Theorem cvmliftlem2 35791

Description: Lemma for cvmlift 35804. 𝑊 = [(𝑘 − 1) / 𝑁, 𝑘 / 𝑁] is a subset of [0, 1] for each 𝑀 ∈ (1...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3	⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, 𝑘)   𝜓(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝐵(𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝑃(𝑗, 𝑠)   𝐿(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑠)   𝑁(𝑗, 𝑠)   𝑊(𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑠)   𝑋(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem3.3	. 2 ⊢ 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
2		0red 11222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 1 ∈ ℝ)
4		cvmliftlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
5		elfznn 13593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnred 12259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		peano2rem 11536	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10		nnm1nn0 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
12	11	nn0ge0d 12579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ (𝑀 − 1))
13		cvmliftlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	14	nngt0d 12296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 < 𝑁)
17		divge0 12095	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
18	9, 12, 15, 16, 17	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
19		elfzle2 13567	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
20	4, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ≤ 𝑁)
21	14	nncnd 12260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
23	20, 22	breqtrrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ≤ (𝑁 · 1))
24		ledivmul 12102	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
25	7, 3, 15, 16, 24	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
26	23, 25	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)
27		iccss 13452	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
28	2, 3, 18, 26, 27	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
29	1, 28	eqsstrid 3976	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ∪ cuni 4874  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  ran crn 5664   ↾ cres 5665   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  ...cfz 13546   ↾_t crest 17490  topGenctg 17507   Cn ccn 23410  Homeochmeo 23939  IIcii 25063   CovMap ccvm 35760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-icc 13390  df-fz 13547

This theorem is used by:  cvmliftlem3  35792  cvmliftlem6  35795  cvmliftlem8  35797