Theorem dignnld 49714

Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignnld	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignnld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 13015	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnrp 13132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	3	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5		relogbzcl 27102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7		nnre 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnge1 12366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
10		1re 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elicopnf 13576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
13	9, 12	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
14	13	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15		rege1logbzge0 49670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
17	6, 16	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)))
18		flge0nn0 13960	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)) → (⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
19		peano2nn0 12646	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
20	17, 18, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
21		eluznn0 13044	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22	20, 21	stoic3 1809	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 12613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0rp0 13586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26	25	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27		nn0digval 49711	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
28	2, 22, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
29	7	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
30		eluzelre 12976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		eluz2n0 13020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
33	32	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
34		eluzelz 12975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	31, 33, 35	reexpclzd 14393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
37		eluzelcn 12977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 33, 35	expne0d 14295	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
40	29, 36, 39	redivcld 12145	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ)
41		nn0ge0 12631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
42	23, 41	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
43	42	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
44	1	nngt0d 12387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < 𝐵)
46		expgt0 14238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝐾))
47	31, 35, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < (𝐵↑𝐾))
48		ge0div 12184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝐾)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
49	29, 36, 47, 48	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
50	43, 49	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)))
51		dignn0ldlem 49713	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))
52	1	nnrpd 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53		rpexpcl 14223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
54	52, 34, 53	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
55	54	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
56		divlt1lt 13191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
57	29, 55, 56	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
58	51, 57	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)
59		0re 11310	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60		1xr 11368	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
61	59, 60	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62		elico2 13541	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
63	61, 62	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
64	40, 50, 58, 63	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1))
65		ico01fl0 13959	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
66	64, 65	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
67	66	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
68	52	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
69		0mod 14042	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
70	68, 69	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 mod 𝐵) = 0)
71	28, 67, 70	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  [,)cico 13478  ⌊cfl 13930   mod cmo 14009  ↑cexp 14204   log_b clogb 27092  digitcdig 49706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093  df-dig 49707

This theorem is used by:  dig2nn0ld  49715