Theorem expsnnval 28319

Description: Value of surreal exponentiation at a natural number. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expsnnval	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

Proof of Theorem expsnnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzs 28281	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℤs)
2		expsval 28318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
4		nnne0s 28236	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ≠ 0s )
5	4	neneqd 2931	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ¬ 𝑁 = 0s )
6	5	iffalsed 4502	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))))
7		nnsgt0 28238	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
8	7	iftrued 4499	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
9	6, 8	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
11	3, 10	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   No csur 27558   <s cslt 27559   0_s c0s 27741   1_s c1s 27742   -u_s cnegs 27932   ·_s cmuls 28016   /_su cdivs 28097  seq_scseqs 28184  ℕ_scnns 28214  ℤ_sczs 28273  ↑_scexps 28305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-nadd 8633  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sle 27664  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743  df-1s 27744  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765  df-right 27766  df-norec 27852  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-negs 27934  df-subs 27935  df-seqs 28185  df-n0s 28215  df-nns 28216  df-zs 28274  df-exps 28306

This theorem is referenced by:  exps1  28321  expsp1  28322