![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hoeq1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S9) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hoeq1 | โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ ๐ = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ffvelcdm 7080 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐โ๐ฅ) โ โ) | |
2 | ffvelcdm 7080 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐โ๐ฅ) โ โ) | |
3 | hial2eq 30346 | . . . . 5 โข (((๐โ๐ฅ) โ โ โง (๐โ๐ฅ) โ โ) โ (โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ))) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 596 | . . . 4 โข (((๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ) โง (๐: โโถ โ โง ๐ฅ โ โ)) โ (โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ))) |
5 | 4 | anandirs 677 | . . 3 โข (((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โง ๐ฅ โ โ) โ (โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ))) |
6 | 5 | ralbidva 3175 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ โ๐ฅ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ))) |
7 | ffn 6714 | . . 3 โข (๐: โโถ โ โ ๐ Fn โ) | |
8 | ffn 6714 | . . 3 โข (๐: โโถ โ โ ๐ Fn โ) | |
9 | eqfnfv 7029 | . . 3 โข ((๐ Fn โ โง ๐ Fn โ) โ (๐ = ๐ โ โ๐ฅ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ))) | |
10 | 7, 8, 9 | syl2an 596 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (๐ = ๐ โ โ๐ฅ โ โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐ฅ))) |
11 | 6, 10 | bitr4d 281 | 1 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ ๐ = ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwral 3061 Fn wfn 6535 โถwf 6536 โcfv 6540 (class class class)co 7405 โchba 30159 ยทih csp 30162 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-hfvadd 30240 ax-hvcom 30241 ax-hvass 30242 ax-hv0cl 30243 ax-hvaddid 30244 ax-hfvmul 30245 ax-hvmulid 30246 ax-hvdistr2 30249 ax-hvmul0 30250 ax-hfi 30319 ax-his2 30323 ax-his3 30324 ax-his4 30325 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-ltxr 11249 df-sub 11442 df-neg 11443 df-hvsub 30211 |
This theorem is referenced by: hoeq2 31071 adjmo 31072 adjadj 31176 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |