Theorem salexct3 46343

Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct3.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salexct3.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salexct3.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})

Assertion

Ref	Expression
salexct3	⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem salexct3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
2		ovex 7382	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
5		salexct3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
6	4, 5	salexct 46335	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
7	6	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
8		salexct3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
9		0re 11117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
12	9	leidi 11654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
13		1le2 12332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
14	12, 13	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
15		iccss 13317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
16	11, 14, 15	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
17		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
19	18, 1	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
20		snelpwi 5386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
22		snfi 8968	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
23		fict 9549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
25		orc 867	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
28	21, 27	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29		breq1 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30		difeq2 4071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
31	30	breq1d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
32	29, 31	orbi12d 918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
33	32, 5	elrab2 3651	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
35	34	rgen 3046	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
37	36	rnmptss 7057	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
38	35, 37	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
39	8, 38	eqsstri 3982	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
40	8	unieqi 4870	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
41		vsnex 5373	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ V
42	41	rgenw 3048	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
43		dfiun3g 5909	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
45	44	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
46		iunid 5009	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
47	40, 45, 46	3eqtrri 2757	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
48	47	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ∪ 𝑋 = (0[,]1)
49	1, 5, 48	salexct2 46340	. 2 ⊢ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆
50	7, 39, 49	3pm3.2i 1340	1 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ ¬ ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  ∪ cuni 4858  ∪ ciun 4941   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620  (class class class)co 7349  ωcom 7799   ≼ cdom 8870  Fincfn 8872  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   ≤ cle 11150  2c2 12183  [,]cicc 13251  SAlgcsalg 46309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-ntr 22905  df-salg 46310

This theorem is referenced by: (None)