Theorem dignnld 49534

Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignnld	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignnld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12938	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnrp 13055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	3	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5		relogbzcl 27012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7		nnre 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnge1 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
10		1re 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elicopnf 13499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
13	9, 12	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
14	13	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15		rege1logbzge0 49490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
17	6, 16	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)))
18		flge0nn0 13882	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)) → (⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
19		peano2nn0 12569	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
20	17, 18, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
21		eluznn0 12967	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22	20, 21	stoic3 1809	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 12536	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0rp0 13509	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26	25	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27		nn0digval 49531	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
28	2, 22, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
29	7	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
30		eluzelre 12899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		eluz2n0 12943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
33	32	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
34		eluzelz 12898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	31, 33, 35	reexpclzd 14314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
37		eluzelcn 12900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 33, 35	expne0d 14217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
40	29, 36, 39	redivcld 12068	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ)
41		nn0ge0 12554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
42	23, 41	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
43	42	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
44	1	nngt0d 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < 𝐵)
46		expgt0 14160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝐾))
47	31, 35, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < (𝐵↑𝐾))
48		ge0div 12107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝐾)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
49	29, 36, 47, 48	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
50	43, 49	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)))
51		dignn0ldlem 49533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))
52	1	nnrpd 13085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53		rpexpcl 14145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
54	52, 34, 53	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
55	54	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
56		divlt1lt 13114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
57	29, 55, 56	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
58	51, 57	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)
59		0re 11235	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60		1xr 11293	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
61	59, 60	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62		elico2 13464	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
63	61, 62	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
64	40, 50, 58, 63	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1))
65		ico01fl0 13881	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
66	64, 65	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
67	66	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
68	52	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
69		0mod 13964	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
70	68, 69	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 mod 𝐵) = 0)
71	28, 67, 70	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269   / cdiv 11896  ℕcn 12258  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ℝ⁺crp 13043  [,)cico 13401  ⌊cfl 13852   mod cmo 13931  ↑cexp 14126   log_b clogb 27002  digitcdig 49526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-bc 14368  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154  df-sin 16156  df-cos 16157  df-pi 16159  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26094  df-dv 26095  df-log 26794  df-cxp 26795  df-logb 27003  df-dig 49527

This theorem is used by:  dig2nn0ld  49535