Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem2 35270
Description: Lemma for cvmlift 35283. 𝑊 = [(𝑘 − 1) / 𝑁, 𝑘 / 𝑁] is a subset of [0, 1] for each 𝑀 ∈ (1...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem2 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem2
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem3.3 . 2 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
2 0red 11261 . . 3 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 11259 . . 3 ((𝜑𝜓) → 1 ∈ ℝ)
4 cvmliftlem1.m . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
5 elfznn 13589 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
76nnred 12278 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 peano2rem 11573 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10 nnm1nn0 12564 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1211nn0ge0d 12587 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ (𝑀 − 1))
13 cvmliftlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 12278 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℝ)
1614nngt0d 12312 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 0 < 𝑁)
17 divge0 12134 . . . 4 ((((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
189, 12, 15, 16, 17syl22anc 839 . . 3 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
19 elfzle2 13564 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀𝑁)
204, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀𝑁)
2114nncnd 12279 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℂ)
2221mulridd 11275 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2320, 22breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≤ (𝑁 · 1))
24 ledivmul 12141 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
257, 3, 15, 16, 24syl112anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
2623, 25mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)
27 iccss 13451 . . 3 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
282, 3, 18, 26, 27syl22anc 839 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
291, 28eqsstrid 4043 1 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4911   ciun 4995   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  ccnv 5687  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  1st c1st 8010  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  t crest 17466  topGenctg 17483   Cn ccn 23247  Homeochmeo 23776  IIcii 24914   CovMap ccvm 35239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-icc 13390  df-fz 13544
This theorem is referenced by:  cvmliftlem3  35271  cvmliftlem6  35274  cvmliftlem8  35276
  Copyright terms: Public domain W3C validator