Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignnld Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dignnld 47376
Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignnld ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Proof of Theorem dignnld
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12872 . . . 4 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
213ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3 nnrp 12989 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
43anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5 relogbzcl 26515 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7 nnre 12223 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnge1 12244 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑁)
97, 8jca 510 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁))
10 1re 11218 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
11 elicopnf 13426 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝑁))
139, 12sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
1413anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15 rege1logbzge0 47332 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁))
176, 16jca 510 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁)))
18 flge0nn0 13789 . . . . 5 (((𝐡 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡 logb 𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) ∈ β„•0)
19 peano2nn0 12516 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
2017, 18, 193syl 18 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
21 eluznn0 12905 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
2220, 21stoic3 1776 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
23 nnnn0 12483 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
24 nn0rp0 13436 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26253ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27 nn0digval 47373 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
282, 22, 26, 27syl3anc 1369 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
2973ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
30 eluzelre 12837 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32 eluz2n0 12876 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 β‰  0)
33323ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 β‰  0)
34 eluzelz 12836 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
35343ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3631, 33, 35reexpclzd 14216 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ)
37 eluzelcn 12838 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
38373ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3938, 33, 35expne0d 14121 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) β‰  0)
4029, 36, 39redivcld 12046 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ)
41 nn0ge0 12501 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
4223, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑁)
43423ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 ≀ 𝑁)
441nngt0d 12265 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < 𝐡)
45443ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 < 𝐡)
46 expgt0 14065 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝐡) β†’ 0 < (𝐡↑𝐾))
4731, 35, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 < (𝐡↑𝐾))
48 ge0div 12085 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡↑𝐾)) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾))))
4929, 36, 47, 48syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾))))
5043, 49mpbid 231 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)))
51 dignn0ldlem 47375 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝑁 < (𝐡↑𝐾))
521nnrpd 13018 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
53 rpexpcl 14050 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
5452, 34, 53syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
55543adant2 1129 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+)
56 divlt1lt 13047 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐡↑𝐾) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐡↑𝐾)))
5729, 55, 56syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐡↑𝐾)))
5851, 57mpbird 256 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)
59 0re 11220 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
60 1xr 11277 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
6159, 60pm3.2i 469 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62 elico2 13392 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)))
6361, 62mp1i 13 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) < 1)))
6440, 50, 58, 63mpbir3and 1340 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1))
65 ico01fl0 13788 . . . 4 ((𝑁 / (𝐡↑𝐾)) ∈ (0[,)1) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) = 0)
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) = 0)
6766oveq1d 7426 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡) = (0 mod 𝐡))
68523ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
69 0mod 13871 . . 3 (𝐡 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
7068, 69syl 17 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
7128, 67, 703eqtrd 2774 1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝐡 logb 𝑁)) + 1))) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  [,)cico 13330  βŒŠcfl 13759   mod cmo 13838  β†‘cexp 14031   logb clogb 26505  digitcdig 47368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302  df-logb 26506  df-dig 47369
This theorem is referenced by:  dig2nn0ld  47377
  Copyright terms: Public domain W3C validator