HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmo 30816
Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmo โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘‡

Proof of Theorem adjmo
Dummy variable ๐‘ฃ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 3132 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2 eqtr2 2757 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
322ralimi 3123 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
41, 3sylbir 234 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
5 hoeq1 30814 . . . . . 6 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ข = ๐‘ฃ))
65biimpa 478 . . . . 5 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
74, 6sylan2 594 . . . 4 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
87an4s 659 . . 3 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
98gen2 1799 . 2 โˆ€๐‘ขโˆ€๐‘ฃ(((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
10 feq1 6650 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹))
11 fveq1 6842 . . . . . . 7 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ))
1211oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
1312eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
14132ralbidv 3209 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1510, 14anbi12d 632 . . 3 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1615mo4 2561 . 2 (โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ขโˆ€๐‘ฃ(((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ))
179, 16mpbir 230 1 โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397  โˆ€wal 1540   = wceq 1542  โˆƒ*wmo 2533  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ„‹chba 29903   ยทih csp 29906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393  df-hvsub 29955
This theorem is referenced by:  funadj  30870  adjeu  30873  cnlnadjeui  31061
  Copyright terms: Public domain W3C validator