HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjmo 31579
Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmo โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘‡

Proof of Theorem adjmo
Dummy variable ๐‘ฃ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 3130 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2 eqtr2 2748 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
322ralimi 3115 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
41, 3sylbir 234 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
5 hoeq1 31577 . . . . . 6 ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ข = ๐‘ฃ))
65biimpa 476 . . . . 5 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
74, 6sylan2 592 . . . 4 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
87an4s 657 . . 3 (((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
98gen2 1790 . 2 โˆ€๐‘ขโˆ€๐‘ฃ(((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ)
10 feq1 6689 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹))
11 fveq1 6881 . . . . . . 7 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ))
1211oveq1d 7417 . . . . . 6 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
1312eqeq2d 2735 . . . . 5 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
14132ralbidv 3210 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
1510, 14anbi12d 630 . . 3 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))))
1615mo4 2552 . 2 (โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ขโˆ€๐‘ฃ(((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ฃ))
179, 16mpbir 230 1 โˆƒ*๐‘ข(๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395  โˆ€wal 1531   = wceq 1533  โˆƒ*wmo 2524  โˆ€wral 3053  โŸถwf 6530  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   โ„‹chba 30666   ยทih csp 30669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-hfvadd 30747  ax-hvcom 30748  ax-hvass 30749  ax-hv0cl 30750  ax-hvaddid 30751  ax-hfvmul 30752  ax-hvmulid 30753  ax-hvdistr2 30756  ax-hvmul0 30757  ax-hfi 30826  ax-his2 30830  ax-his3 30831  ax-his4 30832
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-hvsub 30718
This theorem is referenced by:  funadj  31633  adjeu  31636  cnlnadjeui  31824
  Copyright terms: Public domain W3C validator