HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoeq2 29525
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq2
StepHypRef Expression
1 ralcom 3359 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
21a1i 11 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
3 ffvelrn 6845 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆𝑦) ∈ ℋ)
4 ffvelrn 6845 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
5 hial2eq2 28801 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
6 hial2eq 28800 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
75, 6bitr4d 283 . . . . 5 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
83, 4, 7syl2an 595 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
98anandirs 675 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
109ralbidva 3201 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
11 hoeq1 29524 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
122, 10, 113bitrd 306 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  chba 28613   ·ih csp 28616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-hfvadd 28694  ax-hvcom 28695  ax-hvass 28696  ax-hv0cl 28697  ax-hvaddid 28698  ax-hfvmul 28699  ax-hvmulid 28700  ax-hvdistr2 28703  ax-hvmul0 28704  ax-hfi 28773  ax-his1 28776  ax-his2 28777  ax-his3 28778  ax-his4 28779
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-hvsub 28665
This theorem is referenced by:  adjcoi  29794
  Copyright terms: Public domain W3C validator