Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5 41031
Description: In the context of the lemmas of pythagtrip 16711, ๐‘€ and ๐‘ are coprime. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5.1 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
flt4lem5.2 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
Assertion
Ref Expression
flt4lem5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)

Proof of Theorem flt4lem5
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
2 simp11 1204 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3 simp12 1205 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4 coprmgcdb 16530 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
61, 5mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1))
7 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
87nnzd 12531 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
9 flt4lem5.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
109pythagtriplem11 16702 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnsqcld 14153 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„•)
1312nnzd 12531 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
14 flt4lem5.2 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)
1514pythagtriplem13 16704 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1716nnsqcld 14153 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
1817nnzd 12531 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
19 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐‘€)
2011nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21 2nn 12231 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
23 dvdsexp2im 16214 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
248, 20, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
2519, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€โ†‘2))
26 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐‘)
2716nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 dvdsexp2im 16214 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
298, 27, 22, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
3026, 29mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘โ†‘2))
318, 13, 18, 25, 30dvds2subd 16180 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
329, 14pythagtriplem15 16706 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
3332ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
3431, 33breqtrrd 5134 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐ด)
35 2z 12540 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3711, 16nnmulcld 12211 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12531 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
398, 20, 27, 26dvdsmultr2d 16186 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
408, 36, 38, 39dvdsmultr2d 16186 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
419, 14pythagtriplem16 16707 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ต = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ต = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
4340, 42breqtrrd 5134 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆฅ ๐ต)
4434, 43jca 513 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต))
4544ex 414 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต)))
4645imim1d 82 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†’ ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1)))
4746ralimdva 3161 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1)))
486, 47mpd 15 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1))
49 coprmgcdb 16530 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
5010, 15, 49syl2anc 585 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘– โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
5148, 50mpbid 231 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ†‘cexp 13973  โˆšcsqrt 15124   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  flt4lem5c  41035  flt4lem5d  41036  flt4lem5e  41037
  Copyright terms: Public domain W3C validator