Theorem salgensscntex 43883

Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgensscntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g	⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgensscntex	⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgensscntex.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2		0re 10977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		2re 12047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
5	2	leidi 11509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
6		1le2 12182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
7	5, 6	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8		iccss 13147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
9	4, 7, 8	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
11	9, 10	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12		salgensscntex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
13	11, 12	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
14		snelpwi 5360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16		snfi 8834	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
17		fict 9411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
19		orc 864	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
22	15, 21	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24		difeq2 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
25	24	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	23, 25	orbi12d 916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27		salgensscntex.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
28	26, 27	elrab2 3627	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29	22, 28	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
30	29	rgen 3074	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
32	31	rnmptss 6996	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
33	30, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
34	1, 33	eqsstri 3955	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
35		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
36	12, 35	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
38	37, 27	salexct 43873	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
39	38	mptru 1546	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
40		ovex 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ∈ V
41	40	mptex 7099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
42	41	rnex 7759	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
43	1, 42	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45		salgensscntex.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
46	1	unieqi 4852	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47		snex 5354	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ∈ V
48	47	rgenw 3076	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49		dfiun3g 5873	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
51	50	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52		iunid 4990	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
53	46, 51, 52	3eqtrri 2771	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
54	44, 45, 53	unisalgen 43879	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
55	54	mptru 1546	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ 𝐺
56		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
57	12, 27, 56	salexct2 43878	. . 3 ⊢ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58		nelss 3984	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)
59	55, 57, 58	mp2an 689	. 2 ⊢ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆
60	34, 39, 59	3pm3.2i 1338	1 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ωcom 7712   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010  2c2 12028  [,]cicc 13082  SAlgcsalg 43849  SalGencsalgen 43853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-ntr 22171  df-salg 43850  df-salgen 43854

This theorem is referenced by: (None)