Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0oALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0oALTV 46354
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0oALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0oALTV
StepHypRef Expression
1 oddm1div2z 46292 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3 elnn0 12473 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4 nnm1ge0 12629 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5 nnre 12218 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 peano2rem 11526 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
8 2re 12285 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 12314 . . . . . . . . 9 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
12 ge0div 12080 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
137, 9, 11, 12syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
144, 13mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
1514a1d 25 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
16 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
17 0noddALTV 46347 . . . . . . 7 0 ∉ Odd
18 df-nel 3047 . . . . . . . 8 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
19 pm2.21 123 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2018, 19sylbi 216 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2117, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2216, 21syl6bi 252 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2315, 22jaoi 855 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
243, 23sylbi 216 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2524imp 407 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26 elnn0z 12570 . 2 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
272, 25, 26sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3046   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11247  cle 11248  cmin 11443   / cdiv 11870  cn 12211  2c2 12266  0cn0 12471  cz 12557   Odd codd 46283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-even 46284  df-odd 46285
This theorem is referenced by:  nn0onn0exALTV  46357
  Copyright terms: Public domain W3C validator