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Theorem dvcvx 25997

Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvcvx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvcvx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvcvx.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
dvcvx.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvcvx.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
dvcvx.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0(,)1))
dvcvx.c	⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
dvcvx	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem dvcvx Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcvx.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dvcvx.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3		dvcvx.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0(,)1))
4		elioore 13319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
6	5, 1	remulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
7		1re 11135	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resubcl 11449	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
9	7, 5, 8	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
10		dvcvx.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
12	6, 11	readdcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13	2, 12	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		1cnd 11130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15	5	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	subdird 11598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
18	16	mullidd 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
20	17, 19	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
21		dvcvx.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
22		eliooord 13349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
24	23	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 1)
25		posdif 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
26	5, 7, 25	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
27	24, 26	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
28		ltmul2 11997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
29	1, 10, 9, 27, 28	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
30	21, 29	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
31	20, 30	eqbrtrrd 5110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
32	1, 6, 11	ltsubadd2d 11739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
33	31, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
34	33, 2	breqtrrdi 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
35	1	leidd 11707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
36	10	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	14, 15, 36	subdird 11598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)))
38	36	mullidd 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
39	38	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
40	37, 39	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
41	5, 10	remulcld 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
42	23	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
43		ltmul2 11997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
44	1, 10, 5, 42, 43	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
45	21, 44	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))
46	6, 41, 10, 45	ltsub2dd 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
47	40, 46	eqbrtrd 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
48	6, 11, 10	ltaddsub2d 11742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))))
49	47, 48	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵)
50	2, 49	eqbrtrid 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
51	13, 10, 50	ltled 11285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
52		iccss 13358	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
53	1, 10, 35, 51, 52	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54		dvcvx.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
55		rescncf 24874	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)))
56	53, 54, 55	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))
57		ax-resscn 11086	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59		cncff 24870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
60	54, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
61		fss 6678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
62	60, 57, 61	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
63		iccssre 13373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
64	1, 10, 63	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65		iccssre 13373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
66	1, 13, 65	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
67		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
68		tgioo4 24780	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
69	67, 68	dvres 25888	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
70	58, 62, 64, 66, 69	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
71		iccntr 24797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
72	1, 13, 71	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
73	72	reseq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
74	70, 73	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
75	74	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
76		dmres 5971	. . . . 5 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
77	10	rexrd 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
78		iooss2 13325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
79	77, 51, 78	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80		dvcvx.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
81		isof1o 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊)
82		f1odm 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
83	80, 81, 82	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
84	79, 83	sseqtrrd 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
85		dfss2 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
86	84, 85	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
87	76, 86	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
88	75, 87	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
89	1, 13, 34, 56, 88	mvth 25969	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
90	1, 13, 34	ltled 11285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
91	10	leidd 11707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
92		iccss 13358	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
93	1, 10, 90, 91, 92	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
94		rescncf 24874	. . . 4 ⊢ ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)))
95	93, 54, 94	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))
96		iccssre 13373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
97	13, 10, 96	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
98	67, 68	dvres 25888	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
99	58, 62, 64, 97, 98	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
100		iccntr 24797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
101	13, 10, 100	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
102	101	reseq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
103	99, 102	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
104	103	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
105		dmres 5971	. . . . 5 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
106	1	rexrd 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
107		iooss1 13324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
108	106, 90, 107	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
109	108, 83	sseqtrrd 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110		dfss2 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
111	109, 110	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
112	105, 111	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
113	104, 112	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵))
114	13, 10, 50, 95, 113	mvth 25969	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
115		reeanv 3210	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
116	74	fveq1d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥))
117		fvres 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
118	117	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
119	116, 118	sylan9eq 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
120	13	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
121		ubicc2 13409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
122	106, 120, 90, 121	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
123	122	fvresd 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
124		lbicc2 13408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
125	106, 120, 90, 124	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
126	125	fvresd 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
127	123, 126	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)))
128	127	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
129	128	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
130	119, 129	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))))
131	103	fveq1d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦))
132		fvres 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
133	132	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
134	131, 133	sylan9eq 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
135		ubicc2 13409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
136	120, 77, 51, 135	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
137	136	fvresd 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
138		lbicc2 13408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
139	120, 77, 51, 138	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
140	139	fvresd 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
141	137, 140	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)))
142	141	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
143	142	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
144	134, 143	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
145	130, 144	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))))
146		elioore 13319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
147	146	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
148	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
149		elioore 13319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
150	149	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
151		eliooord 13349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
152	151	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
153	152	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
154		eliooord 13349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
155	154	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
156	155	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦)
157	147, 148, 150, 153, 156	lttrd 11298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦)
158	80	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
159	79	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
160	159	adantrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
161	108	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
162	161	adantrl 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
163		isorel 7274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
164	158, 160, 162, 163	syl12anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
165	157, 164	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
166		breq12 5091	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
167	165, 166	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
168	53, 122	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
169	60, 168	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ)
170	53, 125	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
171	60, 170	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
172	169, 171	resubcld 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
173	27	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
174	172, 9, 173	redivcld 11974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ)
175	93, 136	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
176	60, 175	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
177	176, 169	resubcld 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
178	42	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
179	177, 5, 178	redivcld 11974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ)
180	10, 1	resubcld 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
181	1, 10	posdifd 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
182	21, 181	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
183		ltdiv1 12011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴))))
184	174, 179, 180, 182, 183	syl112anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴))))
185	172	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
186	185, 15	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))))
187	169	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
188	171	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
189	15, 187, 188	subdid 11597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
190	186, 189	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
191	177	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
192	9	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
193	191, 192	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))))
194	176	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
195	192, 194, 187	subdid 11597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
196	193, 195	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
197	190, 196	breq12d 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))))
198	5, 42	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇))
199	9, 27	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))
200		lt2mul2div 12025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇)))
201	172, 198, 177, 199, 200	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇)))
202	5, 169	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
203	202	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
204	9, 169	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
205	204	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
206	5, 171	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
207	206	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
208	203, 205, 207	addsubd 11517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
209		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
210		pncan3 11392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
211	15, 209, 210	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
212	211	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = (1 · (𝐹‘𝐶)))
213	15, 192, 187	adddird 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
214	187	mullidd 11154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝐶)) = (𝐹‘𝐶))
215	212, 213, 214	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = (𝐹‘𝐶))
216	215	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
217	208, 216	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
218	217	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))
219	202, 206	resubcld 11569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
220	9, 176	remulcld 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
221	219, 204, 220	ltaddsubd 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))))
222	169, 206, 220	ltsubadd2d 11739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
223	218, 221, 222	3bitr3d 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
224	197, 201, 223	3bitr3d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
225	180	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
226	182	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
227	185, 192, 225, 173, 226	divdiv1d 11953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴))))
228	20	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
229	11	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
230	6	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
231	229, 16, 230	subsub3d 11526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
232	228, 231	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
233	192, 36, 16	subdid 11597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
234	230, 229	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
235	2, 234	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
236	235	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
237	232, 233, 236	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
238	237	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴))) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
239	227, 238	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
240	191, 15, 225, 178, 226	divdiv1d 11953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
241	36, 229, 230	subsub4d 11527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
242	40	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))))
243	41	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
244	36, 243	nncand 11501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵))
245	242, 244	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵))
246	245	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
247	241, 246	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
248	235	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
249	15, 36, 16	subdid 11597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
250	247, 248, 249	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
251	250	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
252	240, 251	eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
253	239, 252	breq12d 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
254	184, 224, 253	3bitr3rd 310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
255	254	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
256	167, 255	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
257	145, 256	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
258	257	rexlimdvva 3195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
259	115, 258	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
260	89, 114, 259	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∃wrex 3062 ∩ cin 3889 ⊆ wss 3890 class class class wbr 5086 dom cdm 5624 ran crn 5625 ↾ cres 5626 ⟶wf 6488 –1-1-onto→wf1o 6491 ‘cfv 6492 Isom wiso 6493 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 ℝ^*cxr 11169 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 / cdiv 11798 (,)cioo 13289 [,]cicc 13292 TopOpenctopn 17375 topGenctg 17391 ℂ_fldccnfld 21344 intcnt 22992 –cn→ccncf 24853 D cdv 25840

