pockthlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem pockthlem 15980

Description: Lemma for pockthg 15981. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
pockthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11	⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pcdvds 15939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
5	2	nnzd 11809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		pockthg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 11809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 15380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9	5, 7, 8	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
10		pockthg.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
11	10	oveq1d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
12	2, 6	nnmulcld 11404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		ax-1cn 10310	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 10607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
16	13, 14, 15	sylancl 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
17	11, 16	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
18	9, 17	breqtrrd 4901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
19		prmnn 15760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
21		pockthlem.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 11678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
23	20, 22	nnexpcld 13326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 11809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
25		1z 11735	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		nnuz 12005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
27	12, 26	syl6eleq 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
28		eluzp1p1 11994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
30	10, 29	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
31		eluzp1m1 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
32	25, 30, 31	sylancr 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
33	32, 26	syl6eleqr 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
34	33	nnzd 11809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
35		dvdstr 15395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
36	24, 5, 34, 35	syl3anc 1496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
37	4, 18, 36	mp2and 692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
38	23	nnne0d 11401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
39		dvdsval2 15360	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
40	24, 38, 34, 39	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
41	37, 40	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
42		pockthlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
43		prmnn 15760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
45		pockthlem.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
46	44	nnzd 11809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
47		gcddvds 15598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
48	45, 46, 47	syl2anc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
49	48	simpld 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
50	48	simprd 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
51		pockthlem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
52	45, 46	gcdcld 15603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ₀)
53	52	nn0zd 11808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
54		df-2 11414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
55	54	fveq2i 6436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
56	30, 55	syl6eleqr 2917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
57		eluz2b2 12044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
58	56, 57	sylib 210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
59	58	simpld 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
60	59	nnzd 11809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
61		dvdstr 15395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
62	53, 46, 60, 61	syl3anc 1496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
63	50, 51, 62	mp2and 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
64	59	nnne0d 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
65		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
66	65	necon3ai 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
68		dvdslegcd 15599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
69	53, 45, 60, 67, 68	syl31anc 1498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
70	49, 63, 69	mp2and 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
71		pockthlem.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
72	71	oveq1d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
73	33	nnnn0d 11678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
74		zexpcl 13169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
75	45, 73, 74	syl2anc 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
76		modgcd 15626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
77	75, 59, 76	syl2anc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
78		gcdcom 15608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
79	25, 60, 78	sylancr 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
80		gcd1 15622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
81	60, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
82	79, 81	eqtrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
83	72, 77, 82	3eqtr3d 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
84		rpexp 15803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
85	45, 60, 33, 84	syl3anc 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
86	83, 85	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
87	70, 86	breqtrd 4899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
88	44	nnne0d 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
89		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
90	89	necon3ai 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
92		gcdn0cl 15597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
93	45, 46, 91, 92	syl21anc 873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
94		nnle1eq1 11382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
96	87, 95	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
97		odzcl 15869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
98	44, 45, 96, 97	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
99	98	nnzd 11809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
100	59	nnred 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
101	58	simprd 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
102		1mod 12997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
103	100, 101, 102	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
104	71, 103	eqtr4d 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
105		1zzd 11736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
106		moddvds 15368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
107	59, 75, 105, 106	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
108	104, 107	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
109		peano2zm 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
110	75, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
111		dvdstr 15395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
112	46, 60, 110, 111	syl3anc 1496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
113	51, 108, 112	mp2and 692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
114		odzdvds 15871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
115	44, 45, 96, 73, 114	syl31anc 1498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
116	113, 115	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
117	33	nncnd 11368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
118	23	nncnd 11368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
119	117, 118, 38	divcan1d 11128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
120	116, 119	breqtrrd 4901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
121		nprmdvds1 15789	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
122	42, 121	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
123	20	nnzd 11809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
124		iddvdsexp 15382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
125	123, 21, 124	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
126		dvdstr 15395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
127	123, 24, 34, 126	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
128	125, 37, 127	mp2and 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
129	20	nnne0d 11401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
130		dvdsval2 15360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
131	123, 129, 34, 130	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
132	128, 131	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
133	73	nn0ge0d 11681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
134	33	nnred 11367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
135	20	nnred 11367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
136	20	nngt0d 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
137		ge0div 11220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
138	134, 135, 136, 137	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
139	133, 138	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
140		elnn0z 11717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
141	132, 139, 140	sylanbrc 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀)
142		zexpcl 13169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
143	45, 141, 142	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
144		peano2zm 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
146		dvdsgcd 15634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
147	46, 145, 60, 146	syl3anc 1496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
148	51, 147	mpan2d 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
149		odzdvds 15871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
150	44, 45, 96, 141, 149	syl31anc 1498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
151	20	nncnd 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
152	21	nnzd 11809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
153	151, 129, 152	expm1d 13312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
154	153	oveq2d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
155	134, 23	nndivred 11405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
156	155	recnd 10385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
157	156, 118, 151, 129	divassd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
158	119	oveq1d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
159	154, 157, 158	3eqtr2d 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
160	159	breq2d 4885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
161	150, 160	bitr4d 274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
162		pockthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
163	162	breq2d 4885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
164	148, 161, 163	3imtr3d 285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
165	122, 164	mtod 190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
166		prmpwdvds 15979	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
167	41, 99, 1, 21, 120, 165, 166	syl222anc 1511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
168		odzphi 15872	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
169	44, 45, 96, 168	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
170		phiprm 15853	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
171	42, 170	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
172	169, 171	breqtrd 4899	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
173		prmuz2 15780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
174	42, 173	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
175	174, 55	syl6eleq 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
176		eluzp1m1 11992	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
177	25, 175, 176	sylancr 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
178	177, 26	syl6eleqr 2917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
179	178	nnzd 11809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
180		dvdstr 15395	. . . 4 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
181	24, 99, 179, 180	syl3anc 1496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
182	167, 172, 181	mp2and 692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
183		pcdvdsb 15944	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
184	1, 179, 22, 183	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
185	182, 184	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 = wceq 1658 ∈ wcel 2166 ≠ wne 2999 class class class wbr 4873 ‘cfv 6123 (class class class)co 6905 ℂcc 10250 ℝcr 10251 0cc0 10252 1c1 10253 + caddc 10255 · cmul 10257 < clt 10391 ≤ cle 10392 − cmin 10585 / cdiv 11009 ℕcn 11350 2c2 11406 ℕ₀cn0 11618 ℤcz 11704 ℤ_≥cuz 11968 mod cmo 12963 ↑cexp 13154 ∥ cdvds 15357 gcd cgcd 15589 ℙcprime 15757 od_ℤcodz 15839 ϕcphi 15840 pCnt cpc 15912

