Theorem aks4d1p9 43052

Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p9.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p9.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p9.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p9

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p9.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluzelz 12930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		3re 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12		3pos 12406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
14		eluzle 12933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
15	5, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
16	9, 11, 8, 13, 15	ltletrd 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17		1red 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	2, 4, 8, 16, 21	relogbcld 42938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	resqcld 14222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
24		aks4d1p9.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
25		aks4d1p9.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
26		aks4d1p9.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
27	5, 24, 25, 26	aks4d1p4 43043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
28	27	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
29		elfznn 13641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
31	5, 24, 25, 26	aks4d1p8 43051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
32	30, 7, 31	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
33		odzcl 16918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
36		flge 13899	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
37	23, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
38	37	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
39	38	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
40	30	nnzd 12674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41	40	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
42	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
43	34	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	42, 44	zexpcld 14184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ ℤ)
46		1zzd 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
48	5, 25	aks4d1lem1 43026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))
49	48	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
50	49	nnred 12305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51	49	nngt0d 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
52	2, 4, 50, 51, 21	relogbcld 42938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	flcld 13892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
54		2cnd 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
55	9, 4	gtned 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
56	54, 55, 21	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
57		logb1 27046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
59		2z 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
61	2	leidd 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
62		0lt1 11793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
64	49	nnge1d 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
65	60, 61, 17, 63, 50, 51, 64	logblebd 42941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
66	58, 65	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
67		0zd 12660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
68		flge 13899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
69	52, 67, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
70	66, 69	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
71	53, 70	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
72		elnn0z 12661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
73	71, 72	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
74	7, 73	zexpcld 14184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
75		fzfid 14070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
76	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
77		elfznn 13641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
78	77	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
79	78	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	76, 79	zexpcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
81		1zzd 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
83	75, 82	fprodzcl 16074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
84	74, 83	zmulcld 12764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
85	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
86	85	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
87	84, 86	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
88	87	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
89		iddvds 16392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
90	35, 89	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
91		odzdvds 16920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
92	32, 43, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
93	90, 92	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
94	93	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
95	73	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
96	42, 95	zexpcld 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
97		fzfid 14070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
98	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
99	77	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101	98, 100	zexpcld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102		1zzd 12682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
103	101, 102	zsubcld 12763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
104	97, 103	fprodzcl 16074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		fveq2 6874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
106	105	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘)))
107		ssidd 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ⊆ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
108	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
109		elfznn 13641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
111	110	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
112	108, 111	zexpcld 14184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
113		1zzd 12682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
114	112, 113	zsubcld 12763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑥) − 1) ∈ ℤ)
115	114	fmpttd 7104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)):(1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))⟶ℤ)
116	75, 107, 115	fprodfvdvdsd 16457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
117	116	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
118	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
119	118	resqcld 14222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
120	119	flcld 13892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
121	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
122	34	nnge1d 12341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
123	122	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
124		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
125	46, 120, 121, 123, 124	elfzd 13602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
126	106, 117, 125	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
127		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
128		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
129	128	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
130	129	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
131	127, 130, 125, 47	fvmptd 6990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
132		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
133		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
134	133	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑘))
135	134	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
136		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
137	132, 135, 136, 103	fvmptd 6990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
138	137	prodeq2dv 16043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
139	131, 138	breq12d 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
140	126, 139	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
141	47, 96, 104, 140	dvdsmultr2d 16422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
142	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
143	141, 142	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ 𝐴)
144	41, 47, 88, 94, 143	dvdstrd 16418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
145	144	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
146	145	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
147	146	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
148	39, 147	mpdan 700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
149	27	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
150	149	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
151	148, 150	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
152	34	nnred 12305	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
153	23, 152	ltnled 11414	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)))
154	151, 153	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  infcinf 9411  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   · cmul 11162   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498  ℕcn 12290  2c2 12352  3c3 12353  5c5 12355  9c9 12359  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594  ⌊cfl 13884  ⌈cceil 13885  ↑cexp 14158  ∏cprod 16025   ∥ cdvds 16375   gcd cgcd 16617  od_ℤcodz 16887   log_b clogb 27041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cc 10470  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-ceil 13887  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-prod 16026  df-ef 16186  df-e 16187  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-dvds 16376  df-gcd 16618  df-lcm 16713  df-lcmf 16714  df-prm 16795  df-odz 16889  df-phi 16890  df-pc 16962  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-cmp 23652  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-ovol 25732  df-vol 25733  df-mbf 25887  df-itg1 25888  df-itg2 25889  df-ibl 25890  df-itg 25891  df-0p 25938  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833  df-cxp 26834  df-logb 27042

This theorem is used by:  aks4d1  43053