Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0rnbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0rnbnd 41534
Description: The range used in the definition of Σ^ is bounded, when the whole sum is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0rnbnd.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0rnbnd.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0rnbnd.re (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0rnbnd (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))𝑤𝑧)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑧   𝑦,𝐹,𝑥,𝑧   𝑧,𝑋   𝜑,𝑤,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem sge0rnbnd
StepHypRef Expression
1 sge0rnbnd.re . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
2 simpl 476 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))) → 𝜑)
3 vex 3401 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
4 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
54elrnmpt 5618 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
63, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
76biimpi 208 . . . . 5 (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
87adantl 475 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
9 simp3 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
10 sge0rnbnd.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
12 sge0rnbnd.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
1312adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
1410, 12, 1sge0rern 41529 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
1514adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
1613, 15fge0iccico 41511 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
17 elpwinss 40148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥𝑋)
1817adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥𝑋)
19 elinel2 4023 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
2019adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
2111, 16, 18, 20fsumlesge0 41518 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ≤ (Σ^𝐹))
22213adant3 1123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ≤ (Σ^𝐹))
239, 22eqbrtrd 4908 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → 𝑤 ≤ (Σ^𝐹))
24233exp 1109 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) → 𝑤 ≤ (Σ^𝐹))))
2524rexlimdv 3212 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) → 𝑤 ≤ (Σ^𝐹)))
262, 8, 25sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))) → 𝑤 ≤ (Σ^𝐹))
2726ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))𝑤 ≤ (Σ^𝐹))
28 brralrspcev 4946 . 2 (((Σ^𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))𝑤 ≤ (Σ^𝐹)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))𝑤𝑧)
291, 27, 28syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))𝑤𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3398  cin 3791  wss 3792  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ran crn 5356  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cr 10271  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  cle 10412  [,]cicc 12490  Σcsu 14824  Σ^csumge0 41503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-sumge0 41504
This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  41541
  Copyright terms: Public domain W3C validator