Theorem dignnld 48585

Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignnld	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignnld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12823	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnrp 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	3	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5		relogbzcl 26717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7		nnre 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnge1 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
10		1re 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elicopnf 13382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
13	9, 12	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
14	13	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15		rege1logbzge0 48541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
17	6, 16	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)))
18		flge0nn0 13758	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)) → (⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
19		peano2nn0 12458	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
21		eluznn0 12852	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22	20, 21	stoic3 1776	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 12425	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0rp0 13392	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26	25	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27		nn0digval 48582	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
28	2, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
29	7	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
30		eluzelre 12780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		eluz2n0 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
34		eluzelz 12779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	31, 33, 35	reexpclzd 14190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
37		eluzelcn 12781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 33, 35	expne0d 14093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
40	29, 36, 39	redivcld 11986	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ)
41		nn0ge0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
42	23, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
43	42	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
44	1	nngt0d 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < 𝐵)
46		expgt0 14036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝐾))
47	31, 35, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < (𝐵↑𝐾))
48		ge0div 12026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝐾)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
49	29, 36, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾))))
50	43, 49	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)))
51		dignn0ldlem 48584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))
52	1	nnrpd 12969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53		rpexpcl 14021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
54	52, 34, 53	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
55	54	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
56		divlt1lt 12998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
57	29, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
58	51, 57	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)
59		0re 11152	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60		1xr 11209	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
61	59, 60	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62		elico2 13347	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
63	61, 62	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) < 1)))
64	40, 50, 58, 63	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1))
65		ico01fl0 13757	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / (𝐵↑𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
66	64, 65	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) = 0)
67	66	oveq1d 7384	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
68	52	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
69		0mod 13840	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
70	68, 69	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 mod 𝐵) = 0)
71	28, 67, 70	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  [,)cico 13284  ⌊cfl 13728   mod cmo 13807  ↑cexp 14002   log_b clogb 26707  digitcdig 48577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-cxp 26499  df-logb 26708  df-dig 48578

This theorem is referenced by:  dig2nn0ld  48586