MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthlem 16843
Description: Lemma for pockthg 16844. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
pockthg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
pockthg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
pockthg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
pockthlem.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pockthlem.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
pockthlem.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
pockthlem.8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
pockthlem.9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
pockthlem.10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
pockthlem.11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
Assertion
Ref Expression
pockthlem (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)))

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
2 prmnn 16616 . . . . . 6 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
4 pockthlem.8 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12537 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
63, 5nnexpcld 14213 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„•)
76nnzd 12590 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
8 pockthlem.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
9 prmnn 16616 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
11 pockthlem.9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
1210nnzd 12590 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
13 gcddvds 16449 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘ƒ))
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘ƒ))
1514simpld 494 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ)
1611, 12gcdcld 16454 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12589 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
18 pockthg.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
19 pockthg.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
20 pockthg.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2119, 20nnmulcld 12270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
22 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2321, 22eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
24 eluzp1p1 12855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
2618, 25eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
27 df-2 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
2827fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
2926, 28eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
30 eluz2b2 12910 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘))
3231simpld 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3332nnzd 12590 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3414simprd 495 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘ƒ)
35 pockthlem.6 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
3617, 12, 33, 34, 35dvdstrd 16243 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘)
3732nnne0d 12267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
3938necon3ai 2964 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0))
41 dvdslegcd 16450 . . . . . . . . 9 ((((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค (๐ถ gcd ๐‘)))
4217, 11, 33, 40, 41syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค (๐ถ gcd ๐‘)))
4315, 36, 42mp2and 696 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค (๐ถ gcd ๐‘))
44 pockthlem.10 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
4544oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = (1 gcd ๐‘))
46 1z 12597 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„ค
47 eluzp1m1 12853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4846, 26, 47sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4948, 22eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
5049nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
51 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
5211, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
53 modgcd 16479 . . . . . . . . . 10 (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘))
5452, 32, 53syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘))
55 gcdcom 16459 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 1))
5646, 33, 55sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 1))
57 gcd1 16474 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ gcd 1) = 1)
5833, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd 1) = 1)
5956, 58eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 gcd ๐‘) = 1)
6045, 54, 593eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘) = 1)
61 rpexp 16664 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘) = 1))
6211, 33, 49, 61syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘) = 1))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) = 1)
6443, 63breqtrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค 1)
6510nnne0d 12267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
66 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0) โ†’ ๐‘ƒ = 0)
6766necon3ai 2964 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0))
6865, 67syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0))
69 gcdn0cl 16448 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ถ = 0 โˆง ๐‘ƒ = 0)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
7011, 12, 68, 69syl21anc 835 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
71 nnle1eq1 12247 . . . . . . 7 ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘ƒ) โ‰ค 1 โ†” (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1))
7364, 72mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1)
74 odzcl 16731 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„•)
7510, 11, 73, 74syl3anc 1370 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„•)
7675nnzd 12590 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ค)
77 prmuz2 16638 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
788, 77syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7978, 28eleqtrdi 2842 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
80 eluzp1m1 12853 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8146, 79, 80sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8281, 22eleqtrrdi 2843 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
8382nnzd 12590 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
8419nnzd 12590 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8549nnzd 12590 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
86 pcdvds 16802 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ๐ด)
871, 19, 86syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ๐ด)
8820nnzd 12590 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
89 dvdsmul1 16226 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
9084, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
9118oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ 1))
9221nncnd 12233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
93 ax-1cn 11171 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
94 pncan 11471 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ 1) = (๐ด ยท ๐ต))
9592, 93, 94sylancl 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ 1) = (๐ด ยท ๐ต))
9691, 95eqtrd 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (๐ด ยท ๐ต))
9790, 96breqtrrd 5177 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
987, 84, 85, 87, 97dvdstrd 16243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
996nnne0d 12267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โ‰  0)
100 dvdsval2 16205 . . . . . 6 (((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค))
1017, 99, 85, 100syl3anc 1370 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค))
10298, 101mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค)
103 peano2zm 12610 . . . . . . . 8 ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
10452, 103syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
10532nnred 12232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
10631simprd 495 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘)
107 1mod 13873 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
108105, 106, 107syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
10944, 108eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
110 1zzd 12598 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
111 moddvds 16213 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
11232, 52, 110, 111syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
113109, 112mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
11412, 33, 104, 35, 113dvdstrd 16243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
115 odzdvds 16733 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
11610, 11, 73, 50, 115syl31anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
117114, 116mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
11849nncnd 12233 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1196nncnd 12233 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
120118, 119, 99divcan1d 11996 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) = (๐‘ โˆ’ 1))
121117, 120breqtrrd 5177 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))))
122 nprmdvds1 16648 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
1238, 122syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
1243nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
125 iddvdsexp 16228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)))
126124, 4, 125syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)))
127124, 7, 85, 126, 98dvdstrd 16243 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
1283nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
129 dvdsval2 16205 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค))
130124, 128, 85, 129syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค))
131127, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
13250nn0ge0d 12540 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
13349nnred 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1343nnred 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1353nngt0d 12266 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘„)
136 ge0div 12086 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘„) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
137133, 134, 135, 136syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
138132, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„))
139 elnn0z 12576 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0 โ†” (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
140131, 138, 139sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0)
141 zexpcl 14047 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆˆ โ„ค)
14211, 140, 141syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆˆ โ„ค)
143 peano2zm 12610 . . . . . . . . 9 ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
144142, 143syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
145 dvdsgcd 16491 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘)))
14612, 144, 33, 145syl3anc 1370 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘)))
14735, 146mpan2d 691 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘)))
148 odzdvds 16733 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
14910, 11, 73, 140, 148syl31anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
1503nncnd 12233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
1514nnzd 12590 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
152150, 128, 151expm1d 14126 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1)) = ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) / ๐‘„))
153152oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) / ๐‘„)))
154133, 6nndivred 12271 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„)
155154recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
156155, 119, 150, 128divassd 12030 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) / ๐‘„) = (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท ((๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) / ๐‘„)))
157120oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) / ๐‘„) = ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„))
158153, 156, 1573eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„))
159158breq2d 5161 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)))
160149, 159bitr4d 281 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) โ†” ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1)))))
161 pockthlem.11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
162161breq2d 5161 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘„)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1))
163147, 160, 1623imtr3d 292 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ 1))
164123, 163mtod 197 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))))
165 prmpwdvds 16842 . . . 4 (((((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„ค โˆง ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) โˆง ยฌ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (((๐‘ โˆ’ 1) / (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด))) ยท (๐‘„โ†‘((๐‘„ pCnt ๐ด) โˆ’ 1))))) โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ))
166102, 76, 1, 4, 121, 164, 165syl222anc 1385 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ))
167 odzphi 16734 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
16810, 11, 73, 167syl3anc 1370 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
169 phiprm 16715 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
1708, 169syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
171168, 170breqtrd 5175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((odโ„คโ€˜๐‘ƒ)โ€˜๐ถ) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1))
1727, 76, 83, 166, 171dvdstrd 16243 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1))
173 pcdvdsb 16807 . . 3 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1741, 83, 5, 173syl3anc 1370 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘„โ†‘(๐‘„ pCnt ๐ด)) โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
175172, 174mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘„ pCnt (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827   mod cmo 13839  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  โ„™cprime 16613  odโ„คcodz 16701  ฯ•cphi 16702   pCnt cpc 16774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-odz 16703  df-phi 16704  df-pc 16775
This theorem is referenced by:  pockthg  16844
  Copyright terms: Public domain W3C validator