MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcfaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcfaclem 16876
Description: Lemma for pcfac 16877. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcfaclem ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 12537 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3 nn0re 12521 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
433ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5 prmnn 16654 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
653ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7 eluznn0 12941 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
873adant3 1129 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
96, 8nnexpcld 14249 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„•)
109nnred 12267 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
119nngt0d 12301 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
12 ge0div 12121 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))))
134, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))))
142, 13mpbid 231 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
158nn0red 12573 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
16 eluzle 12875 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘€)
17163ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘€)
18 prmuz2 16676 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
19183ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
20 bernneq3 14235 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
2119, 8, 20syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
224, 15, 10, 17, 21lelttrd 11412 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
239nncnd 12268 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2423mulridd 11271 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
2522, 24breqtrrd 5180 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1))
26 1red 11255 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
27 ltdivmul 12129 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < 1 โ†” ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1)))
284, 26, 10, 11, 27syl112anc 1371 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < 1 โ†” ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1)))
2925, 28mpbird 256 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < 1)
30 0p1e1 12374 . . 3 (0 + 1) = 1
3129, 30breqtrrdi 5194 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < (0 + 1))
324, 9nndivred 12306 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆˆ โ„)
33 0z 12609 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
34 flbi 13823 . . 3 (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < (0 + 1))))
3532, 33, 34sylancl 584 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < (0 + 1))))
3614, 31, 35mpbir2and 711 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  2c2 12307  โ„•0cn0 12512  โ„คcz 12598  โ„คโ‰ฅcuz 12862  โŒŠcfl 13797  โ†‘cexp 14068  โ„™cprime 16651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-prm 16652
This theorem is referenced by:  pcfac  16877
  Copyright terms: Public domain W3C validator