Theorem nn0e 45116

Description: An alternate characterization of an even nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0e	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 12256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2		nn0re 12240	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12045	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12074	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
7		ge0div 11840	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
9	1, 8	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
10		evendiv2z 45051	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
11	9, 10	anim12ci 614	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
12		elnn0z 12330	. 2 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
13	11, 12	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5076  (class class class)co 7277  ℝcr 10868  0cc0 10869   < clt 11007   ≤ cle 11008   / cdiv 11630  2c2 12026  ℕ₀cn0 12231  ℤcz 12317   Even ceven 45043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-even 45045

This theorem is referenced by:  nn0enn0exALTV  45119