Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0oALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0oALTV 46918
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0oALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0oALTV
StepHypRef Expression
1 oddm1div2z 46856 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3 elnn0 12475 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4 nnm1ge0 12631 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5 nnre 12220 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 peano2rem 11528 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
8 2re 12287 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 12316 . . . . . . . . 9 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
12 ge0div 12082 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
137, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
144, 13mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
1514a1d 25 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
16 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
17 0noddALTV 46911 . . . . . . 7 0 ∉ Odd
18 df-nel 3041 . . . . . . . 8 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
19 pm2.21 123 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2018, 19sylbi 216 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2117, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2216, 21syl6bi 253 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2315, 22jaoi 854 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
243, 23sylbi 216 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2524imp 406 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26 elnn0z 12572 . 2 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
272, 25, 26sylanbrc 582 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3040   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249  cle 11250  cmin 11445   / cdiv 11872  cn 12213  2c2 12268  0cn0 12473  cz 12559   Odd codd 46847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-even 46848  df-odd 46849
This theorem is referenced by:  nn0onn0exALTV  46921
  Copyright terms: Public domain W3C validator