Theorem aks4d1p9 40105

Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p9.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p9.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p9.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p9

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p9.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluzelz 12603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 10989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		3re 12064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12		3pos 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
14		eluzle 12606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
16	9, 11, 8, 13, 15	ltletrd 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17		1red 10987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	2, 4, 8, 16, 21	relogbcld 39990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	resqcld 13976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
24		aks4d1p9.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
25		aks4d1p9.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
26		aks4d1p9.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
27	5, 24, 25, 26	aks4d1p4 40096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
28	27	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
29		elfznn 13296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
31	5, 24, 25, 26	aks4d1p8 40104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
32	30, 7, 31	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
33		odzcl 16505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
36		flge 13536	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
37	23, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
38	37	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
39	38	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
40	30	nnzd 12436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
42	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
43	34	nnnn0d 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	42, 44	zexpcld 13819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ ℤ)
46		1zzd 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
48	5, 25	aks4d1lem1 40079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))
49	48	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
50	49	nnred 11999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51	49	nngt0d 12033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
52	2, 4, 50, 51, 21	relogbcld 39990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	flcld 13529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
54		2cnd 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
55	9, 4	gtned 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
56	54, 55, 21	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
57		logb1 25930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
59		2z 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
61	2	leidd 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
62		0lt1 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
64	49	nnge1d 12032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
65	60, 61, 17, 63, 50, 51, 64	logblebd 39993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
66	58, 65	eqbrtrrd 5103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
67		0zd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
68		flge 13536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
69	52, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
70	66, 69	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
71	53, 70	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
72		elnn0z 12343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
73	71, 72	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
74	7, 73	zexpcld 13819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
75		fzfid 13704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
76	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
77		elfznn 13296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
78	77	nnnn0d 12304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	76, 79	zexpcld 13819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
81		1zzd 12362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
83	75, 82	fprodzcl 15675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
84	74, 83	zmulcld 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
85	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
86	85	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
87	84, 86	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
88	87	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
89		iddvds 15990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
90	35, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
91		odzdvds 16507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
92	32, 43, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
93	90, 92	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
94	93	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
95	73	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
96	42, 95	zexpcld 13819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
97		fzfid 13704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
98	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
99	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101	98, 100	zexpcld 13819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102		1zzd 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
103	101, 102	zsubcld 12442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
104	97, 103	fprodzcl 15675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		fveq2 6771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
106	105	breq1d 5089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘)))
107		ssidd 3949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ⊆ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
108	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
109		elfznn 13296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
111	110	nnnn0d 12304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
112	108, 111	zexpcld 13819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
113		1zzd 12362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
114	112, 113	zsubcld 12442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑥) − 1) ∈ ℤ)
115	114	fmpttd 6986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)):(1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))⟶ℤ)
116	75, 107, 115	fprodfvdvdsd 16054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
118	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
119	118	resqcld 13976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
120	119	flcld 13529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
121	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
122	34	nnge1d 12032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
124		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
125	46, 120, 121, 123, 124	elfzd 13258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
126	106, 117, 125	rspcdva 3563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
127		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
128		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
129	128	oveq2d 7288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
130	129	oveq1d 7287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
131	127, 130, 125, 47	fvmptd 6879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
132		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
133		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
134	133	oveq2d 7288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑘))
135	134	oveq1d 7287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
136		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
137	132, 135, 136, 103	fvmptd 6879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
138	137	prodeq2dv 15644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
139	131, 138	breq12d 5092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
140	126, 139	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
141	47, 96, 104, 140	dvdsmultr2d 16019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
142	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
143	141, 142	breqtrrd 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ 𝐴)
144	41, 47, 88, 94, 143	dvdstrd 16015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
145	144	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
146	145	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
147	146	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
148	39, 147	mpdan 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
149	27	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
150	149	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
151	148, 150	pm2.65da 814	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
152	34	nnred 11999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
153	23, 152	ltnled 11133	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)))
154	151, 153	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  {crab 3070   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  infcinf 9188  ℂcc 10880  ℝcr 10881  0cc0 10882  1c1 10883   · cmul 10887   < clt 11020   ≤ cle 11021   − cmin 11216  ℕcn 11984  2c2 12039  3c3 12040  5c5 12042  9c9 12046  ℕ₀cn0 12244  ℤcz 12330  ℤ_≥cuz 12593  ...cfz 13250  ⌊cfl 13521  ⌈cceil 13522  ↑cexp 13793  ∏cprod 15626   ∥ cdvds 15974   gcd cgcd 16212  od_ℤcodz 16475   log_b clogb 25925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cc 10202  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960  ax-addf 10961  ax-mulf 10962

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-symdif 4182  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-ofr 7529  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-oadd 8293  df-omul 8294  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-ixp 8678  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-dju 9670  df-card 9708  df-acn 9711  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-xnn0 12317  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-ioo 13094  df-ioc 13095  df-ico 13096  df-icc 13097  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-ceil 13524  df-mod 13601  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999  df-bc 14028  df-hash 14056  df-shft 14789  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-limsup 15191  df-clim 15208  df-rlim 15209  df-sum 15409  df-prod 15627  df-ef 15788  df-e 15789  df-sin 15790  df-cos 15791  df-pi 15793  df-dvds 15975  df-gcd 16213  df-lcm 16306  df-lcmf 16307  df-prm 16388  df-odz 16477  df-phi 16478  df-pc 16549  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-hom 16997  df-cco 16998  df-rest 17144  df-topn 17145  df-0g 17163  df-gsum 17164  df-topgen 17165  df-pt 17166  df-prds 17169  df-xrs 17224  df-qtop 17229  df-imas 17230  df-xps 17232  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-mulg 18712  df-cntz 18934  df-cmn 19399  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-fbas 20605  df-fg 20606  df-cnfld 20609  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cld 22181  df-ntr 22182  df-cls 22183  df-nei 22260  df-lp 22298  df-perf 22299  df-cn 22389  df-cnp 22390  df-haus 22477  df-cmp 22549  df-tx 22724  df-hmeo 22917  df-fil 23008  df-fm 23100  df-flim 23101  df-flf 23102  df-xms 23484  df-ms 23485  df-tms 23486  df-cncf 24052  df-ovol 24639  df-vol 24640  df-mbf 24794  df-itg1 24795  df-itg2 24796  df-ibl 24797  df-itg 24798  df-0p 24845  df-limc 25041  df-dv 25042  df-log 25723  df-cxp 25724  df-logb 25926

This theorem is referenced by:  aks4d1  40106