HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoeq1 31070
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S9) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq1 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ๐‘† = ๐‘‡))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ

Proof of Theorem hoeq1
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7080 . . . . 5 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
2 ffvelcdm 7080 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3 hial2eq 30346 . . . . 5 (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
41, 2, 3syl2an 596 . . . 4 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
54anandirs 677 . . 3 (((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
65ralbidva 3175 . 2 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7 ffn 6714 . . 3 (๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘† Fn โ„‹)
8 ffn 6714 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ Fn โ„‹)
9 eqfnfv 7029 . . 3 ((๐‘† Fn โ„‹ โˆง ๐‘‡ Fn โ„‹) โ†’ (๐‘† = ๐‘‡ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
107, 8, 9syl2an 596 . 2 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘† = ๐‘‡ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
116, 10bitr4d 281 1 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ๐‘† = ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   Fn wfn 6535  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โ„‹chba 30159   ยทih csp 30162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-hvsub 30211
This theorem is referenced by:  hoeq2  31071  adjmo  31072  adjadj  31176
  Copyright terms: Public domain W3C validator