dvcvx - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvcvx		Structured version Visualization version GIF version

Theorem dvcvx 25966

Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvcvx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvcvx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvcvx.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
dvcvx.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvcvx.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
dvcvx.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0(,)1))
dvcvx.c	⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
dvcvx	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem dvcvx Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcvx.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dvcvx.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3		dvcvx.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0(,)1))
4		elioore 13387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
6	5, 1	remulcld 11275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
7		1re 11245	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resubcl 11555	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
9	7, 5, 8	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
10		dvcvx.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
12	6, 11	readdcld 11274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13	2, 12	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		1cnd 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15	5	recnd 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	subdird 11702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
18	16	mullidd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
20	17, 19	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
21		dvcvx.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
22		eliooord 13416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
24	23	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 1)
25		posdif 11738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
26	5, 7, 25	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
27	24, 26	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
28		ltmul2 12096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
29	1, 10, 9, 27, 28	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
30	21, 29	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
31	20, 30	eqbrtrrd 5172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
32	1, 6, 11	ltsubadd2d 11843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
33	31, 32	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
34	33, 2	breqtrrdi 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
35	1	leidd 11811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
36	10	recnd 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	14, 15, 36	subdird 11702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)))
38	36	mullidd 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
39	38	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
40	37, 39	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
41	5, 10	remulcld 11275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
42	23	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
43		ltmul2 12096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
44	1, 10, 5, 42, 43	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
45	21, 44	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))
46	6, 41, 10, 45	ltsub2dd 11858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
47	40, 46	eqbrtrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
48	6, 11, 10	ltaddsub2d 11846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))))
49	47, 48	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵)
50	2, 49	eqbrtrid 5183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
51	13, 10, 50	ltled 11393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
52		iccss 13425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
53	1, 10, 35, 51, 52	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54		dvcvx.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
55		rescncf 24830	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)))
56	53, 54, 55	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))
57		ax-resscn 11196	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59		cncff 24826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
60	54, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
61		fss 6739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
62	60, 57, 61	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
63		iccssre 13439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
64	1, 10, 63	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65		iccssre 13439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
66	1, 13, 65	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
67		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
68	67	tgioo2 24732	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
69	67, 68	dvres 25853	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
70	58, 62, 64, 66, 69	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
71		iccntr 24750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
72	1, 13, 71	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
73	72	reseq2d 5985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
74	70, 73	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
75	74	dmeqd 5908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
76		dmres 6007	. . . . 5 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
77	10	rexrd 11295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
78		iooss2 13393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
79	77, 51, 78	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80		dvcvx.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
81		isof1o 7331	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊)
82		f1odm 6843	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
83	80, 81, 82	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
84	79, 83	sseqtrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
85		df-ss 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
86	84, 85	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
87	76, 86	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
88	75, 87	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
89	1, 13, 34, 56, 88	mvth 25938	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
90	1, 13, 34	ltled 11393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
91	10	leidd 11811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
92		iccss 13425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
93	1, 10, 90, 91, 92	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
94		rescncf 24830	. . . 4 ⊢ ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)))
95	93, 54, 94	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))
96		iccssre 13439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
97	13, 10, 96	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
98	67, 68	dvres 25853	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
99	58, 62, 64, 97, 98	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
100		iccntr 24750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
101	13, 10, 100	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
102	101	reseq2d 5985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
103	99, 102	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
104	103	dmeqd 5908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
105		dmres 6007	. . . . 5 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
106	1	rexrd 11295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
107		iooss1 13392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
108	106, 90, 107	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
109	108, 83	sseqtrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110		df-ss 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
111	109, 110	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
112	105, 111	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
113	104, 112	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵))
114	13, 10, 50, 95, 113	mvth 25938	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
115		reeanv 3223	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
116	74	fveq1d 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥))
117		fvres 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
118	117	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
119	116, 118	sylan9eq 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
120	13	rexrd 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
121		ubicc2 13475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
122	106, 120, 90, 121	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
123	122	fvresd 6917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
124		lbicc2 13474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
125	106, 120, 90, 124	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
126	125	fvresd 6917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
127	123, 126	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)))
128	127	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
129	128	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
130	119, 129	eqeq12d 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))))
131	103	fveq1d 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦))
132		fvres 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
133	132	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
134	131, 133	sylan9eq 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
