Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignnld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignnld 47859
Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignnld ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignnld
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12901 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
3 nnrp 13020 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
43anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5 relogbzcl 26751 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
7 nnre 12252 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnge1 12273 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
97, 8jca 510 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
10 1re 11246 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
11 elicopnf 13457 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
139, 12sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
1413anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)))
15 rege1logbzge0 47815 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁))
176, 16jca 510 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)))
18 flge0nn0 13821 . . . . 5 (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 logb 𝑁)) → (⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
19 peano2nn0 12545 . . . . 5 ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
2017, 18, 193syl 18 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
21 eluznn0 12934 . . . 4 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ0𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2220, 21stoic3 1770 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 12512 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 nn0rp0 13467 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
26253ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
27 nn0digval 47856 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
282, 22, 26, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
2973ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
30 eluzelre 12866 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 eluz2n0 12905 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
33323ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
34 eluzelz 12865 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
35343ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3631, 33, 35reexpclzd 14247 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
37 eluzelcn 12867 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
38373ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
3938, 33, 35expne0d 14152 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝐾) ≠ 0)
4029, 36, 39redivcld 12075 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵𝐾)) ∈ ℝ)
41 nn0ge0 12530 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
4223, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
43423ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
441nngt0d 12294 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐵)
45443ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < 𝐵)
46 expgt0 14096 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝐾))
4731, 35, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 < (𝐵𝐾))
48 ge0div 12114 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐾)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵𝐾))))
4929, 36, 47, 48syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵𝐾))))
5043, 49mpbid 231 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝐵𝐾)))
51 dignn0ldlem 47858 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵𝐾))
521nnrpd 13049 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53 rpexpcl 14081 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ+)
5452, 34, 53syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ+)
55543adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ+)
56 divlt1lt 13078 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / (𝐵𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵𝐾)))
5729, 55, 56syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵𝐾)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝐵𝐾)))
5851, 57mpbird 256 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵𝐾)) < 1)
59 0re 11248 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
60 1xr 11305 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
6159, 60pm3.2i 469 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
62 elico2 13423 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁 / (𝐵𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵𝐾)) < 1)))
6361, 62mp1i 13 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝑁 / (𝐵𝐾)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑁 / (𝐵𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝐵𝐾)) ∧ (𝑁 / (𝐵𝐾)) < 1)))
6440, 50, 58, 63mpbir3and 1339 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 / (𝐵𝐾)) ∈ (0[,)1))
65 ico01fl0 13820 . . . 4 ((𝑁 / (𝐵𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵𝐾))) = 0)
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (⌊‘(𝑁 / (𝐵𝐾))) = 0)
6766oveq1d 7434 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝐵𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
68523ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
69 0mod 13903 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
7068, 69syl 17 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (0 mod 𝐵) = 0)
7128, 67, 703eqtrd 2769 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  [,)cico 13361  cfl 13791   mod cmo 13870  cexp 14062   logb clogb 26741  digitcdig 47851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536  df-logb 26742  df-dig 47852
This theorem is referenced by:  dig2nn0ld  47860
  Copyright terms: Public domain W3C validator