Theorem hoeq2 31811

Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoeq2	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3260	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
3		ffvelcdm 7014	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑦) ∈ ℋ)
4		ffvelcdm 7014	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
5		hial2eq2 31087	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
6		hial2eq 31086	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
7	5, 6	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
8	3, 4, 7	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
9	8	anandirs 679	. . 3 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
10	9	ralbidva 3153	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥)))
11		hoeq1 31810	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
12	2, 10, 11	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ℋchba 30899   ·_ih csp 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-hvsub 30951

This theorem is referenced by:  adjcoi  32080