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Theorem pockthlem 16943
Description: Lemma for pockthg 16944. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3 (𝜑𝐵 < 𝐴)
pockthg.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6 (𝜑𝑃𝑁)
pockthlem.7 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
Assertion
Ref Expression
pockthlem (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
2 prmnn 16711 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
4 pockthlem.8 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
54nnnn0d 12587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
63, 5nnexpcld 14284 . . . 4 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
76nnzd 12640 . . 3 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
8 pockthlem.5 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 16711 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
11 pockthlem.9 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1210nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
13 gcddvds 16540 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
1514simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
1611, 12gcdcld 16545 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
1716nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
18 pockthg.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
19 pockthg.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
20 pockthg.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2119, 20nnmulcld 12319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
22 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzp1p1 12906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
2618, 25eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 df-2 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
2827fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2926, 28eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
30 eluz2b2 12963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
3129, 30sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
3231simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3332nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3414simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
35 pockthlem.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑁)
3617, 12, 33, 34, 35dvdstrd 16332 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
3732nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
3938necon3ai 2965 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
41 dvdslegcd 16541 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
4217, 11, 33, 40, 41syl31anc 1375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
4315, 36, 42mp2and 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
44 pockthlem.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
4544oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
46 1z 12647 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
47 eluzp1m1 12904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
4846, 26, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
4948, 22eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
5049nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
51 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5211, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
53 modgcd 16569 . . . . . . . . . 10 (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
5452, 32, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
55 gcdcom 16550 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
5646, 33, 55sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
57 gcd1 16565 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
5833, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
5956, 58eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
6045, 54, 593eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
61 rpexp 16759 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
6211, 33, 49, 61syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
6360, 62mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
6443, 63breqtrd 5169 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
6510nnne0d 12316 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
66 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
6766necon3ai 2965 . . . . . . . . 9 (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
6865, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
69 gcdn0cl 16539 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
7011, 12, 68, 69syl21anc 838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
71 nnle1eq1 12296 . . . . . . 7 ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
7364, 72mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
74 odzcl 16831 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
7510, 11, 73, 74syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
7675nnzd 12640 . . 3 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
77 prmuz2 16733 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
788, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
7978, 28eleqtrdi 2851 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
80 eluzp1m1 12904 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
8146, 79, 80sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
8281, 22eleqtrrdi 2852 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
8382nnzd 12640 . . 3 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
8419nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8549nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
86 pcdvds 16902 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
871, 19, 86syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
8820nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
89 dvdsmul1 16315 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9084, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9118oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
9221nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
93 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
94 pncan 11514 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9592, 93, 94sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9691, 95eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9790, 96breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
987, 84, 85, 87, 97dvdstrd 16332 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
996nnne0d 12316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
100 dvdsval2 16293 . . . . . 6 (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
1017, 99, 85, 100syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
10298, 101mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
103 peano2zm 12660 . . . . . . . 8 ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
10452, 103syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
10532nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
10631simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
107 1mod 13943 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
108105, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
10944, 108eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
110 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
111 moddvds 16301 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
11232, 52, 110, 111syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
113109, 112mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
11412, 33, 104, 35, 113dvdstrd 16332 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
115 odzdvds 16833 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
11610, 11, 73, 50, 115syl31anc 1375 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
117114, 116mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
11849nncnd 12282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
1196nncnd 12282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
120118, 119, 99divcan1d 12044 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
121117, 120breqtrrd 5171 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
122 nprmdvds1 16743 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1238, 122syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1243nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
125 iddvdsexp 16317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
126124, 4, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
127124, 7, 85, 126, 98dvdstrd 16332 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
1283nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ≠ 0)
129 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
130124, 128, 85, 129syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
131127, 130mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
13250nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
13349nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
1343nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1353nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑄)
136 ge0div 12135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
137133, 134, 135, 136syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
138132, 137mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
139 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
140131, 138, 139sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0)
141 zexpcl 14117 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
14211, 140, 141syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
143 peano2zm 12660 . . . . . . . . 9 ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
144142, 143syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
145 dvdsgcd 16581 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14612, 144, 33, 145syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14735, 146mpan2d 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
148 odzdvds 16833 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
14910, 11, 73, 140, 148syl31anc 1375 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
1503nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
1514nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
152150, 128, 151expm1d 14196 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
153152oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
154133, 6nndivred 12320 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
155154recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
156155, 119, 150, 128divassd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
157120oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
158153, 156, 1573eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
159158breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
160149, 159bitr4d 282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
161 pockthlem.11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
162161breq2d 5155 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
163147, 160, 1623imtr3d 293 . . . . 5 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
164123, 163mtod 198 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
165 prmpwdvds 16942 . . . 4 (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
166102, 76, 1, 4, 121, 164, 165syl222anc 1388 . . 3 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
167 odzphi 16834 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
16810, 11, 73, 167syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
169 phiprm 16814 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
1708, 169syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
171168, 170breqtrd 5169 . . 3 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
1727, 76, 83, 166, 171dvdstrd 16332 . 2 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
173 pcdvdsb 16907 . . 3 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
1741, 83, 5, 173syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
175172, 174mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878   mod cmo 13909  cexp 14102  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708  odcodz 16800  ϕcphi 16801   pCnt cpc 16874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875
This theorem is referenced by:  pockthg  16944
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