Theorem salexct3 46921

Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct3.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct3.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct3.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})

Assertion

Ref	Expression
salexct3	⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem salexct3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
2		ovex 7431	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
5		salexct3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
6	4, 5	salexct 46913	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
7	6	mptru 1569	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
8		salexct3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
9		0re 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 12294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
12	9	leidi 11723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
13		1le2 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
14	12, 13	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
15		iccss 13420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
16	11, 14, 15	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
17		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
19	18, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
20		snelpwi 5413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
22		snfi 9026	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
23		fict 9610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
25		orc 878	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
28	21, 27	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30		difeq2 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
31	30	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
32	29, 31	orbi12d 929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
33	32, 5	elrab2 3656	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
35	34	rgen 3080	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
36		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
37	36	rnmptss 7106	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
38	35, 37	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
39	8, 38	eqsstri 3984	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
40	8	unieqi 4879	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
41		vsnex 5394	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ V
42	41	rgenw 3082	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
43		dfiun3g 5946	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
45	44	eqcomi 2773	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
46		iunid 5020	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
47	40, 45, 46	3eqtrri 2792	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
48	47	eqcomi 2773	. . 3 ⊢ ∪ 𝑋 = (0[,]1)
49	1, 5, 48	salexct2 46918	. 2 ⊢ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆
50	7, 39, 49	3pm3.2i 1354	1 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  {crab 3416  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ran crn 5650  (class class class)co 7398  ωcom 7848   ≼ cdom 8927  Fincfn 8929  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   ≤ cle 11219  2c2 12274  [,]cicc 13354  SAlgcsalg 46887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cc 10394  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-topgen 17474  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-top 22956  df-topon 22973  df-bases 23008  df-ntr 23082  df-salg 46888

This theorem is referenced by: (None)