MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcvx 25290
Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcvx.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvcvx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvcvx.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvcvx.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvcvx.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
dvcvx.t (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
dvcvx.c 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvcvx (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))

Proof of Theorem dvcvx
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcvx.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dvcvx.c . . . 4 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3 dvcvx.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
4 elioore 13215 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
65, 1remulcld 11111 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
7 1re 11081 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resubcl 11391 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
97, 5, 8sylancr 588 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
10 dvcvx.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11111 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 11110 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132, 12eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
14 1cnd 11076 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
155recnd 11109 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
161recnd 11109 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1714, 15, 16subdird 11538 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1816mulid2d 11099 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1918oveq1d 7357 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2017, 19eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
21 dvcvx.l . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
22 eliooord 13244 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
2423simprd 497 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < 1)
25 posdif 11574 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
265, 7, 25sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
28 ltmul2 11932 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
291, 10, 9, 27, 28syl112anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3021, 29mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3120, 30eqbrtrrd 5121 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
321, 6, 11ltsubadd2d 11679 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
3331, 32mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3433, 2breqtrrdi 5139 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
351leidd 11647 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐴)
3610recnd 11109 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3714, 15, 36subdird 11538 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)))
3836mulid2d 11099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3938oveq1d 7357 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
4037, 39eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
415, 10remulcld 11111 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
4223simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
43 ltmul2 11932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
441, 10, 5, 42, 43syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
4521, 44mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))
466, 41, 10, 45ltsub2dd 11694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
4740, 46eqbrtrd 5119 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
486, 11, 10ltaddsub2d 11682 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))))
4947, 48mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵)
502, 49eqbrtrid 5132 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝐵)
5113, 10, 50ltled 11229 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52 iccss 13253 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐴𝐶𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
531, 10, 35, 51, 52syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54 dvcvx.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
55 rescncf 24166 . . . 4 ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)))
5653, 54, 55sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))
57 ax-resscn 11034 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59 cncff 24162 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
6054, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
61 fss 6673 . . . . . . . 8 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
6260, 57, 61sylancl 587 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
63 iccssre 13267 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
641, 10, 63syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 iccssre 13267 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
661, 13, 65syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
67 eqid 2737 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867tgioo2 24072 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6967, 68dvres 25181 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
7058, 62, 64, 66, 69syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
71 iccntr 24090 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
721, 13, 71syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
7372reseq2d 5928 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7470, 73eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7574dmeqd 5852 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
76 dmres 5950 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
7710rexrd 11131 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
78 iooss2 13221 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7977, 51, 78syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80 dvcvx.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
81 isof1o 7255 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊)
82 f1odm 6776 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8479, 83sseqtrrd 3977 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
85 df-ss 3919 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8684, 85sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8776, 86eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8875, 87eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
891, 13, 34, 56, 88mvth 25262 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)))
901, 13, 34ltled 11229 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
9110leidd 11647 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐵)
92 iccss 13253 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
931, 10, 90, 91, 92syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
94 rescncf 24166 . . . 4 ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)))
9593, 54, 94sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))
96 iccssre 13267 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9713, 10, 96syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9867, 68dvres 25181 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
9958, 62, 64, 97, 98syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
100 iccntr 24090 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
10113, 10, 100syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
102101reseq2d 5928 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
10399, 102eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
104103dmeqd 5852 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
105 dmres 5950 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
1061rexrd 11131 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
107 iooss1 13220 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
108106, 90, 107syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
109108, 83sseqtrrd 3977 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110 df-ss 3919 . . . . . 6 ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
111109, 110sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
112105, 111eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
113104, 112eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵))
11413, 10, 50, 95, 113mvth 25262 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)))
115 reeanv 3214 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))))
11674fveq1d 6832 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥))
117 fvres 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
118117adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
119116, 118sylan9eq 2797 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
12013rexrd 11131 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
121 ubicc2 13303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
122106, 120, 90, 121syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
123122fvresd 6850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
124 lbicc2 13302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
125106, 120, 90, 124syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
126125fvresd 6850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
127123, 126oveq12d 7360 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)))
128127oveq1d 7357 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
129128adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
130119, 129eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴))))
131103fveq1d 6832 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦))
132 fvres 6849 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
133132adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
134131, 133sylan9eq 2797 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
