![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > adjadj | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Double adjoint. Theorem 3.11(iv) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
adjadj | โข (๐ โ dom adjโ โ (adjโโ(adjโโ๐)) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | adj2 30705 | . . . . 5 โข ((๐ โ dom adjโ โง ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih ((adjโโ๐)โ๐ฆ))) | |
2 | dmadjrn 30666 | . . . . . 6 โข (๐ โ dom adjโ โ (adjโโ๐) โ dom adjโ) | |
3 | adj1 30704 | . . . . . 6 โข (((adjโโ๐) โ dom adjโ โง ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ ยทih ((adjโโ๐)โ๐ฆ)) = (((adjโโ(adjโโ๐))โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ)) | |
4 | 2, 3 | syl3an1 1163 | . . . . 5 โข ((๐ โ dom adjโ โง ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ ยทih ((adjโโ๐)โ๐ฆ)) = (((adjโโ(adjโโ๐))โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ)) |
5 | 1, 4 | eqtr2d 2778 | . . . 4 โข ((๐ โ dom adjโ โง ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (((adjโโ(adjโโ๐))โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ)) |
6 | 5 | 3expib 1122 | . . 3 โข (๐ โ dom adjโ โ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (((adjโโ(adjโโ๐))โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ))) |
7 | 6 | ralrimivv 3193 | . 2 โข (๐ โ dom adjโ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (((adjโโ(adjโโ๐))โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ)) |
8 | dmadjrn 30666 | . . . 4 โข ((adjโโ๐) โ dom adjโ โ (adjโโ(adjโโ๐)) โ dom adjโ) | |
9 | dmadjop 30659 | . . . 4 โข ((adjโโ(adjโโ๐)) โ dom adjโ โ (adjโโ(adjโโ๐)): โโถ โ) | |
10 | 2, 8, 9 | 3syl 18 | . . 3 โข (๐ โ dom adjโ โ (adjโโ(adjโโ๐)): โโถ โ) |
11 | dmadjop 30659 | . . 3 โข (๐ โ dom adjโ โ ๐: โโถ โ) | |
12 | hoeq1 30601 | . . 3 โข (((adjโโ(adjโโ๐)): โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (((adjโโ(adjโโ๐))โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ (adjโโ(adjโโ๐)) = ๐)) | |
13 | 10, 11, 12 | syl2anc 584 | . 2 โข (๐ โ dom adjโ โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (((adjโโ(adjโโ๐))โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ (adjโโ(adjโโ๐)) = ๐)) |
14 | 7, 13 | mpbid 231 | 1 โข (๐ โ dom adjโ โ (adjโโ(adjโโ๐)) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwral 3062 dom cdm 5631 โถwf 6489 โcfv 6493 (class class class)co 7351 โchba 29690 ยทih csp 29693 adjโcado 29726 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2708 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7664 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-hilex 29770 ax-hfvadd 29771 ax-hvcom 29772 ax-hvass 29773 ax-hv0cl 29774 ax-hvaddid 29775 ax-hfvmul 29776 ax-hvmulid 29777 ax-hvdistr2 29780 ax-hvmul0 29781 ax-hfi 29850 ax-his1 29853 ax-his2 29854 ax-his3 29855 ax-his4 29856 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4864 df-iun 4954 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-id 5529 df-po 5543 df-so 5544 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-iota 6445 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-riota 7307 df-ov 7354 df-oprab 7355 df-mpo 7356 df-er 8606 df-map 8725 df-en 8842 df-dom 8843 df-sdom 8844 df-pnf 11149 df-mnf 11150 df-xr 11151 df-ltxr 11152 df-le 11153 df-sub 11345 df-neg 11346 df-div 11771 df-2 12174 df-cj 14944 df-re 14945 df-im 14946 df-hvsub 29742 df-adjh 30620 |
This theorem is referenced by: adjbd1o 30856 adjsslnop 30858 nmopadji 30861 adjeq0 30862 nmopcoadji 30872 nmopcoadj2i 30873 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |