Theorem cvmliftlem2 35649

Description: Lemma for cvmlift 35662. 𝑊 = [(𝑘 − 1) / 𝑁, 𝑘 / 𝑁] is a subset of [0, 1] for each 𝑀 ∈ (1...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3	⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem3.3	. 2 ⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
2		0red 11199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 1 ∈ ℝ)
4		cvmliftlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
5		elfznn 13572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnred 12239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		peano2rem 11513	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10		nnm1nn0 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
12	11	nn0ge0d 12559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ (𝑀 − 1))
13		cvmliftlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	14	nngt0d 12276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 < 𝑁)
17		divge0 12075	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
18	9, 12, 15, 16, 17	syl22anc 851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
19		elfzle2 13547	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
20	4, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ≤ 𝑁)
21	14	nncnd 12240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
23	20, 22	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ≤ (𝑁 · 1))
24		ledivmul 12082	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
25	7, 3, 15, 16, 24	syl112anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
26	23, 25	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)
27		iccss 13432	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
28	2, 3, 18, 26, 27	syl22anc 851	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
29	1, 28	eqsstrid 3977	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {crab 3417   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  ∪ cuni 4868  ∪ ciun 4952   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651  ran crn 5653   ↾ cres 5654   “ cima 5655  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1^st c1st 7972  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  (,)cioo 13363  [,]cicc 13366  ...cfz 13526   ↾_t crest 17463  topGenctg 17480   Cn ccn 23342  Homeochmeo 23871  IIcii 24995   CovMap ccvm 35618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-icc 13370  df-fz 13527

This theorem is referenced by:  cvmliftlem3  35650  cvmliftlem6  35653  cvmliftlem8  35655