HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoeq1 31859
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S9) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq1
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7101 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
2 ffvelcdm 7101 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
3 hial2eq 31135 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
41, 2, 3syl2an 596 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
54anandirs 679 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
65ralbidva 3174 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
7 ffn 6737 . . 3 (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 Fn ℋ)
8 ffn 6737 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
9 eqfnfv 7051 . . 3 ((𝑆 Fn ℋ ∧ 𝑇 Fn ℋ) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
107, 8, 9syl2an 596 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆𝑥) = (𝑇𝑥)))
116, 10bitr4d 282 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  chba 30948   ·ih csp 30951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  hoeq2  31860  adjmo  31861  adjadj  31965
  Copyright terms: Public domain W3C validator