MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg3 15765
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumcvg3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4 (𝜑𝐴𝑍)
fsumcvg3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcvg3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 4009 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
21rexbidv 3179 . . 3 (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3 fsumcvg3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑍)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑍)
5 fsumcvg3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5sseqtrdi 4024 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 ltso 11341 . . . . . 6 < Or ℝ
8 fsumcvg3.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11 uzssz 12899 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
12 zssre 12620 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3993 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
145, 13eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
154, 14sstrdi 3996 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
169, 10, 153jca 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17 fisupcl 9509 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
187, 16, 17sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
196, 18sseldd 3984 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
20 fimaxre2 12213 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘)
2115, 9, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘)
2215, 10, 213jca 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘))
23 suprub 12229 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2422, 23sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
256sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2611, 19sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28 elfz5 13556 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
2925, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
3024, 29mpbird 257 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3130ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3231ssrdv 3989 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3433sseq2d 4016 . . . . 5 (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3534rspcev 3622 . . . 4 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
3619, 32, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37 fsumcvg3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
38 uzid 12893 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
40 0ss 4400 . . . 4 ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
4241sseq2d 4016 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
4342rspcev 3622 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
4439, 40, 43sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
452, 36, 44pm2.61ne 3027 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
465eleq2i 2833 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
47 fsumcvg3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4846, 47sylan2br 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4948adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
50 simprl 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
51 fsumcvg3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5251adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
5449, 50, 52, 53fsumcvg2 15763 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55 climrel 15528 . . . 4 Rel ⇝
5655releldmi 5959 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
5845, 57rexlimddv 3161 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143   Or wor 5591  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  isumless  15881  radcnv0  26459  fsumcvg4  33949
  Copyright terms: Public domain W3C validator