Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salgensscntex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salgensscntex 46300
Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgensscntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
salgensscntex (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex
StepHypRef Expression
1 salgensscntex.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2 0re 11261 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
3 2re 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
42, 3pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
52leidi 11795 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
6 1le2 12473 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
75, 6pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8 iccss 13452 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
94, 7, 8mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
119, 10sselid 3993 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12 salgensscntex.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
1311, 12eleqtrrdi 2850 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦𝐴)
14 snelpwi 5454 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16 snfi 9082 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
17 fict 9691 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} ≼ ω
19 orc 867 . . . . . . . . 9 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2215, 21jca 511 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24 difeq2 4130 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
2524breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2623, 25orbi12d 918 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27 salgensscntex.s . . . . . . 7 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
2826, 27elrab2 3698 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
2922, 28sylibr 234 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
3029rgen 3061 . . . 4 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31 eqid 2735 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3231rnmptss 7143 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
3330, 32ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
341, 33eqsstri 4030 . 2 𝑋𝑆
35 ovex 7464 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
3612, 35eqeltri 2835 . . . . 5 𝐴 ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3837, 27salexct 46290 . . 3 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
3938mptru 1544 . 2 𝑆 ∈ SAlg
40 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ∈ V
4140mptex 7243 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
4241rnex 7933 . . . . . . 7 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
431, 42eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
4443a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45 salgensscntex.g . . . . 5 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
461unieqi 4924 . . . . . 6 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47 vsnex 5440 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ V
4847rgenw 3063 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49 dfiun3g 5981 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
5150eqcomi 2744 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52 iunid 5065 . . . . . 6 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
5346, 51, 523eqtrri 2768 . . . . 5 (0[,]1) = 𝑋
5444, 45, 53unisalgen 46296 . . . 4 (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
5554mptru 1544 . . 3 (0[,]1) ∈ 𝐺
56 eqid 2735 . . . 4 (0[,]1) = (0[,]1)
5712, 27, 56salexct2 46295 . . 3 ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58 nelss 4061 . . 3 (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺𝑆)
5955, 57, 58mp2an 692 . 2 ¬ 𝐺𝑆
6034, 39, 593pm3.2i 1338 1 (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8982  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cle 11294  2c2 12319  [,]cicc 13387  SAlgcsalg 46264  SalGencsalgen 46268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-salg 46265  df-salgen 46269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator