Theorem hial2eq 31086

Description: Two vectors whose inner product is always equal are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial2eq	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hial2eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubcl 30997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 −ℎ 𝐵) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
3		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 −ℎ 𝐵) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
4	2, 3	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 −ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
5	4	rspcv 3568	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → (𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
7		hi2eq 31085	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
8	6, 7	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) → 𝐴 = 𝐵))
9		oveq1 7353	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥))
10	9	ralrimivw 3128	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥))
11	8, 10	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  (class class class)co 7346   ℋchba 30899   ·_ih csp 30902   −_ℎ cmv 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-hvsub 30951

This theorem is referenced by:  hial2eq2  31087  hoeq1  31810  hoeq2  31811  unoplin  31900  hmoplin  31922  pjss2coi  32144  pj3cor1i  32189