Theorem fsumcvg3 15761

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 4020	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
2	1	rexbidv 3176	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3		fsumcvg3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
5		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	sseqtrdi 4045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		ltso 11338	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8		fsumcvg3.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11		uzssz 12896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
12		zssre 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
14	5, 13	eqsstri 4029	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
15	4, 14	sstrdi 4007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	9, 10, 15	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17		fisupcl 9506	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	7, 16, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
19	6, 18	sseldd 3995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		fimaxre2 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
21	15, 9, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
22	15, 10, 21	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘))
23		suprub 12226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
25	6	sselda 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	11, 19	sselid 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28		elfz5 13552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
29	25, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
30	24, 29	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	31	ssrdv 4000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
34	33	sseq2d 4027	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
35	34	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
36	19, 32, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37		fsumcvg3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		uzid 12890	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		0ss 4405	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
42	41	sseq2d 4027	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
43	42	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
44	39, 40, 43	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
45	2, 36, 44	pm2.61ne 3024	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
46	5	eleq2i 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
48	46, 47	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
49	48	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
50		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
54	49, 50, 52, 53	fsumcvg2 15759	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55		climrel 15524	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 5961	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
58	45, 57	rexlimddv 3158	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  ifcif 4530   class class class wbr 5147   Or wor 5595  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  supcsup 9477  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   < clt 11292   ≤ cle 11293  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038   ⇝ cli 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520

This theorem is referenced by:  isumless  15877  radcnv0  26473  fsumcvg4  33910