Theorem salexct3 46758

Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct3.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct3.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct3.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})

Assertion

Ref	Expression
salexct3	⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem salexct3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
2		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2831	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
5		salexct3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
6	4, 5	salexct 46750	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
7	6	mptru 1549	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
8		salexct3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
9		0re 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 12244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
12	9	leidi 11673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
13		1le2 12374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
14	12, 13	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
15		iccss 13356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
16	11, 14, 15	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
17		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sselid 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
19	18, 1	eleqtrrdi 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
20		snelpwi 5385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
22		snfi 8979	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
23		fict 9563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
25		orc 868	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
28	21, 27	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30		difeq2 4053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
31	30	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
32	29, 31	orbi12d 919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
33	32, 5	elrab2 3634	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
35	34	rgen 3051	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
37	36	rnmptss 7064	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
38	35, 37	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
39	8, 38	eqsstri 3963	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
40	8	unieqi 4852	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
41		vsnex 5366	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ V
42	41	rgenw 3053	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
43		dfiun3g 5912	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
45	44	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
46		iunid 4992	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
47	40, 45, 46	3eqtrri 2763	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
48	47	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ ∪ 𝑋 = (0[,]1)
49	1, 5, 48	salexct2 46755	. 2 ⊢ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆
50	7, 39, 49	3pm3.2i 1341	1 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  {crab 3387  Vcvv 3427   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4531  {csn 4557  ∪ cuni 4840  ∪ ciun 4923   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ran crn 5621  (class class class)co 7356  ωcom 7806   ≼ cdom 8880  Fincfn 8882  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   ≤ cle 11169  2c2 12225  [,]cicc 13290  SAlgcsalg 46724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-topgen 17395  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-ntr 22973  df-salg 46725

This theorem is referenced by: (None)