pockthlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem pockthlem 16231

Description: Lemma for pockthg 16232. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
pockthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11	⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pcdvds 16190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
5	2	nnzd 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		pockthg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 15623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9	5, 7, 8	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
10		pockthg.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
11	10	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
12	2, 6	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		ax-1cn 10584	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 10881	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
16	13, 14, 15	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
17	11, 16	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
18	9, 17	breqtrrd 5058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
19		prmnn 16008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
21		pockthlem.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 11943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
23	20, 22	nnexpcld 13602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 12074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
25		1z 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		nnuz 12269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
27	12, 26	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
28		eluzp1p1 12258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
30	10, 29	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
31		eluzp1m1 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
32	25, 30, 31	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
33	32, 26	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
35		dvdstr 15638	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
36	24, 5, 34, 35	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
37	4, 18, 36	mp2and 698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
38	23	nnne0d 11675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
39		dvdsval2 15602	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
40	24, 38, 34, 39	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
41	37, 40	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
42		pockthlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
43		prmnn 16008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
45		pockthlem.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
46	44	nnzd 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
47		gcddvds 15842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
48	45, 46, 47	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
49	48	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
50	48	simprd 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
51		pockthlem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
52	45, 46	gcdcld 15847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ₀)
53	52	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
54		df-2 11688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
55	54	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
56	30, 55	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
57		eluz2b2 12309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
58	56, 57	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
59	58	simpld 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
61		dvdstr 15638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
62	53, 46, 60, 61	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
63	50, 51, 62	mp2and 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
64	59	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
65		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
66	65	necon3ai 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
68		dvdslegcd 15843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
69	53, 45, 60, 67, 68	syl31anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
70	49, 63, 69	mp2and 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
71		pockthlem.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
72	71	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
73	33	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
74		zexpcl 13440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
75	45, 73, 74	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
76		modgcd 15870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
77	75, 59, 76	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
78		gcdcom 15852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
79	25, 60, 78	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
80		gcd1 15866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
81	60, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
82	79, 81	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
83	72, 77, 82	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
84		rpexp 16054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
85	45, 60, 33, 84	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
86	83, 85	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
87	70, 86	breqtrd 5056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
88	44	nnne0d 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
89		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
90	89	necon3ai 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
92		gcdn0cl 15841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
93	45, 46, 91, 92	syl21anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
94		nnle1eq1 11655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
96	87, 95	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
97		odzcl 16120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
98	44, 45, 96, 97	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
99	98	nnzd 12074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
100	59	nnred 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
101	58	simprd 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
102		1mod 13266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
103	100, 101, 102	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
104	71, 103	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
105		1zzd 12001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
106		moddvds 15610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
107	59, 75, 105, 106	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
108	104, 107	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
109		peano2zm 12013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
110	75, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
111		dvdstr 15638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
112	46, 60, 110, 111	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
113	51, 108, 112	mp2and 698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
114		odzdvds 16122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
115	44, 45, 96, 73, 114	syl31anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
116	113, 115	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
117	33	nncnd 11641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
118	23	nncnd 11641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
119	117, 118, 38	divcan1d 11406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
120	116, 119	breqtrrd 5058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
121		nprmdvds1 16040	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
122	42, 121	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
123	20	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
124		iddvdsexp 15625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
125	123, 21, 124	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
126		dvdstr 15638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
127	123, 24, 34, 126	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
128	125, 37, 127	mp2and 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
129	20	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
130		dvdsval2 15602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
131	123, 129, 34, 130	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
132	128, 131	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
133	73	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
134	33	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
135	20	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
136	20	nngt0d 11674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
137		ge0div 11496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
138	134, 135, 136, 137	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
139	133, 138	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
140		elnn0z 11982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
141	132, 139, 140	sylanbrc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀)
142		zexpcl 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
143	45, 141, 142	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
144		peano2zm 12013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
146		dvdsgcd 15882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
147	46, 145, 60, 146	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
148	51, 147	mpan2d 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
149		odzdvds 16122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
150	44, 45, 96, 141, 149	syl31anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
151	20	nncnd 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
152	21	nnzd 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
153	151, 129, 152	expm1d 13516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
154	153	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
155	134, 23	nndivred 11679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
156	155	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
157	156, 118, 151, 129	divassd 11440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
158	119	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
159	154, 157, 158	3eqtr2d 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
160	159	breq2d 5042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
161	150, 160	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
162		pockthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
163	162	breq2d 5042	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
164	148, 161, 163	3imtr3d 296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
165	122, 164	mtod 201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
166		prmpwdvds 16230	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
167	41, 99, 1, 21, 120, 165, 166	syl222anc 1383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
168		odzphi 16123	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
169	44, 45, 96, 168	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
170		phiprm 16104	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
171	42, 170	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
172	169, 171	breqtrd 5056	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
173		prmuz2 16030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
174	42, 173	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
175	174, 55	eleqtrdi 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
176		eluzp1m1 12256	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
177	25, 175, 176	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
178	177, 26	eleqtrrdi 2901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
179	178	nnzd 12074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
180		dvdstr 15638	. . . 4 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
181	24, 99, 179, 180	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
182	167, 172, 181	mp2and 698	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
183		pcdvdsb 16195	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
184	1, 179, 22, 183	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
185	182, 184	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 class class class wbr 5030 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 mod cmo 13232 ↑cexp 13425 ∥ cdvds 15599 gcd cgcd 15833 ℙcprime 16005 od_ℤcodz 16090 ϕcphi 16091 pCnt cpc 16163

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-inf 8891 df-dju 9314 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-n0 11886 df-xnn0 11956 df-z 11970 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-hash 13687 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-dvds 15600 df-gcd 15834 df-prm 16006 df-odz 16092 df-phi 16093 df-pc 16164

This theorem is referenced by: pockthg 16232

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