Theorem fsumcvg3 15614

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3969	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
2	1	rexbidv 3175	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3		fsumcvg3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
5		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	sseqtrdi 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		ltso 11235	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8		fsumcvg3.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11		uzssz 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
12		zssre 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
14	5, 13	eqsstri 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
15	4, 14	sstrdi 3956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	9, 10, 15	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17		fisupcl 9405	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	7, 16, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
19	6, 18	sseldd 3945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		fimaxre2 12100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
21	15, 9, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
22	15, 10, 21	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘))
23		suprub 12116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
25	6	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	11, 19	sselid 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28		elfz5 13433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
29	25, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
30	24, 29	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
31	30	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	31	ssrdv 3950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
34	33	sseq2d 3976	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
35	34	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
36	19, 32, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37		fsumcvg3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		uzid 12778	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		0ss 4356	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
42	41	sseq2d 3976	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
43	42	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
44	39, 40, 43	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
45	2, 36, 44	pm2.61ne 3030	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
46	5	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
48	46, 47	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
49	48	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
50		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
54	49, 50, 52, 53	fsumcvg2 15612	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55		climrel 15374	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 5903	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
58	45, 57	rexlimddv 3158	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105   Or wor 5544  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370

This theorem is referenced by:  isumless  15730  radcnv0  25775  fsumcvg4  32531