Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0oALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0oALTV 44207
 Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0oALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0oALTV
StepHypRef Expression
1 oddm1div2z 44145 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21adantl 485 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3 elnn0 11891 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4 nnm1ge0 12042 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5 nnre 11636 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 peano2rem 10946 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
8 2re 11703 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 11732 . . . . . . . . 9 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
12 ge0div 11500 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
137, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
144, 13mpbid 235 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
1514a1d 25 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
16 eleq1 2880 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
17 0noddALTV 44200 . . . . . . 7 0 ∉ Odd
18 df-nel 3095 . . . . . . . 8 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
19 pm2.21 123 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2018, 19sylbi 220 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2117, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2216, 21syl6bi 256 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2315, 22jaoi 854 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
243, 23sylbi 220 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
2524imp 410 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26 elnn0z 11986 . 2 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
272, 25, 26sylanbrc 586 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∉ wnel 3094   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973   Odd codd 44136 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-even 44137  df-odd 44138 This theorem is referenced by:  nn0onn0exALTV  44210
 Copyright terms: Public domain W3C validator