![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmultr2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmultr2 | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dvdsmul2 16227 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
2 | 1 | biantrud 531 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ (๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)))) |
3 | 2 | 3adant1 1129 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ (๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)))) |
4 | simp1 1135 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐พ โ โค) | |
5 | simp3 1137 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โค) | |
6 | zmulcl 12616 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
7 | 6 | 3adant1 1129 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) |
8 | dvdstr 16242 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) | |
9 | 4, 5, 7, 8 | syl3anc 1370 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
10 | 3, 9 | sylbid 239 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1086 โ wcel 2105 class class class wbr 5148 (class class class)co 7412 ยท cmul 11119 โคcz 12563 โฅ cdvds 16202 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7860 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-ltxr 11258 df-sub 11451 df-neg 11452 df-nn 12218 df-n0 12478 df-z 12564 df-dvds 16203 |
This theorem is referenced by: dvdsmultr2d 16247 ordvdsmul 16248 3dvds 16279 divalglem0 16341 divalglem2 16343 mulgcddvds 16597 znunit 21339 lgsdir2 27070 lgseisenlem1 27115 lgseisenlem2 27116 2sqblem 27171 oddpwdc 33652 nn0prpwlem 35511 congmul 42009 coprmdvdsb 42027 jm2.25 42041 jm2.27a 42047 jm2.27c 42049 etransclem24 45273 etransclem25 45274 etransclem28 45277 etransclem44 45293 proththdlem 46580 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |