Theorem expsnnval 28318

Description: Value of surreal exponentiation at a natural number. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expsnnval	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

Proof of Theorem expsnnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzs 28280	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℤs)
2		expsval 28317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
4		nnne0s 28235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ≠ 0s )
5	4	neneqd 2931	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ¬ 𝑁 = 0s )
6	5	iffalsed 4501	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))))
7		nnsgt0 28237	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
8	7	iftrued 4498	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
9	6, 8	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
11	3, 10	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4490  {csn 4591   class class class wbr 5109   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   No csur 27557   <s cslt 27558   0_s c0s 27740   1_s c1s 27741   -u_s cnegs 27931   ·_s cmuls 28015   /_su cdivs 28096  seq_scseqs 28183  ℕ_scnns 28213  ℤ_sczs 28272  ↑_scexps 28304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-nadd 8632  df-no 27560  df-slt 27561  df-bday 27562  df-sle 27663  df-sslt 27699  df-scut 27701  df-0s 27742  df-1s 27743  df-made 27761  df-old 27762  df-left 27764  df-right 27765  df-norec 27851  df-norec2 27862  df-adds 27873  df-negs 27933  df-subs 27934  df-seqs 28184  df-n0s 28214  df-nns 28215  df-zs 28273  df-exps 28305

This theorem is referenced by:  exps1  28320  expsp1  28321