Theorem pjop 30267

Description: Orthocomplement projection in terms of projection. (Contributed by NM, 5-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjop	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))

Proof of Theorem pjop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpjpj 30260	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
2	1	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴)
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
4		pjhcl 30241	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ)
5		choccl 30146	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
6		pjhcl 30241	. . . . 5 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ)
7	5, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ)
8		hvsubadd 29917	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ↔ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
9	3, 4, 7, 8	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ↔ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
10	2, 9	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
11	10	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6494  (class class class)co 7354   ℋchba 29759   +_ℎ cva 29760   −_ℎ cmv 29765   C_ℋ cch 29769  ⊥cort 29770  proj_ℎcpjh 29777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cc 10368  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-addf 11127  ax-mulf 11128  ax-hilex 29839  ax-hfvadd 29840  ax-hvcom 29841  ax-hvass 29842  ax-hv0cl 29843  ax-hvaddid 29844  ax-hfvmul 29845  ax-hvmulid 29846  ax-hvmulass 29847  ax-hvdistr1 29848  ax-hvdistr2 29849  ax-hvmul0 29850  ax-hfi 29919  ax-his1 29922  ax-his2 29923  ax-his3 29924  ax-his4 29925  ax-hcompl 30042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-fi 9344  df-sup 9375  df-inf 9376  df-oi 9443  df-card 9872  df-acn 9875  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-fl 13694  df-seq 13904  df-exp 13965  df-hash 14228  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-clim 15367  df-rlim 15368  df-sum 15568  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-starv 17145  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-unif 17153  df-hom 17154  df-cco 17155  df-rest 17301  df-topn 17302  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-topgen 17322  df-pt 17323  df-prds 17326  df-xrs 17381  df-qtop 17386  df-imas 17387  df-xps 17389  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-mulg 18869  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-fbas 20789  df-fg 20790  df-cnfld 20793  df-top 22239  df-topon 22256  df-topsp 22278  df-bases 22292  df-cld 22366  df-ntr 22367  df-cls 22368  df-nei 22445  df-cn 22574  df-cnp 22575  df-lm 22576  df-haus 22662  df-tx 22909  df-hmeo 23102  df-fil 23193  df-fm 23285  df-flim 23286  df-flf 23287  df-xms 23669  df-ms 23670  df-tms 23671  df-cfil 24615  df-cau 24616  df-cmet 24617  df-grpo 29333  df-gid 29334  df-ginv 29335  df-gdiv 29336  df-ablo 29385  df-vc 29399  df-nv 29432  df-va 29435  df-ba 29436  df-sm 29437  df-0v 29438  df-vs 29439  df-nmcv 29440  df-ims 29441  df-dip 29541  df-ssp 29562  df-ph 29653  df-cbn 29703  df-hnorm 29808  df-hba 29809  df-hvsub 29811  df-hlim 29812  df-hcau 29813  df-sh 30047  df-ch 30061  df-oc 30092  df-ch0 30093  df-shs 30148  df-pjh 30235

This theorem is referenced by:  pjopi  30269  pjoccl  30273