MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcfaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcfaclem 16931
Description: Lemma for pcfac 16932. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcfaclem ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 12548 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
3 nn0re 12532 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 prmnn 16707 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
653ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7 eluznn0 12956 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
873adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
96, 8nnexpcld 14280 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑀) ∈ ℕ)
109nnred 12278 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
119nngt0d 12312 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 < (𝑃𝑀))
12 ge0div 12132 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑀)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀))))
134, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀))))
142, 13mpbid 232 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀)))
158nn0red 12585 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℝ)
16 eluzle 12888 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
17163ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁𝑀)
18 prmuz2 16729 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
19183ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
20 bernneq3 14266 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 < (𝑃𝑀))
2119, 8, 20syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 < (𝑃𝑀))
224, 15, 10, 17, 21lelttrd 11416 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < (𝑃𝑀))
239nncnd 12279 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
2423mulridd 11275 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃𝑀) · 1) = (𝑃𝑀))
2522, 24breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < ((𝑃𝑀) · 1))
26 1red 11259 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
27 ltdivmul 12140 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑀))) → ((𝑁 / (𝑃𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑀) · 1)))
284, 26, 10, 11, 27syl112anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 / (𝑃𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑀) · 1)))
2925, 28mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃𝑀)) < 1)
30 0p1e1 12385 . . 3 (0 + 1) = 1
3129, 30breqtrrdi 5189 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃𝑀)) < (0 + 1))
324, 9nndivred 12317 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
33 0z 12621 . . 3 0 ∈ ℤ
34 flbi 13852 . . 3 (((𝑁 / (𝑃𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑀)) < (0 + 1))))
3532, 33, 34sylancl 586 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑀)) < (0 + 1))))
3614, 31, 35mpbir2and 713 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cfl 13826  cexp 14098  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-prm 16705
This theorem is referenced by:  pcfac  16932
  Copyright terms: Public domain W3C validator