Theorem aks4d1p9 40941

Description: Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p9.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p9.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p9.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑘   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p9

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p9.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluzelz 12828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		3re 12288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12		3pos 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
14		eluzle 12831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
16	9, 11, 8, 13, 15	ltletrd 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17		1red 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	2, 4, 8, 16, 21	relogbcld 40826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	resqcld 14086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
24		aks4d1p9.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
25		aks4d1p9.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
26		aks4d1p9.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
27	5, 24, 25, 26	aks4d1p4 40932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
28	27	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
29		elfznn 13526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
31	5, 24, 25, 26	aks4d1p8 40940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
32	30, 7, 31	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
33		odzcl 16722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
36		flge 13766	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
37	23, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
38	37	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
39	38	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
40	30	nnzd 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
42	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
43	34	nnnn0d 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	42, 44	zexpcld 14049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ ℤ)
46		1zzd 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
48	5, 25	aks4d1lem1 40915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))
49	48	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
50	49	nnred 12223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51	49	nngt0d 12257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
52	2, 4, 50, 51, 21	relogbcld 40826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	flcld 13759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
54		2cnd 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
55	9, 4	gtned 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
56	54, 55, 21	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
57		logb1 26263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
59		2z 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
61	2	leidd 11776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
62		0lt1 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
64	49	nnge1d 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
65	60, 61, 17, 63, 50, 51, 64	logblebd 40829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
66	58, 65	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
67		0zd 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
68		flge 13766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
69	52, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
70	66, 69	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
71	53, 70	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
72		elnn0z 12567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
73	71, 72	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
74	7, 73	zexpcld 14049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
75		fzfid 13934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
76	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
77		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
78	77	nnnn0d 12528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	76, 79	zexpcld 14049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
81		1zzd 12589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
83	75, 82	fprodzcl 15894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
84	74, 83	zmulcld 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
85	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
86	85	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ))
87	84, 86	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
88	87	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
89		iddvds 16209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
90	35, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
91		odzdvds 16724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
92	32, 43, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∥ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
93	90, 92	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
94	93	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
95	73	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
96	42, 95	zexpcld 14049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
97		fzfid 13934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
98	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
99	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101	98, 100	zexpcld 14049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102		1zzd 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
103	101, 102	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
104	97, 103	fprodzcl 15894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
106	105	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘)))
107		ssidd 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ⊆ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
108	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
109		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
111	110	nnnn0d 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
112	108, 111	zexpcld 14049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
113		1zzd 12589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
114	112, 113	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑥) − 1) ∈ ℤ)
115	114	fmpttd 7111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)):(1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))⟶ℤ)
116	75, 107, 115	fprodfvdvdsd 16273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∀𝑧 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑧) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
118	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
119	118	resqcld 14086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
120	119	flcld 13759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
121	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℤ)
122	34	nnge1d 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 1 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
124		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
125	46, 120, 121, 123, 124	elfzd 13488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
126	106, 117, 125	rspcdva 3613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘))
127		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
128		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
129	128	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
130	129	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑥 = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
131	127, 130, 125, 47	fvmptd 7002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) = ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1))
132		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)) = (𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1)))
133		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
134	133	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑘))
135	134	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝑁↑𝑥) − 1) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
136		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
137	132, 135, 136, 103	fvmptd 7002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ((𝑁↑𝑘) − 1))
138	137	prodeq2dv 15863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
139	131, 138	breq12d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → (((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑥 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↦ ((𝑁↑𝑥) − 1))‘𝑘) ↔ ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
140	126, 139	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
141	47, 96, 104, 140	dvdsmultr2d 16238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
142	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
143	141, 142	breqtrrd 5175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → ((𝑁↑((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) − 1) ∥ 𝐴)
144	41, 47, 88, 94, 143	dvdstrd 16234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
145	144	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
146	145	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴))
147	146	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
148	39, 147	mpdan 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → 𝑅 ∥ 𝐴)
149	27	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
150	149	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)) → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
151	148, 150	pm2.65da 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
152	34	nnred 12223	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
153	23, 152	ltnled 11357	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2)))
154	151, 153	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  3c3 12264  5c5 12266  9c9 12270  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  ⌊cfl 13751  ⌈cceil 13752  ↑cexp 14023  ∏cprod 15845   ∥ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  od_ℤcodz 16692   log_b clogb 26258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-ceil 13754  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-lcm 16523  df-lcmf 16524  df-prm 16605  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057  df-logb 26259

This theorem is referenced by:  aks4d1  40942