Theorem fsumcvg3 15686

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
fsumcvg3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3942	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
2	1	rexbidv 3165	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3		fsumcvg3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
4	3	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
5		fsumcvg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	sseqtrdi 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		ltso 11221	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8		fsumcvg3.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	8	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11		uzssz 12804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
12		zssre 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
14	5, 13	eqsstri 3963	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
15	4, 14	sstrdi 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	9, 10, 15	3jca 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17		fisupcl 9377	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	7, 16, 17	sylancr 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
19	6, 18	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		fimaxre2 12096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
21	15, 9, 20	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘)
22	15, 10, 21	3jca 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘))
23		suprub 12112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
24	22, 23	sylan 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
25	6	sselda 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	11, 19	sselid 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
27	26	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28		elfz5 13465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
29	25, 27, 28	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
30	24, 29	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
31	30	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	31	ssrdv 3923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
34	33	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
35	34	rspcev 3562	. . . 4 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
36	19, 32, 35	syl2anc 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37		fsumcvg3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38		uzid 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		0ss 4331	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
42	41	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
43	42	rspcev 3562	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
44	39, 40, 43	sylancl 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
45	2, 36, 44	pm2.61ne 3021	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
46	5	eleq2i 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fsumcvg3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
48	46, 47	sylan2br 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
49	48	adantlr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
50		simprl 777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fsumcvg3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	adantlr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53		simprr 779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
54	49, 50, 52, 53	fsumcvg2 15684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55		climrel 15449	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 5897	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
58	45, 57	rexlimddv 3148	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  ifcif 4457   class class class wbr 5075   Or wor 5528  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  supcsup 9347  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  seqcseq 13958   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445

This theorem is referenced by:  isumless  15805  radcnv0  26403  fsumcvg4  34146