MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthlem 16842
Description: Lemma for pockthg 16843. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
pockthg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
pockthg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
pockthg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
pockthlem.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pockthlem.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
pockthlem.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
pockthlem.8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
pockthlem.9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
pockthlem.10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
pockthlem.11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
Assertion
Ref Expression
pockthlem (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)))

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
2 prmnn 16615 . . . . . 6 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
4 pockthlem.8 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12536 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
63, 5nnexpcld 14212 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„•)
76nnzd 12589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
8 pockthlem.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
9 prmnn 16615 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
11 pockthlem.9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
1210nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
13 gcddvds 16448 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘ƒ))
1411, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘ƒ))
1514simpld 493 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ)
1611, 12gcdcld 16453 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
18 pockthg.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
19 pockthg.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
20 pockthg.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2119, 20nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
22 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2321, 22eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
24 eluzp1p1 12854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
2618, 25eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
27 df-2 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
2827fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
2926, 28eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
30 eluz2b2 12909 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘))
3231simpld 493 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3332nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3414simprd 494 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘ƒ)
35 pockthlem.6 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
3617, 12, 33, 34, 35dvdstrd 16242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘)
3732nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
38 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
3938necon3ai 2963 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0))
41 dvdslegcd 16449 . . . . . . . . 9 ((((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค (๐ถ gcd ๐‘)))
4217, 11, 33, 40, 41syl31anc 1371 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค (๐ถ gcd ๐‘)))
4315, 36, 42mp2and 695 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค (๐ถ gcd ๐‘))
44 pockthlem.10 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
4544oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = (1 gcd ๐‘))
46 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„ค
47 eluzp1m1 12852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4846, 26, 47sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4948, 22eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
5049nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
51 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
5211, 50, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
53 modgcd 16478 . . . . . . . . . 10 (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘))
5452, 32, 53syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘))
55 gcdcom 16458 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 1))
5646, 33, 55sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 1))
57 gcd1 16473 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ gcd 1) = 1)
5833, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd 1) = 1)
5956, 58eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 gcd ๐‘) = 1)
6045, 54, 593eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘) = 1)
61 rpexp 16663 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘) = 1))
6211, 33, 49, 61syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘) = 1))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) = 1)
6443, 63breqtrd 5173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค 1)
6510nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
66 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0) โ†’ ๐‘ƒ = 0)
6766necon3ai 2963 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0))
6865, 67syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0))
69 gcdn0cl 16447 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
7011, 12, 68, 69syl21anc 834 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
71 nnle1eq1 12246 . . . . . . 7 ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1))
7364, 72mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1)
74 odzcl 16730 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„•)
7510, 11, 73, 74syl3anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„•)
7675nnzd 12589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ค)
77 prmuz2 16637 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
788, 77syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7978, 28eleqtrdi 2841 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
80 eluzp1m1 12852 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8146, 79, 80sylancr 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8281, 22eleqtrrdi 2842 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
8382nnzd 12589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
8419nnzd 12589 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8549nnzd 12589 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
86 pcdvds 16801 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ๐ด)
871, 19, 86syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ๐ด)
8820nnzd 12589 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
89 dvdsmul1 16225 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
9084, 88, 89syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
9118oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ 1))
9221nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
93 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
94 pncan 11470 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ 1) = (๐ด ยท ๐ต))
9592, 93, 94sylancl 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ 1) = (๐ด ยท ๐ต))
9691, 95eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (๐ด ยท ๐ต))
9790, 96breqtrrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
987, 84, 85, 87, 97dvdstrd 16242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
996nnne0d 12266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โ‰  0)
100 dvdsval2 16204 . . . . . 6 (((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค))
1017, 99, 85, 100syl3anc 1369 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค))
10298, 101mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค)
103 peano2zm 12609 . . . . . . . 8 ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
10452, 103syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
10532nnred 12231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
10631simprd 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘)
107 1mod 13872 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
108105, 106, 107syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
10944, 108eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
110 1zzd 12597 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
111 moddvds 16212 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
11232, 52, 110, 111syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
113109, 112mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
11412, 33, 104, 35, 113dvdstrd 16242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
115 odzdvds 16732 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
11610, 11, 73, 50, 115syl31anc 1371 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
117114, 116mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
11849nncnd 12232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1196nncnd 12232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
120118, 119, 99divcan1d 11995 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) = (๐‘ โˆ’ 1))
121117, 120breqtrrd 5175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))))
122 nprmdvds1 16647 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
1238, 122syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
1243nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
125 iddvdsexp 16227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)))
126124, 4, 125syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)))
127124, 7, 85, 126, 98dvdstrd 16242 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
1283nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
129 dvdsval2 16204 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค))
130124, 128, 85, 129syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค))
131127, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
13250nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
13349nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1343nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1353nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘„)
136 ge0div 12085 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘„) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
137133, 134, 135, 136syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
138132, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„))
139 elnn0z 12575 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0 โ†” (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
140131, 138, 139sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0)
141 zexpcl 14046 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆˆ โ„ค)
14211, 140, 141syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆˆ โ„ค)
143 peano2zm 12609 . . . . . . . . 9 ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
144142, 143syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
145 dvdsgcd 16490 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘)))
14612, 144, 33, 145syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘)))
14735, 146mpan2d 690 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘)))
148 odzdvds 16732 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
14910, 11, 73, 140, 148syl31anc 1371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
1503nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
1514nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
152150, 128, 151expm1d 14125 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1)) = ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) / ๐‘„))
153152oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) / ๐‘„)))
154133, 6nndivred 12270 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„)
155154recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
156155, 119, 150, 128divassd 12029 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) / ๐‘„) = (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) / ๐‘„)))
157120oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) / ๐‘„) = ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„))
158153, 156, 1573eqtr2d 2776 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„))
159158breq2d 5159 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
160149, 159bitr4d 281 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1)))))
161 pockthlem.11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
162161breq2d 5159 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1))
163147, 160, 1623imtr3d 292 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ 1))
164123, 163mtod 197 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))))
165 prmpwdvds 16841 . . . 4 (((((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆง ยฌ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))))) โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ))
166102, 76, 1, 4, 121, 164, 165syl222anc 1384 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ))
167 odzphi 16733 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
16810, 11, 73, 167syl3anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
169 phiprm 16714 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
1708, 169syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
171168, 170breqtrd 5173 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1))
1727, 76, 83, 166, 171dvdstrd 16242 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1))
173 pcdvdsb 16806 . . 3 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1741, 83, 5, 173syl3anc 1369 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
175172, 174mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612  odโ„คcodz 16700  ฯ•cphi 16701   pCnt cpc 16773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-odz 16702  df-phi 16703  df-pc 16774
This theorem is referenced by:  pockthg  16843
  Copyright terms: Public domain W3C validator