks4d1p9.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
25		aks4d1p9.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
26		aks4d1p9.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
27	5, 24, 25, 26	aks4d1p4 43130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
28	27	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
29		elfznn 13687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
31	5, 24, 25, 26	aks4d1p8 43138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
32	30, 7, 31	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
33		odzcl 16971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
36		flge 13945	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
37	23, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
38	37	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
39	38	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
40	30	nnzd 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41	40	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
42	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
43	34	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	42, 44	zexpcld 14230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ ℤ)
46		1zzd 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
48	5, 25	aks4d1lem1 43113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))
49	48	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
50	49	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51	49	nngt0d 12387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
52	2, 4, 50, 51, 21	relogbcld 43025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	flcld 13938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
54		2cnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
55	9, 4	gtned 11445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
56	54, 55, 21	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
57		logb1 27097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
59		2z 12728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
61	2	leidd 11882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
62		0lt1 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
64	49	nnge1d 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
65	60, 61, 17, 63, 50, 51, 64	logblebd 43028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
66	58, 65	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
67		0zd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
68		flge 13945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
69	52, 67, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
70	66, 69	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
71	53, 70	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
72		elnn0z 12706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
73	71, 72	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
74	7, 73	zexpcld 14230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
75		fzfid 14116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
76	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
77		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
78	77	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
79	78	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	76, 79	zexpcld 14230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
81		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
83	75, 82	fprodzcl 16121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
84	74, 83	zmulcld 12809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
85	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
86	85	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
87	84, 86	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
88	87	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
89		iddvds 16439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
90	35, 89	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
91		odzdvds 16973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
92	32, 43, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
93	90, 92	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
94	93	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
95	73	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
96	42, 95	zexpcld 14230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
97		fzfid 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
98	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
99	77	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101	98, 100	zexpcld 14230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
103	101, 102	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
104	97, 103	fprodzcl 16121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
106	105	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘)))
107		ssidd 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ⊆ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
108	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
109		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
111	110	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
112	108, 111	zexpcld 14230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
113		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
114	112, 113	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑥) − 1) ∈ ℤ)
115	114	fmpttd 7115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)):(1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))⟶ℤ)
116	75, 107, 115	fprodfvdvdsd 16504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
117	116	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
118	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
119	118	resqcld 14268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
120	119	flcld 13938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
121	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
122	34	nnge1d 12386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
123	122	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
124		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
125	46, 120, 121, 123, 124	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
126	106, 117, 125	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
127		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
128		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
129	128	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
130	129	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
131	127, 130, 125, 47	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
132		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
133		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
134	133	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑘))
135	134	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
136		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
137	132, 135, 136, 103	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
138	137	prodeq2dv 16090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
139	131, 138	breq12d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
140	126, 139	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
141	47, 96, 104, 140	dvdsmultr2d 16469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
142	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
143	141, 142	breqtrrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ 𝐴)
144	41, 47, 88, 94, 143	dvdstrd 16465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
145	144	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
146	145	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
147	146	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
148	39, 147	mpdan 700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
149	27	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
150	149	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
151	148, 150	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
152	34	nnred 12350	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
153	23, 152	ltnled 11457	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)))
154	151, 153	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  5c5 12400  9c9 12404  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ⌊cfl 13930  ⌈cceil 13931  ↑cexp 14204  ∏cprod 16072   ∥ cdvds 16422   gcd cgcd 16664  od_ℤcodz 16940   log_b clogb 27092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-symdif 4198  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-ceil 13933  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-prod 16073  df-ef 16233  df-e 16234  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-lcm 16765  df-lcmf 16766  df-prm 16847  df-odz 16942  df-phi 16943  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-ibl 25943  df-itg 25944  df-0p 25991  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093

This theorem is used by:  aks4d1  43140