Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem2 32430
Description: Lemma for cvmlift 32443. 𝑊 = [(𝑘 − 1) / 𝑁, 𝑘 / 𝑁] is a subset of [0, 1] for each 𝑀 ∈ (1...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem2 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem2
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem3.3 . 2 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
2 0red 10632 . . 3 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10630 . . 3 ((𝜑𝜓) → 1 ∈ ℝ)
4 cvmliftlem1.m . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
5 elfznn 12924 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
76nnred 11641 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 peano2rem 10941 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10 nnm1nn0 11926 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1211nn0ge0d 11946 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ (𝑀 − 1))
13 cvmliftlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 11641 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℝ)
1614nngt0d 11674 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 0 < 𝑁)
17 divge0 11497 . . . 4 ((((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
189, 12, 15, 16, 17syl22anc 834 . . 3 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
19 elfzle2 12899 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀𝑁)
204, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀𝑁)
2114nncnd 11642 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℂ)
2221mulid1d 10646 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2320, 22breqtrrd 5085 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≤ (𝑁 · 1))
24 ledivmul 11504 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
257, 3, 15, 16, 24syl112anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
2623, 25mpbird 258 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)
27 iccss 12792 . . 3 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
282, 3, 18, 26, 27syl22anc 834 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
291, 28eqsstrid 4012 1 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830   ciun 4910   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  1st c1st 7676  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  t crest 16682  topGenctg 16699   Cn ccn 21760  Homeochmeo 22289  IIcii 23410   CovMap ccvm 32399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-icc 12733  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  cvmliftlem3  32431  cvmliftlem6  32434  cvmliftlem8  32436
  Copyright terms: Public domain W3C validator