Theorem hoeq2 31876

Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoeq2	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3289	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
3		ffvelcdm 7108	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑦) ∈ ℋ)
4		ffvelcdm 7108	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
5		hial2eq2 31152	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
6		hial2eq 31151	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
7	5, 6	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
8	3, 4, 7	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
9	8	anandirs 679	. . 3 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
10	9	ralbidva 3176	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
11		hoeq1 31875	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
12	2, 10, 11	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ℋchba 30964   ·_ih csp 30967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-hfvadd 31045  ax-hvcom 31046  ax-hvass 31047  ax-hv0cl 31048  ax-hvaddid 31049  ax-hfvmul 31050  ax-hvmulid 31051  ax-hvdistr2 31054  ax-hvmul0 31055  ax-hfi 31124  ax-his1 31127  ax-his2 31128  ax-his3 31129  ax-his4 31130

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-2 12336  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-hvsub 31016

This theorem is referenced by:  adjcoi  32145