![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hoeq2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hoeq2 | โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ ๐ = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ralcom 3271 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ))) | |
2 | 1 | a1i 11 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)))) |
3 | ffvelcdm 7033 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐โ๐ฆ) โ โ) | |
4 | ffvelcdm 7033 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐โ๐ฆ) โ โ) | |
5 | hial2eq2 30091 | . . . . . 6 โข (((๐โ๐ฆ) โ โ โง (๐โ๐ฆ) โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ (๐โ๐ฆ) = (๐โ๐ฆ))) | |
6 | hial2eq 30090 | . . . . . 6 โข (((๐โ๐ฆ) โ โ โง (๐โ๐ฆ) โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) โ (๐โ๐ฆ) = (๐โ๐ฆ))) | |
7 | 5, 6 | bitr4d 282 | . . . . 5 โข (((๐โ๐ฆ) โ โ โง (๐โ๐ฆ) โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
8 | 3, 4, 7 | syl2an 597 | . . . 4 โข (((๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ) โง (๐: โโถ โ โง ๐ฆ โ โ)) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
9 | 8 | anandirs 678 | . . 3 โข (((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โง ๐ฆ โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
10 | 9 | ralbidva 3169 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ))) |
11 | hoeq1 30814 | . 2 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) = ((๐โ๐ฆ) ยทih ๐ฅ) โ ๐ = ๐)) | |
12 | 2, 10, 11 | 3bitrd 305 | 1 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) โ ๐ = ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 โถwf 6493 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โchba 29903 ยทih csp 29906 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-hfvadd 29984 ax-hvcom 29985 ax-hvass 29986 ax-hv0cl 29987 ax-hvaddid 29988 ax-hfvmul 29989 ax-hvmulid 29990 ax-hvdistr2 29993 ax-hvmul0 29994 ax-hfi 30063 ax-his1 30066 ax-his2 30067 ax-his3 30068 ax-his4 30069 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-2 12221 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-hvsub 29955 |
This theorem is referenced by: adjcoi 31084 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |