MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvge0 24530
Description: A function on a closed interval with nonnegative derivative is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvge0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
dvge0.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.l (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvge0 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌))

Proof of Theorem dvge0
StepHypRef Expression
1 dvge0.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 dvge0.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 dvgt0.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
6 dvge0.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
73, 4, 5, 6dvgt0lem1 24526 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
87exp31 420 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))))
91, 2, 8mp2and 695 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞)))
109imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 12830 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
1211simprbi 497 . . . . . 6 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)))
14 cncff 23428 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
155, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1615, 2ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
1715, 1ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 11056 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
20 iccssre 12806 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
213, 4, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2221, 2sseldd 3965 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2321, 1sseldd 3965 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11056 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
2623, 22posdifd 11215 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
2726biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
28 ge0div 11495 . . . . . 6 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋)) → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
2919, 25, 27, 28syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
3013, 29mpbird 258 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
3130ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))))
3216, 17subge0d 11218 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
3331, 32sylibd 240 . 2 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
3416leidd 11194 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑌) ≤ (𝐹𝑌))
35 fveq2 6663 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
3635breq1d 5067 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌) ↔ (𝐹𝑌) ≤ (𝐹𝑌)))
3734, 36syl5ibrcom 248 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
38 dvge0.l . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
3923, 22leloed 10771 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌)))
4038, 39mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
4133, 37, 40mpjaod 854 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  cnccncf 23411   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvle  24531
  Copyright terms: Public domain W3C validator