Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salgensscntex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salgensscntex 45359
Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgensscntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s 𝑆 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰)}
salgensscntex.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g 𝐺 = (SalGenβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
salgensscntex (𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ Β¬ 𝐺 βŠ† 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex
StepHypRef Expression
1 salgensscntex.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2 0re 11221 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
3 2re 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
42, 3pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
52leidi 11753 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 0
6 1le2 12426 . . . . . . . . . . . 12 1 ≀ 2
75, 6pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ≀ 0 ∧ 1 ≀ 2)
8 iccss 13397 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 1 ≀ 2)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,]2))
94, 7, 8mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) βŠ† (0[,]2)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]1))
119, 10sselid 3980 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]2))
12 salgensscntex.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
1311, 12eleqtrrdi 2843 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
14 snelpwi 5443 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) β†’ {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16 snfi 9048 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
17 fict 9652 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin β†’ {𝑦} β‰Ό Ο‰)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} β‰Ό Ο‰
19 orc 864 . . . . . . . . 9 ({𝑦} β‰Ό Ο‰ β†’ ({𝑦} β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– {𝑦}) β‰Ό Ο‰))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– {𝑦}) β‰Ό Ο‰)
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) β†’ ({𝑦} β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– {𝑦}) β‰Ό Ο‰))
2215, 21jca 511 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) β†’ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– {𝑦}) β‰Ό Ο‰)))
23 breq1 5151 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {𝑦} β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ {𝑦} β‰Ό Ο‰))
24 difeq2 4116 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = {𝑦} β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– {𝑦}))
2524breq1d 5158 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {𝑦} β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐴 βˆ– {𝑦}) β‰Ό Ο‰))
2623, 25orbi12d 916 . . . . . . 7 (π‘₯ = {𝑦} β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰) ↔ ({𝑦} β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– {𝑦}) β‰Ό Ο‰)))
27 salgensscntex.s . . . . . . 7 𝑆 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– π‘₯) β‰Ό Ο‰)}
2826, 27elrab2 3686 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} β‰Ό Ο‰ ∨ (𝐴 βˆ– {𝑦}) β‰Ό Ο‰)))
2922, 28sylibr 233 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) β†’ {𝑦} ∈ 𝑆)
3029rgen 3062 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31 eqid 2731 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3231rnmptss 7124 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 β†’ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) βŠ† 𝑆)
3330, 32ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) βŠ† 𝑆
341, 33eqsstri 4016 . 2 𝑋 βŠ† 𝑆
35 ovex 7445 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
3612, 35eqeltri 2828 . . . . 5 𝐴 ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐴 ∈ V)
3837, 27salexct 45349 . . 3 (⊀ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3938mptru 1547 . 2 𝑆 ∈ SAlg
40 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ∈ V
4140mptex 7227 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
4241rnex 7907 . . . . . . 7 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
431, 42eqeltri 2828 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
4443a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝑋 ∈ V)
45 salgensscntex.g . . . . 5 𝐺 = (SalGenβ€˜π‘‹)
461unieqi 4921 . . . . . 6 βˆͺ 𝑋 = βˆͺ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47 vsnex 5429 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ V
4847rgenw 3064 . . . . . . . 8 βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49 dfiun3g 5963 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = βˆͺ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = βˆͺ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
5150eqcomi 2740 . . . . . 6 βˆͺ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = βˆͺ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52 iunid 5063 . . . . . 6 βˆͺ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
5346, 51, 523eqtrri 2764 . . . . 5 (0[,]1) = βˆͺ 𝑋
5444, 45, 53unisalgen 45355 . . . 4 (⊀ β†’ (0[,]1) ∈ 𝐺)
5554mptru 1547 . . 3 (0[,]1) ∈ 𝐺
56 eqid 2731 . . . 4 (0[,]1) = (0[,]1)
5712, 27, 56salexct2 45354 . . 3 Β¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58 nelss 4047 . . 3 (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ Β¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) β†’ Β¬ 𝐺 βŠ† 𝑆)
5955, 57, 58mp2an 689 . 2 Β¬ 𝐺 βŠ† 𝑆
6034, 39, 593pm3.2i 1338 1 (𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ Β¬ 𝐺 βŠ† 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7859   β‰Ό cdom 8941  Fincfn 8943  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ≀ cle 11254  2c2 12272  [,]cicc 13332  SAlgcsalg 45323  SalGencsalgen 45327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-ntr 22745  df-salg 45324  df-salgen 45328
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator