Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignnld Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dignnld 47289
Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignnld ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Proof of Theorem dignnld
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12868 . . . 4 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3 nnrp 12985 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
43anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5 relogbzcl 26279 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7 nnre 12219 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnge1 12240 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑁)
97, 8jca 513 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁))
10 1re 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
11 elicopnf 13422 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁))
139, 12sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
1413anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15 rege1logbzge0 47245 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁))
176, 16jca 513 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁)))
18 flge0nn0 13785 . . . . 5 (((𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) ∈ β„•0)
19 peano2nn0 12512 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
2017, 18, 193syl 18 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
21 eluznn0 12901 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
2220, 21stoic3 1779 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
23 nnnn0 12479 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
24 nn0rp0 13432 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26253ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27 nn0digval 47286 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
282, 22, 26, 27syl3anc 1372 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
2973ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
30 eluzelre 12833 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32 eluz2n0 12872 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 β‰  0)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 β‰  0)
34 eluzelz 12832 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
35343ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3631, 33, 35reexpclzd 14212 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ)
37 eluzelcn 12834 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
38373ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3938, 33, 35expne0d 14117 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) β‰  0)
4029, 36, 39redivcld 12042 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ)
41 nn0ge0 12497 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
4223, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑁)
43423ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 ≀ 𝑁)
441nngt0d 12261 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < 𝐡)
45443ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 < 𝐡)
46 expgt0 14061 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝐡) β†’ 0 < (𝐡↑𝐾))
4731, 35, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 < (𝐡↑𝐾))
48 ge0div 12081 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡↑𝐾)) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾))))
4929, 36, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾))))
5043, 49mpbid 231 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)))
51 dignn0ldlem 47288 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 < (𝐡↑𝐾))
521nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
53 rpexpcl 14046 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
5452, 34, 53syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
55543adant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
56 divlt1lt 13043 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐡↑𝐾)))
5729, 55, 56syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐡↑𝐾)))
5851, 57mpbird 257 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)
59 0re 11216 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
60 1xr 11273 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
6159, 60pm3.2i 472 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62 elico2 13388 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)))
6361, 62mp1i 13 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)))
6440, 50, 58, 63mpbir3and 1343 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1))
65 ico01fl0 13784 . . . 4 ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) = 0)
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) = 0)
6766oveq1d 7424 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡) = (0 mod 𝐡))
68523ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
69 0mod 13867 . . 3 (𝐡 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
7068, 69syl 17 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
7128, 67, 703eqtrd 2777 1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  [,)cico 13326  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027   logb clogb 26269  digitcdig 47281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-logb 26270  df-dig 47282
This theorem is referenced by:  dig2nn0ld  47290
  Copyright terms: Public domain W3C validator