Theorem hial2eq 31198

Description: Two vectors whose inner product is always equal are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial2eq	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hial2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl 31109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 −ℎ 𝐵) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
3		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 −ℎ 𝐵) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 −ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
5	4	rspcv 3574	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
7		hi2eq 31197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
8	6, 7	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → 𝐴 = 𝐵))
9		oveq1 7375	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥))
10	9	ralrimivw 3134	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥))
11	8, 10	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  (class class class)co 7368   ℋchba 31011   ·_ih csp 31014   −_ℎ cmv 31017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hfvadd 31092  ax-hvcom 31093  ax-hvass 31094  ax-hv0cl 31095  ax-hvaddid 31096  ax-hfvmul 31097  ax-hvmulid 31098  ax-hvdistr2 31101  ax-hvmul0 31102  ax-hfi 31171  ax-his2 31175  ax-his3 31176  ax-his4 31177

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-hvsub 31063

This theorem is referenced by:  hial2eq2  31199  hoeq1  31922  hoeq2  31923  unoplin  32012  hmoplin  32034  pjss2coi  32256  pj3cor1i  32301