HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hial2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hial2eq 28887
Description: Two vectors whose inner product is always equal are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hial2eq ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hial2eq
StepHypRef Expression
1 hvsubcl 28798 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
2 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴 𝐵) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)))
3 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴 𝐵) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)))
42, 3eqeq12d 2838 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴 𝐵) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
54rspcv 3593 . . . 4 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → (𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵))))
7 hi2eq 28886 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
86, 7sylibd 242 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → 𝐴 = 𝐵))
9 oveq1 7147 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥))
109ralrimivw 3175 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥))
118, 10impbid1 228 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  (class class class)co 7140  chba 28700   ·ih csp 28703   cmv 28706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-hvsub 28752
This theorem is referenced by:  hial2eq2  28888  hoeq1  29611  hoeq2  29612  unoplin  29701  hmoplin  29723  pjss2coi  29945  pj3cor1i  29990
  Copyright terms: Public domain W3C validator