Theorem adjadj 29716

Description: Double adjoint. Theorem 3.11(iv) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjadj	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)

Proof of Theorem adjadj

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj2 29714	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)))
2		dmadjrn 29675	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
3		adj1 29713	. . . . . 6 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)) = (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
4	2, 3	syl3an1 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)) = (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
5	1, 4	eqtr2d 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	3expib 1118	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
7	6	ralrimivv 3193	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
8		dmadjrn 29675	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ dom adjℎ)
9		dmadjop 29668	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
11		dmadjop 29668	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
12		hoeq1 29610	. . 3 ⊢ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇))
13	10, 11, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇))
14	7, 13	mpbid 234	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  dom cdm 5558  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ℋchba 28699   ·_ih csp 28702  adj_ℎcado 28735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hvcom 28781  ax-hvass 28782  ax-hv0cl 28783  ax-hvaddid 28784  ax-hfvmul 28785  ax-hvmulid 28786  ax-hvdistr2 28789  ax-hvmul0 28790  ax-hfi 28859  ax-his1 28862  ax-his2 28863  ax-his3 28864  ax-his4 28865

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-2 11703  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-hvsub 28751  df-adjh 29629

This theorem is referenced by:  adjbd1o  29865  adjsslnop  29867  nmopadji  29870  adjeq0  29871  nmopcoadji  29881  nmopcoadj2i  29882