Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignnld Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dignnld 47243
Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignnld ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Proof of Theorem dignnld
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12865 . . . 4 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3 nnrp 12982 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
43anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5 relogbzcl 26269 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7 nnre 12216 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnge1 12237 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑁)
97, 8jca 513 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁))
10 1re 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
11 elicopnf 13419 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁))
139, 12sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
1413anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15 rege1logbzge0 47199 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁))
176, 16jca 513 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁)))
18 flge0nn0 13782 . . . . 5 (((𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) ∈ β„•0)
19 peano2nn0 12509 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
2017, 18, 193syl 18 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
21 eluznn0 12898 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
2220, 21stoic3 1779 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
23 nnnn0 12476 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
24 nn0rp0 13429 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26253ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27 nn0digval 47240 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
282, 22, 26, 27syl3anc 1372 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
2973ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
30 eluzelre 12830 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32 eluz2n0 12869 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 β‰  0)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 β‰  0)
34 eluzelz 12829 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
35343ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3631, 33, 35reexpclzd 14209 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ)
37 eluzelcn 12831 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
38373ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3938, 33, 35expne0d 14114 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) β‰  0)
4029, 36, 39redivcld 12039 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ)
41 nn0ge0 12494 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
4223, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑁)
43423ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 ≀ 𝑁)
441nngt0d 12258 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < 𝐡)
45443ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 < 𝐡)
46 expgt0 14058 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝐡) β†’ 0 < (𝐡↑𝐾))
4731, 35, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 < (𝐡↑𝐾))
48 ge0div 12078 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡↑𝐾)) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾))))
4929, 36, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾))))
5043, 49mpbid 231 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)))
51 dignn0ldlem 47242 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 < (𝐡↑𝐾))
521nnrpd 13011 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
53 rpexpcl 14043 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
5452, 34, 53syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
55543adant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
56 divlt1lt 13040 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐡↑𝐾)))
5729, 55, 56syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐡↑𝐾)))
5851, 57mpbird 257 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)
59 0re 11213 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
60 1xr 11270 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
6159, 60pm3.2i 472 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62 elico2 13385 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)))
6361, 62mp1i 13 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)))
6440, 50, 58, 63mpbir3and 1343 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1))
65 ico01fl0 13781 . . . 4 ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) = 0)
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) = 0)
6766oveq1d 7421 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡) = (0 mod 𝐡))
68523ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
69 0mod 13864 . . 3 (𝐡 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
7068, 69syl 17 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
7128, 67, 703eqtrd 2777 1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  +∞cpnf 11242  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  β„+crp 12971  [,)cico 13323  βŒŠcfl 13752   mod cmo 13831  β†‘cexp 14024   logb clogb 26259  digitcdig 47235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-cxp 26058  df-logb 26260  df-dig 47236
This theorem is referenced by:  dig2nn0ld  47244
  Copyright terms: Public domain W3C validator