Theorem sge0vald 47200

Description: The value of the sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0vald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0vald.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0vald	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0vald.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0vald.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3		sge0val 47197	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  supcsup 9413  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270  [,]cicc 13404  Σcsu 15776  Σ^{^}csumge0 47193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-seq 14069  df-sum 15777  df-sumge0 47194

This theorem is used by:  sge0reval  47203  sge0pnfval  47204