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1896 ax-4 1910 ax-5 2011 ax-6 2077 ax-7 2114 ax-8 2168 ax-9 2175 ax-10 2194 ax-11 2209 ax-12 2222 ax-13 2391 ax-ext 2803 ax-rep 4994 ax-sep 5005 ax-nul 5013 ax-pow 5065 ax-pr 5127 ax-un 7209 ax-cnex 10308 ax-resscn 10309 ax-1cn 10310 ax-icn 10311 ax-addcl 10312 ax-addrcl 10313 ax-mulcl 10314 ax-mulrcl 10315 ax-mulcom 10316 ax-addass 10317 ax-mulass 10318 ax-distr 10319 ax-i2m1 10320 ax-1ne0 10321 ax-1rid 10322 ax-rnegex 10323 ax-rrecex 10324 ax-cnre 10325 ax-pre-lttri 10326 ax-pre-lttrn 10327 ax-pre-ltadd 10328 ax-pre-mulgt0 10329 ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 881 df-3or 1114 df-3an 1115 df-tru 1662 df-ex 1881 df-nf 1885 df-sb 2070 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4145 df-if 4307 df-pw 4380 df-sn 4398 df-pr 4400 df-tp 4402 df-op 4404 df-uni 4659 df-int 4698 df-iun 4742 df-br 4874 df-opab 4936 df-mpt 4953 df-tr 4976 df-id 5250 df-eprel 5255 df-po 5263 df-so 5264 df-fr 5301 df-we 5303 df-xp 5348 df-rel 5349 df-cnv 5350 df-co 5351 df-dm 5352 df-rn 5353 df-res 5354 df-ima 5355 df-pred 5920 df-ord 5966 df-on 5967 df-lim 5968 df-suc 5969 df-iota 6086 df-fun 6125 df-fn 6126 df-f 6127 df-f1 6128 df-fo 6129 df-f1o 6130 df-fv 6131 df-riota 6866 df-ov 6908 df-oprab 6909 df-mpt2 6910 df-om 7327 df-1st 7428 df-2nd 7429 df-wrecs 7672 df-recs 7734 df-rdg 7772 df-1o 7826 df-2o 7827 df-oadd 7830 df-er 8009 df-map 8124 df-en 8223 df-dom 8224 df-sdom 8225 df-fin 8226 df-sup 8617 df-inf 8618 df-card 9078 df-cda 9305 df-pnf 10393 df-mnf 10394 df-xr 10395 df-ltxr 10396 df-le 10397 df-sub 10587 df-neg 10588 df-div 11010 df-nn 11351 df-2 11414 df-3 11415 df-n0 11619 df-xnn0 11691 df-z 11705 df-uz 11969 df-q 12072 df-rp 12113 df-fz 12620 df-fzo 12761 df-fl 12888 df-mod 12964 df-seq 13096 df-exp 13155 df-hash 13411 df-cj 14216 df-re 14217 df-im 14218 df-sqrt 14352 df-abs 14353 df-dvds 15358 df-gcd 15590 df-prm 15758 df-odz 15841 df-phi 15842 df-pc 15913

This theorem is referenced by: pockthg 15981

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