Theorem adjadj 32297

Description: Double adjoint. Theorem 3.11(iv) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjadj	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)

Proof of Theorem adjadj

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj2 32295	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)))
2		dmadjrn 32256	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
3		adj1 32294	. . . . . 6 ⊢ (((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)) = (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
4	2, 3	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝑦)) = (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
5	1, 4	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
7	6	ralrimivv 3206	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
8		dmadjrn 32256	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ dom adjℎ)
9		dmadjop 32249	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
10	2, 8, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
11		dmadjop 32249	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
12		hoeq1 32191	. . 3 ⊢ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇))
13	10, 11, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adjℎ‘(adjℎ‘𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇))
14	7, 13	mpbid 235	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑇)) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ℋchba 31280   ·_ih csp 31283  adj_ℎcado 31316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-hilex 31360  ax-hfvadd 31361  ax-hvcom 31362  ax-hvass 31363  ax-hv0cl 31364  ax-hvaddid 31365  ax-hfvmul 31366  ax-hvmulid 31367  ax-hvdistr2 31370  ax-hvmul0 31371  ax-hfi 31440  ax-his1 31443  ax-his2 31444  ax-his3 31445  ax-his4 31446

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-hvsub 31332  df-adjh 32210

This theorem is used by:  adjbd1o  32446  adjsslnop  32448  nmopadji  32451  adjeq0  32452  nmopcoadji  32462  nmopcoadj2i  32463