Theorem fsumcvg3 15681

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 4002	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
2	1	rexbidv 3172	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3		fsumcvg3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
5		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	sseqtrdi 4027	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		ltso 11298	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8		fsumcvg3.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11		uzssz 12847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
12		zssre 12569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
14	5, 13	eqsstri 4011	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
15	4, 14	sstrdi 3989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	9, 10, 15	3jca 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17		fisupcl 9466	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	7, 16, 17	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
19	6, 18	sseldd 3978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		fimaxre2 12163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
21	15, 9, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
22	15, 10, 21	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘))
23		suprub 12179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
24	22, 23	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
25	6	sselda 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	11, 19	sselid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28		elfz5 13499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
29	25, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
30	24, 29	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	31	ssrdv 3983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
34	33	sseq2d 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
35	34	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
36	19, 32, 35	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37		fsumcvg3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		uzid 12841	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		0ss 4391	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
42	41	sseq2d 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
43	42	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
44	39, 40, 43	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
45	2, 36, 44	pm2.61ne 3021	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
46	5	eleq2i 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
48	46, 47	sylan2br 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
49	48	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
50		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
54	49, 50, 52, 53	fsumcvg2 15679	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55		climrel 15442	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 5941	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
58	45, 57	rexlimddv 3155	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141   Or wor 5580  dom cdm 5669  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  supcsup 9437  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972   ⇝ cli 15434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438

This theorem is referenced by:  isumless  15797  radcnv0  26307  fsumcvg4  33460