Theorem dvge0 25952

Description: A function on a closed interval with nonnegative derivative is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvge0.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
dvge0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvge0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌))

Proof of Theorem dvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvge0.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		dvge0.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3		dvgt0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dvgt0.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		dvgt0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
6		dvge0.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
7	3, 4, 5, 6	dvgt0lem1 25948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
8	7	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ (0[,)+∞))))
9	1, 2, 8	mp2and 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ (0[,)+∞)))
10	9	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
11		elrege0 13464	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))))
12	11	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))
14		cncff 24826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
16	15, 2	ffvelcdmd 7095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
17	15, 1	ffvelcdmd 7095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
20		iccssre 13439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
21	3, 4, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22	21, 2	sseldd 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
23	21, 1	sseldd 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
24	22, 23	resubcld 11673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
26	23, 22	posdifd 11832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌 − 𝑋)))
27	26	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌 − 𝑋))
28		ge0div 12112	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 − 𝑋)) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))))
29	19, 25, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))))
30	13, 29	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)))
31	30	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 0 ≤ ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋))))
32	16, 17	subge0d 11835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
33	31, 32	sylibd 238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
34	16	leidd 11811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) ≤ (𝐹‘𝑌))
35		fveq2 6897	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
36	35	breq1d 5158	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘𝑌) ≤ (𝐹‘𝑌)))
37	34, 36	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
38		dvge0.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
39	23, 22	leloed 11388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
40	38, 39	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌))
41	33, 37, 40	mpjaod 859	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139  +∞cpnf 11276   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475   / cdiv 11902  (,)cioo 13357  [,)cico 13359  [,]cicc 13360  –cn→ccncf 24809   D cdv 25805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809

This theorem is referenced by:  dvle  25953