Theorem sge0rnbnd 43885

Description: The range used in the definition of Σ^{^} is bounded, when the whole sum is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0rnbnd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0rnbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0rnbnd.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0rnbnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑧   𝑦,𝐹,𝑥,𝑧   𝑧,𝑋   𝜑,𝑤,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem sge0rnbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0rnbnd.re	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → 𝜑)
3		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
4		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
5	4	elrnmpt 5862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
7	6	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
9		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
10		sge0rnbnd.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		sge0rnbnd.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
14	10, 12, 1	sge0rern 43880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
16	13, 15	fge0iccico 43862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
17		elpwinss 42550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
19		elinel2 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
21	11, 16, 18, 20	fsumlesge0 43869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ≤ (Σ^‘𝐹))
22	21	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ≤ (Σ^‘𝐹))
23	9, 22	eqbrtrd 5100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))
24	23	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))))
25	24	rexlimdv 3213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹)))
26	2, 8, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))
27	26	ralrimiva 3109	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))
28		brralrspcev 5138	. 2 ⊢ (((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)
29	1, 27, 28	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  Vcvv 3430   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  ran crn 5589  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  ℝcr 10854  0cc0 10855  +∞cpnf 10990   ≤ cle 10994  [,]cicc 13064  Σcsu 15378  Σ^{^}csumge0 43854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-sumge0 43855

This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  43892