Theorem nn0oALTV 48009

Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0oALTV	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0oALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddm1div2z 47947	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3		elnn0 12407	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4		nnm1ge0 12564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5		nnre 12156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		peano2rem 11452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
8		2re 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10		2pos 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
12		ge0div 12013	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
14	4, 13	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
15	14	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
16		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
17		0noddALTV 48002	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∉ Odd
18		df-nel 3038	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
19		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
20	18, 19	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
22	16, 21	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
23	15, 22	jaoi 858	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
24	3, 23	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
25	24	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26		elnn0z 12505	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
27	2, 25, 26	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492   Odd codd 47938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-even 47939  df-odd 47940

This theorem is referenced by:  nn0onn0exALTV  48012