Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct3 45568
Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct3.a 𝐴 = (0[,]2)
salexct3.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct3.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
Assertion
Ref Expression
salexct3 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋𝑆 ∧ ¬ 𝑋𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem salexct3
StepHypRef Expression
1 salexct3.a . . . . . 6 𝐴 = (0[,]2)
2 ovex 7435 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
31, 2eqeltri 2821 . . . . 5 𝐴 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
5 salexct3.s . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
64, 5salexct 45560 . . 3 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
76mptru 1540 . 2 𝑆 ∈ SAlg
8 salexct3.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
9 0re 11214 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
10 2re 12284 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
129leidi 11746 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
13 1le2 12419 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
1412, 13pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
15 iccss 13390 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
1611, 14, 15mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
1816, 17sselid 3973 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
1918, 1eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦𝐴)
20 snelpwi 5434 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
22 snfi 9041 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
23 fict 9645 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} ≼ ω
25 orc 864 . . . . . . . . 9 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2821, 27jca 511 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29 breq1 5142 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30 difeq2 4109 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
3130breq1d 5149 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
3229, 31orbi12d 915 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
3332, 5elrab2 3679 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
3428, 33sylibr 233 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
3534rgen 3055 . . . 4 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
36 eqid 2724 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3736rnmptss 7115 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
3835, 37ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
398, 38eqsstri 4009 . 2 𝑋𝑆
408unieqi 4912 . . . . 5 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
41 vsnex 5420 . . . . . . . 8 {𝑦} ∈ V
4241rgenw 3057 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
43 dfiun3g 5954 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . 6 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
4544eqcomi 2733 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
46 iunid 5054 . . . . 5 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
4740, 45, 463eqtrri 2757 . . . 4 (0[,]1) = 𝑋
4847eqcomi 2733 . . 3 𝑋 = (0[,]1)
491, 5, 48salexct2 45565 . 2 ¬ 𝑋𝑆
507, 39, 493pm3.2i 1336 1 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋𝑆 ∧ ¬ 𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3938  wss 3941  𝒫 cpw 4595  {csn 4621   cuni 4900   ciun 4988   class class class wbr 5139  cmpt 5222  ran crn 5668  (class class class)co 7402  ωcom 7849  cdom 8934  Fincfn 8936  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  cle 11247  2c2 12265  [,]cicc 13325  SAlgcsalg 45534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-topgen 17390  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-ntr 22848  df-salg 45535
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator