HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoeq2 29245
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq2
StepHypRef Expression
1 ralcom 3308 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
21a1i 11 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
3 ffvelrn 6606 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆𝑦) ∈ ℋ)
4 ffvelrn 6606 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
5 hial2eq2 28519 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
6 hial2eq 28518 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
75, 6bitr4d 274 . . . . 5 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
83, 4, 7syl2an 591 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
98anandirs 671 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
109ralbidva 3194 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
11 hoeq1 29244 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
122, 10, 113bitrd 297 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  chba 28331   ·ih csp 28334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-hfvadd 28412  ax-hvcom 28413  ax-hvass 28414  ax-hv0cl 28415  ax-hvaddid 28416  ax-hfvmul 28417  ax-hvmulid 28418  ax-hvdistr2 28421  ax-hvmul0 28422  ax-hfi 28491  ax-his1 28494  ax-his2 28495  ax-his3 28496  ax-his4 28497
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-2 11414  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-hvsub 28383
This theorem is referenced by:  adjcoi  29514
  Copyright terms: Public domain W3C validator