Theorem salgensscntex 46373

Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgensscntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g	⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgensscntex	⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgensscntex.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2		0re 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		2re 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
5	2	leidi 11771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
6		1le2 12449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
7	5, 6	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8		iccss 13431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
9	4, 7, 8	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
11	9, 10	sselid 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12		salgensscntex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
13	11, 12	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
14		snelpwi 5418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16		snfi 9057	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
17		fict 9667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
19		orc 867	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
22	15, 21	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24		difeq2 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
25	24	breq1d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	23, 25	orbi12d 918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27		salgensscntex.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
28	26, 27	elrab2 3674	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29	22, 28	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
30	29	rgen 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
32	31	rnmptss 7113	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
33	30, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
34	1, 33	eqsstri 4005	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
35		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
36	12, 35	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
38	37, 27	salexct 46363	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
39	38	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
40		ovex 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ∈ V
41	40	mptex 7215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
42	41	rnex 7906	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
43	1, 42	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45		salgensscntex.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
46	1	unieqi 4895	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47		vsnex 5404	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ∈ V
48	47	rgenw 3055	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49		dfiun3g 5947	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
51	50	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52		iunid 5036	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
53	46, 51, 52	3eqtrri 2763	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
54	44, 45, 53	unisalgen 46369	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
55	54	mptru 1547	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ 𝐺
56		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
57	12, 27, 56	salexct2 46368	. . 3 ⊢ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58		nelss 4024	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)
59	55, 57, 58	mp2an 692	. 2 ⊢ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆
60	34, 39, 59	3pm3.2i 1340	1 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  {csn 4601  ∪ cuni 4883  ∪ ciun 4967   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861   ≼ cdom 8957  Fincfn 8959  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   ≤ cle 11270  2c2 12295  [,]cicc 13365  SAlgcsalg 46337  SalGencsalgen 46341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-ntr 22958  df-salg 46338  df-salgen 46342

This theorem is referenced by: (None)