Theorem fsumcvg3 15758

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3963	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
2	1	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3		fsumcvg3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
4	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
5		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	sseqtrdi 3978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		ltso 11265	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8		fsumcvg3.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11		uzssz 12862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
12		zssre 12577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
14	5, 13	eqsstri 3984	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
15	4, 14	sstrdi 3950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	9, 10, 15	3jca 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17		fisupcl 9418	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	7, 16, 17	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
19	6, 18	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		fimaxre2 12139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
21	15, 9, 20	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
22	15, 10, 21	3jca 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘))
23		suprub 12155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
24	22, 23	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
25	6	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	11, 19	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28		elfz5 13523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
29	25, 27, 28	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
30	24, 29	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
31	30	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	31	ssrdv 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33		oveq2 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
34	33	sseq2d 3970	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
35	34	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
36	19, 32, 35	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37		fsumcvg3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		uzid 12856	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		0ss 4356	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41		oveq2 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
42	41	sseq2d 3970	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
43	42	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
44	39, 40, 43	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
45	2, 36, 44	pm2.61ne 3044	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
46	5	eleq2i 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
48	46, 47	sylan2br 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
49	48	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
50		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53		simprr 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
54	49, 50, 52, 53	fsumcvg2 15756	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55		climrel 15521	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 5926	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
58	45, 57	rexlimddv 3171	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ifcif 4482   class class class wbr 5102   Or wor 5556  dom cdm 5649  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Fincfn 8929  supcsup 9388  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514  seqcseq 14016   ⇝ cli 15513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517

This theorem is referenced by:  isumless  15877  radcnv0  26481  fsumcvg4  34249