Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5 41970
Description: In the context of the lemmas of pythagtrip 16776, ๐‘€ and ๐‘ are coprime. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5.1 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
flt4lem5.2 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
Assertion
Ref Expression
flt4lem5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)

Proof of Theorem flt4lem5
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
2 simp11 1200 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3 simp12 1201 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4 coprmgcdb 16593 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
61, 5mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1))
7 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
87nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
9 flt4lem5.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
109pythagtriplem11 16767 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1110ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnsqcld 14212 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„•)
1312nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
14 flt4lem5.2 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
1514pythagtriplem13 16769 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1716nnsqcld 14212 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
1817nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
19 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐‘€)
2011nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21 2nn 12289 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
23 dvdsexp2im 16277 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
248, 20, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
2519, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2))
26 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐‘)
2716nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 dvdsexp2im 16277 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
298, 27, 22, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
3026, 29mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2))
318, 13, 18, 25, 30dvds2subd 16243 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
329, 14pythagtriplem15 16771 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
3332ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
3431, 33breqtrrd 5169 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐ด)
35 2z 12598 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3711, 16nnmulcld 12269 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
398, 20, 27, 26dvdsmultr2d 16249 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
408, 36, 38, 39dvdsmultr2d 16249 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
419, 14pythagtriplem16 16772 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
4241ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ต = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
4340, 42breqtrrd 5169 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐ต)
4434, 43jca 511 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต))
4544ex 412 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต)))
4645imim1d 82 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†’ ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1)))
4746ralimdva 3161 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1)))
486, 47mpd 15 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1))
49 coprmgcdb 16593 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
5010, 15, 49syl2anc 583 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
5148, 50mpbid 231 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15186   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  flt4lem5c  41974  flt4lem5d  41975  flt4lem5e  41976
  Copyright terms: Public domain W3C validator