MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcvx 25384
Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcvx.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvcvx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvcvx.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvcvx.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvcvx.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
dvcvx.t (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
dvcvx.c 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvcvx (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))

Proof of Theorem dvcvx
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcvx.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dvcvx.c . . . 4 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3 dvcvx.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
4 elioore 13294 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
65, 1remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
7 1re 11155 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resubcl 11465 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
97, 5, 8sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
10 dvcvx.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132, 12eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
14 1cnd 11150 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
155recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
161recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1714, 15, 16subdird 11612 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1816mulid2d 11173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1918oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2017, 19eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
21 dvcvx.l . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
22 eliooord 13323 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
2423simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < 1)
25 posdif 11648 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
265, 7, 25sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
28 ltmul2 12006 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
291, 10, 9, 27, 28syl112anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3021, 29mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3120, 30eqbrtrrd 5129 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
321, 6, 11ltsubadd2d 11753 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
3331, 32mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3433, 2breqtrrdi 5147 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
351leidd 11721 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐴)
3610recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3714, 15, 36subdird 11612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)))
3836mulid2d 11173 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3938oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
4037, 39eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
415, 10remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
4223simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
43 ltmul2 12006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
441, 10, 5, 42, 43syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
4521, 44mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))
466, 41, 10, 45ltsub2dd 11768 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
4740, 46eqbrtrd 5127 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
486, 11, 10ltaddsub2d 11756 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))))
4947, 48mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵)
502, 49eqbrtrid 5140 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝐵)
5113, 10, 50ltled 11303 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52 iccss 13332 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐴𝐶𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
531, 10, 35, 51, 52syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54 dvcvx.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
55 rescncf 24260 . . . 4 ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)))
5653, 54, 55sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))
57 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59 cncff 24256 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
6054, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
61 fss 6685 . . . . . . . 8 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
6260, 57, 61sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
63 iccssre 13346 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
641, 10, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 iccssre 13346 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
661, 13, 65syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
67 eqid 2736 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867tgioo2 24166 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6967, 68dvres 25275 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
7058, 62, 64, 66, 69syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
71 iccntr 24184 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
721, 13, 71syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
7372reseq2d 5937 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7470, 73eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7574dmeqd 5861 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
76 dmres 5959 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
7710rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
78 iooss2 13300 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7977, 51, 78syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80 dvcvx.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
81 isof1o 7268 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊)
82 f1odm 6788 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8479, 83sseqtrrd 3985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
85 df-ss 3927 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8684, 85sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8776, 86eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8875, 87eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
891, 13, 34, 56, 88mvth 25356 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)))
901, 13, 34ltled 11303 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
9110leidd 11721 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐵)
92 iccss 13332 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
931, 10, 90, 91, 92syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
94 rescncf 24260 . . . 4 ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)))
9593, 54, 94sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))
96 iccssre 13346 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9713, 10, 96syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9867, 68dvres 25275 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
9958, 62, 64, 97, 98syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
100 iccntr 24184 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
10113, 10, 100syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
102101reseq2d 5937 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
10399, 102eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
104103dmeqd 5861 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
105 dmres 5959 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
1061rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
107 iooss1 13299 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
108106, 90, 107syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
109108, 83sseqtrrd 3985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110 df-ss 3927 . . . . . 6 ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
111109, 110sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
112105, 111eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
113104, 112eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵))
11413, 10, 50, 95, 113mvth 25356 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)))
115 reeanv 3217 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))))
11674fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥))
117 fvres 6861 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
118117adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
119116, 118sylan9eq 2796 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
12013rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
121 ubicc2 13382 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
122106, 120, 90, 121syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
123122fvresd 6862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
124 lbicc2 13381 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
125106, 120, 90, 124syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
126125fvresd 6862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
127123, 126oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)))
128127oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
129128adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
130119, 129eqeq12d 2752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴))))
131103fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦))
132 fvres 6861 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
133132adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
134131, 133sylan9eq 2796 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
135 ubicc2 13382 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
136120, 77, 51, 135syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
137136fvresd 6862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
138 lbicc2 13381 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
139120, 77, 51, 138syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
140139fvresd 6862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
141137, 140oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)))
142141oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
143142adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
144134, 143eqeq12d 2752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
145130, 144anbi12d 631 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))))
146 elioore 13294 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
147146ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
14813adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
149 elioore 13294 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
150149ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
151 eliooord 13323 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
152151ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
153152simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
154 eliooord 13323 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
155154ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
156155simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦)
157147, 148, 150, 153, 156lttrd 11316 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦)
15880adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
15979sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
160159adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
161108sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
162161adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
163 isorel 7271 . . . . . . . . 9 (((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
164158, 160, 162, 163syl12anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
165157, 164mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
166 breq12 5110 . . . . . . 7 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
167165, 166syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
16853, 122sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16960, 168ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
17053, 125sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17160, 170ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
172169, 171resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
17327gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
174172, 9, 173redivcld 11983 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ)
17593, 136sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17660, 175ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
177176, 169resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
17842gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ 0)
179177, 5, 178redivcld 11983 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ)
18010, 1resubcld 11583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1811, 10posdifd 11742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18221, 181mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
183 ltdiv1 12019 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
184174, 179, 180, 182, 183syl112anc 1374 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
185172recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
186185, 15mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))))
187169recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
188171recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
18915, 187, 188subdid 11611 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
190186, 189eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
191177recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
1929recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
193191, 192mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))))
194176recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
195192, 194, 187subdid 11611 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
196193, 195eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
197190, 196breq12d 5118 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
1985, 42jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇))
1999, 27jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))
200 lt2mul2div 12033 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
201172, 198, 177, 199, 200syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
2025, 169remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
203202recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2049, 169remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
205204recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2065, 171remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
207206recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
208203, 205, 207addsubd 11533 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
209 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
210 pncan3 11409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
21115, 209, 210sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
212211oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = (1 · (𝐹𝐶)))
21315, 192, 187adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
214187mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝐹𝐶)) = (𝐹𝐶))
215212, 213, 2143eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = (𝐹𝐶))
216215oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
217208, 216eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
218217breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
219202, 206resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
2209, 176remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
221219, 204, 220ltaddsubd 11755 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
222169, 206, 220ltsubadd2d 11753 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
223218, 221, 2223bitr3d 308 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
224197, 201, 2233bitr3d 308 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
225180recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
226182gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
227185, 192, 225, 173, 226divdiv1d 11962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))))
22820oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
22911recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2306recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
231229, 16, 230subsub3d 11542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
232228, 231eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
233192, 36, 16subdid 11611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
234230, 229addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
2352, 234eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
236235oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
237232, 233, 2363eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐴))
238237oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
239227, 238eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
240191, 15, 225, 178, 226divdiv1d 11962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
24136, 229, 230subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
24240oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))))
24341recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
24436, 243nncand 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵))
245242, 244eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵))
246245oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
247241, 246eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
248235oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
24915, 36, 16subdid 11611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
250247, 248, 2493eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
251250oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
252240, 251eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
253239, 252breq12d 5118 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
254184, 224, 2533bitr3rd 309 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
255254adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
256167, 255sylibd 238 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
257145, 256sylbid 239 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
258257rexlimdvva 3205 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
259115, 258biimtrrid 242 . 2 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
26089, 114, 259mp2and 697 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  efcvx  25808  logccv  26018
  Copyright terms: Public domain W3C validator