Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg3 15077
 Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumcvg3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4 (𝜑𝐴𝑍)
fsumcvg3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcvg3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3967 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
21rexbidv 3283 . . 3 (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3 fsumcvg3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑍)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑍)
5 fsumcvg3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5sseqtrdi 3992 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 ltso 10710 . . . . . 6 < Or ℝ
8 fsumcvg3.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
98adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11 uzssz 12252 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
12 zssre 11976 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3951 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
145, 13eqsstri 3976 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
154, 14sstrdi 3954 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
169, 10, 153jca 1125 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17 fisupcl 8921 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
187, 16, 17sylancr 590 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
196, 18sseldd 3943 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
20 fimaxre2 11574 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘)
2115, 9, 20syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘)
2215, 10, 213jca 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘))
23 suprub 11589 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2422, 23sylan 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
256sselda 3942 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2611, 19sseldi 3940 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
2726adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28 elfz5 12894 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
2925, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
3024, 29mpbird 260 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3130ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3231ssrdv 3948 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3433sseq2d 3974 . . . . 5 (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3534rspcev 3598 . . . 4 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
3619, 32, 35syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37 fsumcvg3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
38 uzid 12246 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
40 0ss 4322 . . . 4 ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
4241sseq2d 3974 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
4342rspcev 3598 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
4439, 40, 43sylancl 589 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
452, 36, 44pm2.61ne 3096 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
465eleq2i 2905 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
47 fsumcvg3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4846, 47sylan2br 597 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4948adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
50 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
51 fsumcvg3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5251adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
5449, 50, 52, 53fsumcvg2 15075 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55 climrel 14840 . . . 4 Rel ⇝
5655releldmi 5795 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
5845, 57rexlimddv 3277 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130  ∃wrex 3131   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  ifcif 4439   class class class wbr 5042   Or wor 5450  dom cdm 5532  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  supcsup 8892  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364   ⇝ cli 14832 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836 This theorem is referenced by:  isumless  15191  radcnv0  25009  fsumcvg4  31267
 Copyright terms: Public domain W3C validator