135 ubicc2 13303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
136120, 77, 51, 135syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
137136fvresd 6850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
138 lbicc2 13302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
139120, 77, 51, 138syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
140139fvresd 6850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
141137, 140oveq12d 7360 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)))
142141oveq1d 7357 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
143142adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
144134, 143eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
145130, 144anbi12d 632 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))))
146 elioore 13215 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
147146ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
14813adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
149 elioore 13215 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
150149ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
151 eliooord 13244 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
152151ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
153152simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
154 eliooord 13244 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
155154ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
156155simpld 496 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦)
157147, 148, 150, 153, 156lttrd 11242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦)
15880adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
15979sselda 3936 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
160159adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
161108sselda 3936 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
162161adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
163 isorel 7258 . . . . . . . . 9 (((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
164158, 160, 162, 163syl12anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
165157, 164mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
166 breq12 5102 . . . . . . 7 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
167165, 166syl5ibcom 245 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
16853, 122sseldd 3937 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16960, 168ffvelcdmd 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
17053, 125sseldd 3937 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17160, 170ffvelcdmd 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
172169, 171resubcld 11509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
17327gt0ne0d 11645 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
174172, 9, 173redivcld 11909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ)
17593, 136sseldd 3937 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17660, 175ffvelcdmd 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
177176, 169resubcld 11509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
17842gt0ne0d 11645 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ 0)
179177, 5, 178redivcld 11909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ)
18010, 1resubcld 11509 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1811, 10posdifd 11668 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18221, 181mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
183 ltdiv1 11945 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
184174, 179, 180, 182, 183syl112anc 1374 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
185172recnd 11109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
186185, 15mulcomd 11102 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))))
187169recnd 11109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
188171recnd 11109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
18915, 187, 188subdid 11537 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
190186, 189eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
191177recnd 11109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
1929recnd 11109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
193191, 192mulcomd 11102 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))))
194176recnd 11109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
195192, 194, 187subdid 11537 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
196193, 195eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
197190, 196breq12d 5110 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
1985, 42jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇))
1999, 27jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))
200 lt2mul2div 11959 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
201172, 198, 177, 199, 200syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
2025, 169remulcld 11111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
203202recnd 11109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2049, 169remulcld 11111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
205204recnd 11109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2065, 171remulcld 11111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
207206recnd 11109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
208203, 205, 207addsubd 11459 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
209 ax-1cn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
210 pncan3 11335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
21115, 209, 210sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
212211oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = (1 · (𝐹𝐶)))
21315, 192, 187adddird 11106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
214187mulid2d 11099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝐹𝐶)) = (𝐹𝐶))
215212, 213, 2143eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = (𝐹𝐶))
216215oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
217208, 216eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
218217breq1d 5107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
219202, 206resubcld 11509 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
2209, 176remulcld 11111 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
221219, 204, 220ltaddsubd 11681 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
222169, 206, 220ltsubadd2d 11679 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
223218, 221, 2223bitr3d 309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
224197, 201, 2233bitr3d 309 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
225180recnd 11109 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
226182gt0ne0d 11645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
227185, 192, 225, 173, 226divdiv1d 11888 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))))
22820oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
22911recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2306recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
231229, 16, 230subsub3d 11468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
232228, 231eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
233192, 36, 16subdid 11537 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
234230, 229addcomd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
2352, 234eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
236235oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
237232, 233, 2363eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐴))
238237oveq2d 7358 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
239227, 238eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
240191, 15, 225, 178, 226divdiv1d 11888 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
24136, 229, 230subsub4d 11469 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
24240oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))))
24341recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
24436, 243nncand 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵))
245242, 244eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵))
246245oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
247241, 246eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
248235oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
24915, 36, 16subdid 11537 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
250247, 248, 2493eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
251250oveq2d 7358 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
252240, 251eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
253239, 252breq12d 5110 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
254184, 224, 2533bitr3rd 310 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
255254adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
256167, 255sylibd 238 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
257145, 256sylbid 239 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
258257rexlimdvva 3202 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
259115, 258syl5bir 243 . 2 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
26089, 114, 259mp2and 697 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  cin 3901  wss 3902   class class class wbr 5097  dom cdm 5625  ran crn 5626  cres 5627  wf 6480  1-1-ontowf1o 6483  cfv 6484   Isom wiso 6485  (class class class)co 7342  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982  *cxr 11114   < clt 11115  cle 11116  cmin 11311   / cdiv 11738  (,)cioo 13185  [,]cicc 13188  TopOpenctopn 17230  topGenctg 17246  fldccnfld 20703  intcnt 22274  cnccncf 24145   D cdv 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137
This theorem is referenced by:  efcvx  25714  logccv  25924
  Copyright terms: Public domain W3C validator