Theorem sge0rnbnd 46821

Description: The range used in the definition of Σ^{^} is bounded, when the whole sum is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0rnbnd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0rnbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0rnbnd.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0rnbnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑧   𝑦,𝐹,𝑥,𝑧   𝑧,𝑋   𝜑,𝑤,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem sge0rnbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0rnbnd.re	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → 𝜑)
3		vex 3433	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
5	4	elrnmpt 5913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
7	6	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
9		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
10		sge0rnbnd.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		sge0rnbnd.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
14	10, 12, 1	sge0rern 46816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
16	13, 15	fge0iccico 46798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
17		elpwinss 45480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
19		elinel2 4142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
21	11, 16, 18, 20	fsumlesge0 46805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ≤ (Σ^‘𝐹))
22	21	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ≤ (Σ^‘𝐹))
23	9, 22	eqbrtrd 5107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))
24	23	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))))
25	24	rexlimdv 3136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹)))
26	2, 8, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) → 𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))
27	26	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹))
28		brralrspcev 5145	. 2 ⊢ (((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ (Σ^‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)
29	1, 27, 28	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301  Σcsu 15648  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  46828