135		ubicc2 13475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
136	120, 77, 51, 135	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
137	136	fvresd 6917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
138		lbicc2 13474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
139	120, 77, 51, 138	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
140	139	fvresd 6917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
141	137, 140	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)))
142	141	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
143	142	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
144	134, 143	eqeq12d 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
145	130, 144	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))))
146		elioore 13387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
147	146	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
148	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
149		elioore 13387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
150	149	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
151		eliooord 13416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
152	151	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
153	152	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
154		eliooord 13416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
155	154	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
156	155	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦)
157	147, 148, 150, 153, 156	lttrd 11406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦)
158	80	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
159	79	sselda 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
160	159	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
161	108	sselda 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
162	161	adantrl 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
163		isorel 7334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
164	158, 160, 162, 163	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
165	157, 164	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
166		breq12 5153	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
167	165, 166	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
168	53, 122	sseldd 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
169	60, 168	ffvelcdmd 7095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ)
170	53, 125	sseldd 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
171	60, 170	ffvelcdmd 7095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
172	169, 171	resubcld 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
173	27	gt0ne0d 11809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
174	172, 9, 173	redivcld 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ)
175	93, 136	sseldd 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
176	60, 175	ffvelcdmd 7095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
177	176, 169	resubcld 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
178	42	gt0ne0d 11809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
179	177, 5, 178	redivcld 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ)
180	10, 1	resubcld 11673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
181	1, 10	posdifd 11832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
182	21, 181	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
183		ltdiv1 12109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴))))
184	174, 179, 180, 182, 183	syl112anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴))))
185	172	recnd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
186	185, 15	mulcomd 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))))
187	169	recnd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
188	171	recnd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
189	15, 187, 188	subdid 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
190	186, 189	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
191	177	recnd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
192	9	recnd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
193	191, 192	mulcomd 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))))
194	176	recnd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
195	192, 194, 187	subdid 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
196	193, 195	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
197	190, 196	breq12d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))))
198	5, 42	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇))
199	9, 27	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))
200		lt2mul2div 12123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇)))
201	172, 198, 177, 199, 200	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇)))
202	5, 169	remulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
203	202	recnd 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
204	9, 169	remulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
205	204	recnd 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
206	5, 171	remulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
207	206	recnd 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
208	203, 205, 207	addsubd 11623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
209		ax-1cn 11197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
210		pncan3 11499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
211	15, 209, 210	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
212	211	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = (1 · (𝐹‘𝐶)))
213	15, 192, 187	adddird 11270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
214	187	mullidd 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝐶)) = (𝐹‘𝐶))
215	212, 213, 214	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = (𝐹‘𝐶))
216	215	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
217	208, 216	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
218	217	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))
219	202, 206	resubcld 11673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
220	9, 176	remulcld 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
221	219, 204, 220	ltaddsubd 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))))
222	169, 206, 220	ltsubadd2d 11843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
223	218, 221, 222	3bitr3d 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
224	197, 201, 223	3bitr3d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
225	180	recnd 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
226	182	gt0ne0d 11809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
227	185, 192, 225, 173, 226	divdiv1d 12052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴))))
228	20	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
229	11	recnd 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
230	6	recnd 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
231	229, 16, 230	subsub3d 11632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
232	228, 231	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
233	192, 36, 16	subdid 11701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
234	230, 229	addcomd 11447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
235	2, 234	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
236	235	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
237	232, 233, 236	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
238	237	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴))) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
239	227, 238	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
240	191, 15, 225, 178, 226	divdiv1d 12052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
241	36, 229, 230	subsub4d 11633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
242	40	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))))
243	41	recnd 11273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
244	36, 243	nncand 11607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵))
245	242, 244	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵))
246	245	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
247	241, 246	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
248	235	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
249	15, 36, 16	subdid 11701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
250	247, 248, 249	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
251	250	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
252	240, 251	eqtr4d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
253	239, 252	breq12d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
254	184, 224, 253	3bitr3rd 310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
255	254	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
256	167, 255	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
257	145, 256	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
258	257	rexlimdvva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
259	115, 258	biimtrrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
260	89, 114, 259	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ∃wrex 3067 ∩ cin 3946 ⊆ wss 3947 class class class wbr 5148 dom cdm 5678 ran crn 5679 ↾ cres 5680 ⟶wf 6544 –1-1-onto→wf1o 6547 ‘cfv 6548 Isom wiso 6549 (class class class)co 7420 ℂcc 11137 ℝcr 11138 0cc0 11139 1c1 11140 + caddc 11142 · cmul 11144 ℝ^*cxr 11278 < clt 11279 ≤ cle 11280 − cmin 11475 / cdiv 11902 (,)cioo 13357 [,]cicc 13360 TopOpenctopn 17403 topGenctg 17419 ℂ_fldccnfld 21279 intcnt 22934 –cn→ccncf 24809 D cdv 25805

