Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5 42123
Description: In the context of the lemmas of pythagtrip 16812, ๐‘€ and ๐‘ are coprime. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5.1 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
flt4lem5.2 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
Assertion
Ref Expression
flt4lem5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)

Proof of Theorem flt4lem5
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
2 simp11 1200 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3 simp12 1201 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4 coprmgcdb 16629 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
61, 5mpbird 256 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1))
7 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
87nnzd 12625 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
9 flt4lem5.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
109pythagtriplem11 16803 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnsqcld 14248 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„•)
1312nnzd 12625 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
14 flt4lem5.2 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
1514pythagtriplem13 16805 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1716nnsqcld 14248 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
1817nnzd 12625 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
19 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐‘€)
2011nnzd 12625 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21 2nn 12325 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
23 dvdsexp2im 16313 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
248, 20, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
2519, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2))
26 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐‘)
2716nnzd 12625 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 dvdsexp2im 16313 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
298, 27, 22, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
3026, 29mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2))
318, 13, 18, 25, 30dvds2subd 16279 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
329, 14pythagtriplem15 16807 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
3332ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
3431, 33breqtrrd 5180 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐ด)
35 2z 12634 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3711, 16nnmulcld 12305 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12625 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
398, 20, 27, 26dvdsmultr2d 16285 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
408, 36, 38, 39dvdsmultr2d 16285 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
419, 14pythagtriplem16 16808 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
4241ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ต = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
4340, 42breqtrrd 5180 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐ต)
4434, 43jca 510 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต))
4544ex 411 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต)))
4645imim1d 82 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†’ ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1)))
4746ralimdva 3164 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1)))
486, 47mpd 15 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1))
49 coprmgcdb 16629 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
5010, 15, 49syl2anc 582 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
5148, 50mpbid 231 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  2c2 12307  โ„คcz 12598  โ†‘cexp 14068  โˆšcsqrt 15222   โˆฅ cdvds 16240   gcd cgcd 16478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652
This theorem is referenced by:  flt4lem5c  42127  flt4lem5d  42128  flt4lem5e  42129
  Copyright terms: Public domain W3C validator