MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvge0 25170
Description: A function on a closed interval with nonnegative derivative is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvge0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
dvge0.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dvge0.l (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvge0 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌))

Proof of Theorem dvge0
StepHypRef Expression
1 dvge0.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 dvge0.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 dvgt0.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 dvgt0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 dvgt0.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
6 dvge0.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(0[,)+∞))
73, 4, 5, 6dvgt0lem1 25166 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
87exp31 420 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))))
91, 2, 8mp2and 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞)))
109imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 13186 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
1211simprbi 497 . . . . . 6 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋)))
14 cncff 24056 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
155, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1615, 2ffvelrnd 6962 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
1715, 1ffvelrnd 6962 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 11403 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
20 iccssre 13161 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
213, 4, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2221, 2sseldd 3922 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2321, 1sseldd 3922 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11403 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
2623, 22posdifd 11562 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
2726biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
28 ge0div 11842 . . . . . 6 ((((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋)) → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
2919, 25, 27, 28syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ 0 ≤ (((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) / (𝑌𝑋))))
3013, 29mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
3130ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))))
3216, 17subge0d 11565 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)) ↔ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
3331, 32sylibd 238 . 2 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
3416leidd 11541 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑌) ≤ (𝐹𝑌))
35 fveq2 6774 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
3635breq1d 5084 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌) ↔ (𝐹𝑌) ≤ (𝐹𝑌)))
3734, 36syl5ibrcom 246 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌)))
38 dvge0.l . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
3923, 22leloed 11118 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌)))
4038, 39mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
4133, 37, 40mpjaod 857 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887   class class class wbr 5074  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  [,]cicc 13082  cnccncf 24039   D cdv 25027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031
This theorem is referenced by:  dvle  25171
  Copyright terms: Public domain W3C validator