Theorem salgensscntex 47627

Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgensscntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g	⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgensscntex	⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgensscntex.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2		0re 11349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		2re 12457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
5	2	leidi 11890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
6		1le2 12594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
7	5, 6	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8		iccss 13585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
9	4, 7, 8	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
11	9, 10	sselid 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12		salgensscntex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
13	11, 12	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
14		snelpwi 5419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16		snfi 9109	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
17		fict 9691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
19		orc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
22	15, 21	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24		difeq2 4060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
25	24	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	23, 25	orbi12d 932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27		salgensscntex.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
28	26, 27	elrab2 3652	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29	22, 28	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
30	29	rgen 3082	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
32	31	rnmptss 7155	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
33	30, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
34	1, 33	eqsstri 3959	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
35		ovex 7484	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
36	12, 35	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
38	37, 27	salexct 47617	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
39	38	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
40		ovex 7484	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ∈ V
41	40	mptex 7260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
42	41	rnex 7956	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
43	1, 42	eqeltri 2860	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45		salgensscntex.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
46	1	unieqi 4884	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47		vsnex 5400	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ∈ V
48	47	rgenw 3084	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49		dfiun3g 5962	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
51	50	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52		iunid 5024	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
53	46, 51, 52	3eqtrri 2791	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
54	44, 45, 53	unisalgen 47623	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
55	54	mptru 1577	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ 𝐺
56		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
57	12, 27, 56	salexct2 47622	. . 3 ⊢ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58		nelss 3979	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)
59	55, 57, 58	mp2an 705	. 2 ⊢ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆
60	34, 39, 59	3pm3.2i 1358	1 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∪ cuni 4872  ∪ ciun 4956   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911   ≼ cdom 9009  Fincfn 9011  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   ≤ cle 11383  2c2 12437  [,]cicc 13519  SAlgcsalg 47591  SalGencsalgen 47595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-ntr 23393  df-salg 47592  df-salgen 47596

This theorem is used by: (None)