Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0oALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0oALTV 47065
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0oALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0oALTV
StepHypRef Expression
1 oddm1div2z 47003 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21adantl 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3 elnn0 12512 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4 nnm1ge0 12668 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5 nnre 12257 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 peano2rem 11565 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
8 2re 12324 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 12353 . . . . . . . . 9 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
12 ge0div 12119 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
137, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
144, 13mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
1514a1d 25 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
16 eleq1 2817 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
17 0noddALTV 47058 . . . . . . 7 0 ∉ Odd
18 df-nel 3044 . . . . . . . 8 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
19 pm2.21 123 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2018, 19sylbi 216 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2117, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2216, 21biimtrdi 252 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2315, 22jaoi 855 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
243, 23sylbi 216 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2524imp 405 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26 elnn0z 12609 . 2 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
272, 25, 26sylanbrc 581 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3043   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482   / cdiv 11909  cn 12250  2c2 12305  0cn0 12510  cz 12596   Odd codd 46994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-even 46995  df-odd 46996
This theorem is referenced by:  nn0onn0exALTV  47068
  Copyright terms: Public domain W3C validator