HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoeq1 31849
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S9) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq1
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7101 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
2 ffvelcdm 7101 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
3 hial2eq 31125 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
41, 2, 3syl2an 596 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
54anandirs 679 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
65ralbidva 3176 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
7 ffn 6736 . . 3 (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 Fn ℋ)
8 ffn 6736 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
9 eqfnfv 7051 . . 3 ((𝑆 Fn ℋ ∧ 𝑇 Fn ℋ) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
107, 8, 9syl2an 596 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
116, 10bitr4d 282 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  chba 30938   ·ih csp 30941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990
This theorem is referenced by:  hoeq2  31850  adjmo  31851  adjadj  31955
  Copyright terms: Public domain W3C validator