MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcfaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcfaclem 16840
Description: Lemma for pcfac 16841. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcfaclem ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 12501 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3 nn0re 12485 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
433ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5 prmnn 16618 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
653ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7 eluznn0 12905 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
873adant3 1129 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
96, 8nnexpcld 14213 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„•)
109nnred 12231 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
119nngt0d 12265 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
12 ge0div 12085 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))))
134, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))))
142, 13mpbid 231 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
158nn0red 12537 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
16 eluzle 12839 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘€)
17163ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘€)
18 prmuz2 16640 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
19183ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
20 bernneq3 14199 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
2119, 8, 20syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
224, 15, 10, 17, 21lelttrd 11376 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
239nncnd 12232 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2423mulridd 11235 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
2522, 24breqtrrd 5169 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1))
26 1red 11219 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
27 ltdivmul 12093 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < 1 โ†” ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1)))
284, 26, 10, 11, 27syl112anc 1371 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < 1 โ†” ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 1)))
2925, 28mpbird 257 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < 1)
30 0p1e1 12338 . . 3 (0 + 1) = 1
3129, 30breqtrrdi 5183 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < (0 + 1))
324, 9nndivred 12270 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆˆ โ„)
33 0z 12573 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
34 flbi 13787 . . 3 (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < (0 + 1))))
3532, 33, 34sylancl 585 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) < (0 + 1))))
3614, 31, 35mpbir2and 710 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘€))) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โŒŠcfl 13761  โ†‘cexp 14032  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  pcfac  16841
  Copyright terms: Public domain W3C validator