Theorem dignnld 48596

Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignnld	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignnld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12854	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnrp 12970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	3	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5		relogbzcl 26691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7		nnre 12200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnge1 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
10		1re 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elicopnf 13413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
13	9, 12	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
14	13	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15		rege1logbzge0 48552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
17	6, 16	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)))
18		flge0nn0 13789	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)) → (⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
19		peano2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
21		eluznn0 12883	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22	20, 21	stoic3 1776	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 12456	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0rp0 13423	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26	25	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27		nn0digval 48593	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
28	2, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
29	7	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
30		eluzelre 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		eluz2n0 12859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
34		eluzelz 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	31, 33, 35	reexpclzd 14221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
37		eluzelcn 12812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 33, 35	expne0d 14124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
40	29, 36, 39	redivcld 12017	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ)
41		nn0ge0 12474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
42	23, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
43	42	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
44	1	nngt0d 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < 𝐵)
46		expgt0 14067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝐾))
47	31, 35, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < (𝐵↑𝐾))
48		ge0div 12057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝐾)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
49	29, 36, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
50	43, 49	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)))
51		dignn0ldlem 48595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))
52	1	nnrpd 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53		rpexpcl 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
54	52, 34, 53	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
55	54	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
56		divlt1lt 13029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
57	29, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
58	51, 57	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)
59		0re 11183	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60		1xr 11240	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
61	59, 60	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62		elico2 13378	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
63	61, 62	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
64	40, 50, 58, 63	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1))
65		ico01fl0 13788	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
66	64, 65	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
67	66	oveq1d 7405	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
68	52	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
69		0mod 13871	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
70	68, 69	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 mod 𝐵) = 0)
71	28, 67, 70	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  [,)cico 13315  ⌊cfl 13759   mod cmo 13838  ↑cexp 14033   log_b clogb 26681  digitcdig 48588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-logb 26682  df-dig 48589

This theorem is referenced by:  dig2nn0ld  48597