![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hoeq2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hoeq2 | โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ ๐ = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ralcom 3283 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ))) | |
2 | 1 | a1i 11 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)))) |
3 | ffvelcdm 7091 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐โ๐ฆ) โ โ) | |
4 | ffvelcdm 7091 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐โ๐ฆ) โ โ) | |
5 | hial2eq2 30916 | . . . . . 6 โข (((๐โ๐ฆ) โ โ โง (๐โ๐ฆ) โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ (๐โ๐ฆ) = (๐โ๐ฆ))) | |
6 | hial2eq 30915 | . . . . . 6 โข (((๐โ๐ฆ) โ โ โง (๐โ๐ฆ) โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) โ (๐โ๐ฆ) = (๐โ๐ฆ))) | |
7 | 5, 6 | bitr4d 282 | . . . . 5 โข (((๐โ๐ฆ) โ โ โง (๐โ๐ฆ) โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
8 | 3, 4, 7 | syl2an 595 | . . . 4 โข (((๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ) โง (๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ)) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
9 | 8 | anandirs 678 | . . 3 โข (((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โง ๐ฆ โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
10 | 9 | ralbidva 3172 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
11 | hoeq1 31639 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) โ ๐ = ๐)) | |
12 | 2, 10, 11 | 3bitrd 305 | 1 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ ๐ = ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwral 3058 โถwf 6544 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โchba 30728 ยทih csp 30731 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-hfvadd 30809 ax-hvcom 30810 ax-hvass 30811 ax-hv0cl 30812 ax-hvaddid 30813 ax-hfvmul 30814 ax-hvmulid 30815 ax-hvdistr2 30818 ax-hvmul0 30819 ax-hfi 30888 ax-his1 30891 ax-his2 30892 ax-his3 30893 ax-his4 30894 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-2 12305 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-hvsub 30780 |
This theorem is referenced by: adjcoi 31909 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |