MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvge0 25168
Description: A function on a closed interval with nonnegative derivative is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvge0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
dvge0.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.l (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvge0 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌))

Proof of Theorem dvge0
StepHypRef Expression
1 dvge0.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 dvge0.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 dvgt0.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
6 dvge0.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
73, 4, 5, 6dvgt0lem1 25164 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
87exp31 420 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))))
91, 2, 8mp2and 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞)))
109imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 13185 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
1211simprbi 497 . . . . . 6 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)))
14 cncff 24054 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
155, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1615, 2ffvelrnd 6959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
1715, 1ffvelrnd 6959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 11403 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
20 iccssre 13160 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
213, 4, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2221, 2sseldd 3927 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2321, 1sseldd 3927 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11403 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
2623, 22posdifd 11562 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
2726biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
28 ge0div 11842 . . . . . 6 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋)) → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
2919, 25, 27, 28syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
3013, 29mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
3130ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))))
3216, 17subge0d 11565 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
3331, 32sylibd 238 . 2 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
3416leidd 11541 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑌) ≤ (𝐹𝑌))
35 fveq2 6771 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
3635breq1d 5089 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌) ↔ (𝐹𝑌) ≤ (𝐹𝑌)))
3734, 36syl5ibrcom 246 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
38 dvge0.l . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
3923, 22leloed 11118 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌)))
4038, 39mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
4133, 37, 40mpjaod 857 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892   class class class wbr 5079  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cr 10871  0cc0 10872  +∞cpnf 11007   < clt 11010  cle 11011  cmin 11205   / cdiv 11632  (,)cioo 13078  [,)cico 13080  [,]cicc 13081  cnccncf 24037   D cdv 25025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029
This theorem is referenced by:  dvle  25169
  Copyright terms: Public domain W3C validator