Theorem salgensscntex 43773

Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgensscntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g	⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgensscntex	⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgensscntex.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2		0re 10908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		2re 11977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
5	2	leidi 11439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
6		1le2 12112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
7	5, 6	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8		iccss 13076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
9	4, 7, 8	mp2an 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
11	9, 10	sselid 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12		salgensscntex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
13	11, 12	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
14		snelpwi 5354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16		snfi 8788	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
17		fict 9341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
19		orc 863	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
22	15, 21	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24		difeq2 4047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
25	24	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	23, 25	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27		salgensscntex.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
28	26, 27	elrab2 3620	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29	22, 28	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
30	29	rgen 3073	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
32	31	rnmptss 6978	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
33	30, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
34	1, 33	eqsstri 3951	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
35		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
36	12, 35	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
38	37, 27	salexct 43763	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
39	38	mptru 1546	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
40		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ∈ V
41	40	mptex 7081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
42	41	rnex 7733	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
43	1, 42	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45		salgensscntex.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
46	1	unieqi 4849	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47		snex 5349	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ∈ V
48	47	rgenw 3075	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49		dfiun3g 5862	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
51	50	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52		iunid 4986	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
53	46, 51, 52	3eqtrri 2771	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
54	44, 45, 53	unisalgen 43769	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
55	54	mptru 1546	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ 𝐺
56		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
57	12, 27, 56	salexct2 43768	. . 3 ⊢ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58		nelss 3980	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)
59	55, 57, 58	mp2an 688	. 2 ⊢ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆
60	34, 39, 59	3pm3.2i 1337	1 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ cuni 4836  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   ≤ cle 10941  2c2 11958  [,]cicc 13011  SAlgcsalg 43739  SalGencsalgen 43743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-ntr 22079  df-salg 43740  df-salgen 43744

This theorem is referenced by: (None)