Theorem nn0ge0div 12642

Description: Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0div	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))

Proof of Theorem nn0ge0div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 12506	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐾)
3		elnnz 12578	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
4		nn0re 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6		zre 12572	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 738	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
8		simprr 782	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 < 𝐿)
9	5, 7, 8	3jca 1141	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
10	3, 9	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
11		ge0div 12059	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / 𝐿)))
13	2, 12	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐾 / 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073   < clt 11216   ≤ cle 11217   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569

This theorem is referenced by:  fldivnn0  13832  divfl0  13834  faclimlem3  36095  faclim  36096  iprodfac  36097