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Theorem pockthlem 16939
Description: Lemma for pockthg 16940. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3 (𝜑𝐵 < 𝐴)
pockthg.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6 (𝜑𝑃𝑁)
pockthlem.7 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
Assertion
Ref Expression
pockthlem (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
2 prmnn 16708 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
4 pockthlem.8 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
54nnnn0d 12585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
63, 5nnexpcld 14281 . . . 4 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
76nnzd 12638 . . 3 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
8 pockthlem.5 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 16708 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
11 pockthlem.9 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1210nnzd 12638 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
13 gcddvds 16537 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
1514simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
1611, 12gcdcld 16542 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
1716nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
18 pockthg.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
19 pockthg.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
20 pockthg.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2119, 20nnmulcld 12317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
22 nnuz 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzp1p1 12904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
2618, 25eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 df-2 12327 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
2827fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2926, 28eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
30 eluz2b2 12961 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
3129, 30sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
3231simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3332nnzd 12638 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3414simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
35 pockthlem.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑁)
3617, 12, 33, 34, 35dvdstrd 16329 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
3732nnne0d 12314 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
3938necon3ai 2963 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
41 dvdslegcd 16538 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
4217, 11, 33, 40, 41syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
4315, 36, 42mp2and 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
44 pockthlem.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
4544oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
46 1z 12645 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
47 eluzp1m1 12902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
4846, 26, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
4948, 22eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
5049nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
51 zexpcl 14114 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5211, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
53 modgcd 16566 . . . . . . . . . 10 (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
5452, 32, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
55 gcdcom 16547 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
5646, 33, 55sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
57 gcd1 16562 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
5833, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
5956, 58eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
6045, 54, 593eqtr3d 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
61 rpexp 16756 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
6211, 33, 49, 61syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
6360, 62mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
6443, 63breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
6510nnne0d 12314 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
66 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
6766necon3ai 2963 . . . . . . . . 9 (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
6865, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
69 gcdn0cl 16536 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
7011, 12, 68, 69syl21anc 838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
71 nnle1eq1 12294 . . . . . . 7 ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
7364, 72mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
74 odzcl 16827 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
7510, 11, 73, 74syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
7675nnzd 12638 . . 3 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
77 prmuz2 16730 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
788, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
7978, 28eleqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
80 eluzp1m1 12902 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
8146, 79, 80sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
8281, 22eleqtrrdi 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
8382nnzd 12638 . . 3 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
8419nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8549nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
86 pcdvds 16898 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
871, 19, 86syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
8820nnzd 12638 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
89 dvdsmul1 16312 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9084, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9118oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
9221nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
93 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
94 pncan 11512 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9592, 93, 94sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9691, 95eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9790, 96breqtrrd 5176 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
987, 84, 85, 87, 97dvdstrd 16329 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
996nnne0d 12314 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
100 dvdsval2 16290 . . . . . 6 (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
1017, 99, 85, 100syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
10298, 101mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
103 peano2zm 12658 . . . . . . . 8 ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
10452, 103syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
10532nnred 12279 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
10631simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
107 1mod 13940 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
108105, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
10944, 108eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
110 1zzd 12646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
111 moddvds 16298 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
11232, 52, 110, 111syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
113109, 112mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
11412, 33, 104, 35, 113dvdstrd 16329 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
115 odzdvds 16829 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
11610, 11, 73, 50, 115syl31anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
117114, 116mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
11849nncnd 12280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
1196nncnd 12280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
120118, 119, 99divcan1d 12042 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
121117, 120breqtrrd 5176 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
122 nprmdvds1 16740 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1238, 122syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1243nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
125 iddvdsexp 16314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
126124, 4, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
127124, 7, 85, 126, 98dvdstrd 16329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
1283nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ≠ 0)
129 dvdsval2 16290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
130124, 128, 85, 129syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
131127, 130mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
13250nn0ge0d 12588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
13349nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
1343nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1353nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑄)
136 ge0div 12133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
137133, 134, 135, 136syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
138132, 137mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
139 elnn0z 12624 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
140131, 138, 139sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0)
141 zexpcl 14114 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
14211, 140, 141syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
143 peano2zm 12658 . . . . . . . . 9 ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
144142, 143syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
145 dvdsgcd 16578 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14612, 144, 33, 145syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14735, 146mpan2d 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
148 odzdvds 16829 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
14910, 11, 73, 140, 148syl31anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
1503nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
1514nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
152150, 128, 151expm1d 14193 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
153152oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
154133, 6nndivred 12318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
155154recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
156155, 119, 150, 128divassd 12076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
157120oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
158153, 156, 1573eqtr2d 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
159158breq2d 5160 . . . . . . 7 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
160149, 159bitr4d 282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
161 pockthlem.11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
162161breq2d 5160 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
163147, 160, 1623imtr3d 293 . . . . 5 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
164123, 163mtod 198 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
165 prmpwdvds 16938 . . . 4 (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
166102, 76, 1, 4, 121, 164, 165syl222anc 1385 . . 3 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
167 odzphi 16830 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
16810, 11, 73, 167syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
169 phiprm 16811 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
1708, 169syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
171168, 170breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
1727, 76, 83, 166, 171dvdstrd 16329 . 2 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
173 pcdvdsb 16903 . . 3 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
1741, 83, 5, 173syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
175172, 174mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876   mod cmo 13906  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705  odcodz 16797  ϕcphi 16798   pCnt cpc 16870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-odz 16799  df-phi 16800  df-pc 16871
This theorem is referenced by:  pockthg  16940
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