HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjadj 29135
Description: Double adjoint. Theorem 3.11(iv) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjadj (𝑇 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇)

Proof of Theorem adjadj
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 adj2 29133 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
2 dmadjrn 29094 . . . . . 6 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
3 adj1 29132 . . . . . 6 (((adj𝑇) ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)) = (((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
42, 3syl3an1 1166 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)) = (((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦))
51, 4eqtr2d 2806 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
653expib 1116 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
76ralrimivv 3119 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
8 dmadjrn 29094 . . . 4 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)) ∈ dom adj)
9 dmadjop 29087 . . . 4 ((adj‘(adj𝑇)) ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
102, 8, 93syl 18 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
11 dmadjop 29087 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
12 hoeq1 29029 . . 3 (((adj‘(adj𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇))
1310, 11, 12syl2anc 573 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((adj‘(adj𝑇))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇))
147, 13mpbid 222 1 (𝑇 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑇)) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  chil 28116   ·ih csp 28119  adjcado 28152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-hvsub 28168  df-adjh 29048
This theorem is referenced by:  adjbd1o  29284  adjsslnop  29286  nmopadji  29289  adjeq0  29290  nmopcoadji  29300  nmopcoadj2i  29301
  Copyright terms: Public domain W3C validator