Theorem salexct3 47555

Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct3.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct3.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct3.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})

Assertion

Ref	Expression
salexct3	⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem salexct3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
2		ovex 7473	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
5		salexct3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
6	4, 5	salexct 47547	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
7	6	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
8		salexct3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
9		0re 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 12441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
12	9	leidi 11874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
13		1le2 12578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
14	12, 13	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
15		iccss 13569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
16	11, 14, 15	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
17		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sselid 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
19	18, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
20		snelpwi 5416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
22		snfi 9096	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
23		fict 9678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
25		orc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
28	21, 27	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29		breq1 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30		difeq2 4060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
31	30	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
32	29, 31	orbi12d 932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
33	32, 5	elrab2 3652	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
35	34	rgen 3082	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
36		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
37	36	rnmptss 7144	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
38	35, 37	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
39	8, 38	eqsstri 3959	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
40	8	unieqi 4882	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
41		vsnex 5397	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ V
42	41	rgenw 3084	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
43		dfiun3g 5956	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
45	44	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
46		iunid 5022	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
47	40, 45, 46	3eqtrri 2791	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
48	47	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ∪ 𝑋 = (0[,]1)
49	1, 5, 48	salexct2 47552	. 2 ⊢ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆
50	7, 39, 49	3pm3.2i 1358	1 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5656  (class class class)co 7440  ωcom 7898   ≼ cdom 8996  Fincfn 8998  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   ≤ cle 11368  2c2 12421  [,]cicc 13503  SAlgcsalg 47521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cc 10537  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-ntr 23365  df-salg 47522

This theorem is used by: (None)