MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvge0 25883
Description: A function on a closed interval with nonnegative derivative is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvgt0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvge0.d (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)⟢(0[,)+∞))
dvge0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
dvge0.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
dvge0.l (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dvge0 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem dvge0
StepHypRef Expression
1 dvge0.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2 dvge0.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 dvgt0.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
6 dvge0.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)⟢(0[,)+∞))
73, 4, 5, 6dvgt0lem1 25879 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
87exp31 419 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ (0[,)+∞))))
91, 2, 8mp2and 696 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ (0[,)+∞)))
109imp 406 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 13432 . . . . . . 7 ((((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
1211simprbi 496 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
14 cncff 24757 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
155, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
1615, 2ffvelcdmd 7078 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
1715, 1ffvelcdmd 7078 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 11641 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
20 iccssre 13407 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
213, 4, 20syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2221, 2sseldd 3976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
2321, 1sseldd 3976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11641 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
2623, 22posdifd 11800 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ 0 < (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
2726biimpa 476 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 0 < (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
28 ge0div 12080 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
2919, 25, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) / (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
3013, 29mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)))
3130ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹))))
3216, 17subge0d 11803 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
3331, 32sylibd 238 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
3416leidd 11779 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
35 fveq2 6882 . . . 4 (𝑋 = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ))
3635breq1d 5149 . . 3 (𝑋 = π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜π‘Œ) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
3734, 36syl5ibrcom 246 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
38 dvge0.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
3923, 22leloed 11356 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
4038, 39mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ))
4133, 37, 40mpjaod 857 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  +∞cpnf 11244   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  (,)cioo 13325  [,)cico 13327  [,]cicc 13328  β€“cnβ†’ccncf 24740   D cdv 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740
This theorem is referenced by:  dvle  25884
  Copyright terms: Public domain W3C validator