Theorem hoeq1 31905

Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S9) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoeq1	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
2		ffvelcdm 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
3		hial2eq 31181	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)))
5	4	anandirs 679	. . 3 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)))
6	5	ralbidva 3157	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)))
7		ffn 6662	. . 3 ⊢ (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 Fn ℋ)
8		ffn 6662	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
9		eqfnfv 6976	. . 3 ⊢ ((𝑆 Fn ℋ ∧ 𝑇 Fn ℋ) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥)))
11	6, 10	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ℋchba 30994   ·_ih csp 30997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-hvsub 31046

This theorem is referenced by:  hoeq2  31906  adjmo  31907  adjadj  32011