Theorem hoeq2 30193

Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoeq2	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3166	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
3		ffvelrn 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑦) ∈ ℋ)
4		ffvelrn 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
5		hial2eq2 29469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
6		hial2eq 29468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
7	5, 6	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
8	3, 4, 7	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
9	8	anandirs 676	. . 3 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
10	9	ralbidva 3111	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
11		hoeq1 30192	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
12	2, 10, 11	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-hvsub 29333

This theorem is referenced by:  adjcoi  30462