Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmliftlem2 34575
Description: Lemma for cvmlift 34588. π‘Š = [(π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁, π‘˜ / 𝑁] is a subset of [0, 1] for each 𝑀 ∈ (1...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmliftlem.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmliftlem.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cvmliftlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmliftlem.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
cvmliftlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
cvmliftlem.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
cvmliftlem.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
cvmliftlem1.m ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3 π‘Š = (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š βŠ† (0[,]1))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐡   𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑃,π‘˜,𝑒,𝑣   𝐢,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   πœ‘,𝑗,𝑠   π‘˜,𝑁,𝑒,𝑣   𝑆,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑇,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑗,𝐽,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   π‘˜,π‘Š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,π‘˜)   πœ“(𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝐡(𝑒,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   π‘Š(𝑣,𝑒,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠)
Proof of Theorem cvmliftlem2
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem3.3 . 2 π‘Š = (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
2 0red 11221 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 0 ∈ ℝ)
3 1red 11219 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 1 ∈ ℝ)
4 cvmliftlem1.m . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
5 elfznn 13534 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
76nnred 12231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 peano2rem 11531 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
10 nnm1nn0 12517 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
116, 10syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1211nn0ge0d 12539 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 0 ≀ (𝑀 βˆ’ 1))
13 cvmliftlem.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1413adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1514nnred 12231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1614nngt0d 12265 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 0 < 𝑁)
17 divge0 12087 . . . 4 ((((𝑀 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑀 βˆ’ 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ ((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))
189, 12, 15, 16, 17syl22anc 835 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 0 ≀ ((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))
19 elfzle2 13509 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
204, 19syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
2114nncnd 12232 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2221mulridd 11235 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑁 Β· 1) = 𝑁)
2320, 22breqtrrd 5175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ≀ (𝑁 Β· 1))
24 ledivmul 12094 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) ≀ 1 ↔ 𝑀 ≀ (𝑁 Β· 1)))
257, 3, 15, 16, 24syl112anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑀 / 𝑁) ≀ 1 ↔ 𝑀 ≀ (𝑁 Β· 1)))
2623, 25mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑀 / 𝑁) ≀ 1)
27 iccss 13396 . . 3 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ ((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) ≀ 1)) β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) βŠ† (0[,]1))
282, 3, 18, 26, 27syl22anc 835 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) βŠ† (0[,]1))
291, 28eqsstrid 4029 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š βŠ† (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  ...cfz 13488   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387   Cn ccn 22948  Homeochmeo 23477  IIcii 24615   CovMap ccvm 34544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-icc 13335  df-fz 13489
This theorem is referenced by:  cvmliftlem3  34576  cvmliftlem6  34579  cvmliftlem8  34581
  Copyright terms: Public domain W3C validator