Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0vald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0vald 46324
Description: The value of the sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0vald.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0vald.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0vald (𝜑 → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0vald
StepHypRef Expression
1 sge0vald.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 sge0vald.f . 2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3 sge0val 46321 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  cmpt 5230  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  supcsup 9477  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  [,]cicc 13386  Σcsu 15718  Σ^csumge0 46317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-seq 14039  df-sum 15719  df-sumge0 46318
This theorem is referenced by:  sge0reval  46327  sge0pnfval  46328
  Copyright terms: Public domain W3C validator