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 ax-pre-sup 11217 ax-addf 11218

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-isom 6557 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-of 7685 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-supp 8166 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-2o 8488 df-er 8725 df-map 8847 df-pm 8848 df-ixp 8917 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fsupp 9387 df-fi 9435 df-sup 9466 df-inf 9467 df-oi 9534 df-card 9963 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 df-nn 12244 df-2 12306 df-3 12307 df-4 12308 df-5 12309 df-6 12310 df-7 12311 df-8 12312 df-9 12313 df-n0 12504 df-z 12590 df-dec 12709 df-uz 12854 df-q 12964 df-rp 13008 df-xneg 13125 df-xadd 13126 df-xmul 13127 df-ioo 13361 df-ico 13363 df-icc 13364 df-fz 13518 df-fzo 13661 df-seq 14000 df-exp 14060 df-hash 14323 df-cj 15079 df-re 15080 df-im 15081 df-sqrt 15215 df-abs 15216 df-struct 17116 df-sets 17133 df-slot 17151 df-ndx 17163 df-base 17181 df-ress 17210 df-plusg 17246 df-mulr 17247 df-starv 17248 df-sca 17249 df-vsca 17250 df-ip 17251 df-tset 17252 df-ple 17253 df-ds 17255 df-unif 17256 df-hom 17257 df-cco 17258 df-rest 17404 df-topn 17405 df-0g 17423 df-gsum 17424 df-topgen 17425 df-pt 17426 df-prds 17429 df-xrs 17484 df-qtop 17489 df-imas 17490 df-xps 17492 df-mre 17566 df-mrc 17567 df-acs 17569 df-mgm 18600 df-sgrp 18679 df-mnd 18695 df-submnd 18741 df-mulg 19024 df-cntz 19268 df-cmn 19737 df-psmet 21271 df-xmet 21272 df-met 21273 df-bl 21274 df-mopn 21275 df-fbas 21276 df-fg 21277 df-cnfld 21280 df-top 22809 df-topon 22826 df-topsp 22848 df-bases 22862 df-cld 22936 df-ntr 22937 df-cls 22938 df-nei 23015 df-lp 23053 df-perf 23054 df-cn 23144 df-cnp 23145 df-haus 23232 df-cmp 23304 df-tx 23479 df-hmeo 23672 df-fil 23763 df-fm 23855 df-flim 23856 df-flf 23857 df-xms 24239 df-ms 24240 df-tms 24241 df-cncf 24811 df-limc 25808 df-dv 25809

This theorem is referenced by: efcvx 26399 logccv 26610

W3C validator