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107 ax-addf 11108

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-iin 4937 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-of 7624 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-supp 8104 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-2o 8399 df-er 8636 df-map 8768 df-pm 8769 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9268 df-fi 9317 df-sup 9348 df-inf 9349 df-oi 9418 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-xneg 13054 df-xadd 13055 df-xmul 13056 df-ioo 13293 df-ico 13295 df-icc 13296 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-seq 13955 df-exp 14015 df-hash 14284 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-struct 17108 df-sets 17125 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-ress 17192 df-plusg 17224 df-mulr 17225 df-starv 17226 df-sca 17227 df-vsca 17228 df-ip 17229 df-tset 17230 df-ple 17231 df-ds 17233 df-unif 17234 df-hom 17235 df-cco 17236 df-rest 17376 df-topn 17377 df-0g 17395 df-gsum 17396 df-topgen 17397 df-pt 17398 df-prds 17401 df-xrs 17457 df-qtop 17462 df-imas 17463 df-xps 17465 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-submnd 18743 df-mulg 19035 df-cntz 19283 df-cmn 19748 df-psmet 21336 df-xmet 21337 df-met 21338 df-bl 21339 df-mopn 21340 df-fbas 21341 df-fg 21342 df-cnfld 21345 df-top 22869 df-topon 22886 df-topsp 22908 df-bases 22921 df-cld 22994 df-ntr 22995 df-cls 22996 df-nei 23073 df-lp 23111 df-perf 23112 df-cn 23202 df-cnp 23203 df-haus 23290 df-cmp 23362 df-tx 23537 df-hmeo 23730 df-fil 23821 df-fm 23913 df-flim 23914 df-flf 23915 df-xms 24295 df-ms 24296 df-tms 24297 df-cncf 24855 df-limc 25843 df-dv 25844

This theorem is referenced by: efcvx 26427 logccv 26640

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