Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salgensscntex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salgensscntex 42495
Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgensscntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
salgensscntex (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex
StepHypRef Expression
1 salgensscntex.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2 0re 10635 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
3 2re 11703 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
42, 3pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
52leidi 11166 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
6 1le2 11838 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
75, 6pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8 iccss 12797 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
94, 7, 8mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
119, 10sseldi 3968 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12 salgensscntex.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
1311, 12syl6eleqr 2928 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦𝐴)
14 snelpwi 5332 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16 snfi 8586 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
17 fict 9108 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} ≼ ω
19 orc 863 . . . . . . . . 9 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2215, 21jca 512 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23 breq1 5065 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24 difeq2 4096 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
2524breq1d 5072 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2623, 25orbi12d 914 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27 salgensscntex.s . . . . . . 7 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
2826, 27elrab2 3686 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
2922, 28sylibr 235 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
3029rgen 3152 . . . 4 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31 eqid 2825 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3231rnmptss 6881 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
3330, 32ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
341, 33eqsstri 4004 . 2 𝑋𝑆
35 ovex 7184 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
3612, 35eqeltri 2913 . . . . 5 𝐴 ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3837, 27salexct 42485 . . 3 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
3938mptru 1537 . 2 𝑆 ∈ SAlg
40 ovex 7184 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ∈ V
4140mptex 6984 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
4241rnex 7608 . . . . . . 7 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
431, 42eqeltri 2913 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
4443a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45 salgensscntex.g . . . . 5 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
461unieqi 4845 . . . . . 6 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47 snex 5327 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ V
4847rgenw 3154 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49 dfiun3g 5833 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
5150eqcomi 2834 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52 iunid 4980 . . . . . 6 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
5346, 51, 523eqtrri 2853 . . . . 5 (0[,]1) = 𝑋
5444, 45, 53unisalgen 42491 . . . 4 (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
5554mptru 1537 . . 3 (0[,]1) ∈ 𝐺
56 eqid 2825 . . . 4 (0[,]1) = (0[,]1)
5712, 27, 56salexct2 42490 . . 3 ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58 nelss 4033 . . 3 (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺𝑆)
5955, 57, 58mp2an 688 . 2 ¬ 𝐺𝑆
6034, 39, 593pm3.2i 1333 1 (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wtru 1531  wcel 2107  wral 3142  {crab 3146  Vcvv 3499  cdif 3936  wss 3939  𝒫 cpw 4541  {csn 4563   cuni 4836   ciun 4916   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  cfv 6351  (class class class)co 7151  ωcom 7571  cdom 8499  Fincfn 8501  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  cle 10668  2c2 11684  [,]cicc 12734  SAlgcsalg 42461  SalGencsalgen 42465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-topgen 16709  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-top 21420  df-topon 21437  df-bases 21472  df-ntr 21546  df-salg 42462  df-salgen 42466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator