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Theorem dvcvx 25384

Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvcvx.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvcvx.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvcvx.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
dvcvx.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvcvx.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
dvcvx.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0(,)1))
dvcvx.c	⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
dvcvx	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem dvcvx Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcvx.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dvcvx.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3		dvcvx.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0(,)1))
4		elioore 13294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
6	5, 1	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
7		1re 11155	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resubcl 11465	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
9	7, 5, 8	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
10		dvcvx.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
12	6, 11	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13	2, 12	eqeltrid 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		1cnd 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15	5	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	subdird 11612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
18	16	mulid2d 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
20	17, 19	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
21		dvcvx.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
22		eliooord 13323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
24	23	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 1)
25		posdif 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
26	5, 7, 25	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
27	24, 26	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
28		ltmul2 12006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
29	1, 10, 9, 27, 28	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
30	21, 29	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
31	20, 30	eqbrtrrd 5129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
32	1, 6, 11	ltsubadd2d 11753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
33	31, 32	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
34	33, 2	breqtrrdi 5147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
35	1	leidd 11721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
36	10	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	14, 15, 36	subdird 11612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)))
38	36	mulid2d 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
39	38	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
40	37, 39	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
41	5, 10	remulcld 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
42	23	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
43		ltmul2 12006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
44	1, 10, 5, 42, 43	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
45	21, 44	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))
46	6, 41, 10, 45	ltsub2dd 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
47	40, 46	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
48	6, 11, 10	ltaddsub2d 11756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))))
49	47, 48	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵)
50	2, 49	eqbrtrid 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
51	13, 10, 50	ltled 11303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
52		iccss 13332	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
53	1, 10, 35, 51, 52	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54		dvcvx.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
55		rescncf 24260	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)))
56	53, 54, 55	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))
57		ax-resscn 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59		cncff 24256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
60	54, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
61		fss 6685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
62	60, 57, 61	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
63		iccssre 13346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
64	1, 10, 63	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65		iccssre 13346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
66	1, 13, 65	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
67		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
68	67	tgioo2 24166	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
69	67, 68	dvres 25275	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
70	58, 62, 64, 66, 69	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
71		iccntr 24184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
72	1, 13, 71	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
73	72	reseq2d 5937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
74	70, 73	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
75	74	dmeqd 5861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
76		dmres 5959	. . . . 5 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
77	10	rexrd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
78		iooss2 13300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
79	77, 51, 78	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80		dvcvx.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
81		isof1o 7268	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊)
82		f1odm 6788	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
83	80, 81, 82	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
84	79, 83	sseqtrrd 3985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
85		df-ss 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
86	84, 85	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
87	76, 86	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
88	75, 87	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
89	1, 13, 34, 56, 88	mvth 25356	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
90	1, 13, 34	ltled 11303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
91	10	leidd 11721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
92		iccss 13332	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
93	1, 10, 90, 91, 92	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
94		rescncf 24260	. . . 4 ⊢ ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)))
95	93, 54, 94	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))
96		iccssre 13346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
97	13, 10, 96	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
98	67, 68	dvres 25275	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
99	58, 62, 64, 97, 98	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
100		iccntr 24184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
101	13, 10, 100	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
102	101	reseq2d 5937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
103	99, 102	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
104	103	dmeqd 5861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
105		dmres 5959	. . . . 5 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
106	1	rexrd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
107		iooss1 13299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
108	106, 90, 107	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
109	108, 83	sseqtrrd 3985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110		df-ss 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
111	109, 110	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
112	105, 111	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
113	104, 112	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵))
114	13, 10, 50, 95, 113	mvth 25356	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
115		reeanv 3217	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
116	74	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥))
117		fvres 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
118	117	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
119	116, 118	sylan9eq 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
120	13	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
121		ubicc2 13382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
122	106, 120, 90, 121	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
123	122	fvresd 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
124		lbicc2 13381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
125	106, 120, 90, 124	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
126	125	fvresd 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
127	123, 126	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)))
128	127	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
129	128	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
130	119, 129	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))))
131	103	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦))
132		fvres 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
133	132	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
134	131, 133	sylan9eq 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
135		ubicc2 13382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
136	120, 77, 51, 135	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
137	136	fvresd 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
138		lbicc2 13381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
139	120, 77, 51, 138	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
140	139	fvresd 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
141	137, 140	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)))
142	141	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
143	142	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
144	134, 143	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
145	130, 144	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))))
146		elioore 13294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
147	146	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
148	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
149		elioore 13294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
150	149	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
151		eliooord 13323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
152	151	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
153	152	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
154		eliooord 13323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
155	154	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
156	155	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦)
157	147, 148, 150, 153, 156	lttrd 11316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦)
158	80	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
159	79	sselda 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
160	159	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
161	108	sselda 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
162	161	adantrl 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
163		isorel 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
164	158, 160, 162, 163	syl12anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
165	157, 164	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
166		breq12 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
167	165, 166	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
168	53, 122	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
169	60, 168	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ)
170	53, 125	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
171	60, 170	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
172	169, 171	resubcld 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
173	27	gt0ne0d 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
174	172, 9, 173	redivcld 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ)
175	93, 136	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
176	60, 175	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
177	176, 169	resubcld 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
178	42	gt0ne0d 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
179	177, 5, 178	redivcld 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ)
180	10, 1	resubcld 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
181	1, 10	posdifd 11742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
182	21, 181	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
183		ltdiv1 12019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴))))
184	174, 179, 180, 182, 183	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴))))
185	172	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
186	185, 15	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))))
187	169	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
188	171	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
189	15, 187, 188	subdid 11611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
190	186, 189	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
191	177	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
192	9	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
193	191, 192	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))))
194	176	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
195	192, 194, 187	subdid 11611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
196	193, 195	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
197	190, 196	breq12d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))))
198	5, 42	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇))
199	9, 27	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))
200		lt2mul2div 12033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇)))
201	172, 198, 177, 199, 200	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇)))
202	5, 169	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
203	202	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
204	9, 169	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ)
205	204	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
206	5, 171	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
207	206	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
208	203, 205, 207	addsubd 11533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
209		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
210		pncan3 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
211	15, 209, 210	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
212	211	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = (1 · (𝐹‘𝐶)))
213	15, 192, 187	adddird 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))
214	187	mulid2d 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝐶)) = (𝐹‘𝐶))
215	212, 213, 214	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = (𝐹‘𝐶))
216	215	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
217	208, 216	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))))
218	217	breq1d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))
219	202, 206	resubcld 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
220	9, 176	remulcld 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
221	219, 204, 220	ltaddsubd 11755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))))
222	169, 206, 220	ltsubadd2d 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
223	218, 221, 222	3bitr3d 308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
224	197, 201, 223	3bitr3d 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
225	180	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
226	182	gt0ne0d 11719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
227	185, 192, 225, 173, 226	divdiv1d 11962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴))))
228	20	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
229	11	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
230	6	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
231	229, 16, 230	subsub3d 11542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
232	228, 231	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
233	192, 36, 16	subdid 11611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
234	230, 229	addcomd 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
235	2, 234	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
236	235	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
237	232, 233, 236	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
238	237	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴))) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
239	227, 238	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))
240	191, 15, 225, 178, 226	divdiv1d 11962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
241	36, 229, 230	subsub4d 11543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
242	40	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))))
243	41	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
244	36, 243	nncand 11517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵))
245	242, 244	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵))
246	245	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
247	241, 246	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
248	235	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
249	15, 36, 16	subdid 11611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
250	247, 248, 249	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
251	250	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
252	240, 251	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))
253	239, 252	breq12d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))
254	184, 224, 253	3bitr3rd 309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
255	254	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
256	167, 255	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
257	145, 256	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
258	257	rexlimdvva 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
259	115, 258	biimtrrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))))
260	89, 114, 259	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3073 ∩ cin 3909 ⊆ wss 3910 class class class wbr 5105 dom cdm 5633 ran crn 5634 ↾ cres 5635 ⟶wf 6492 –1-1-onto→wf1o 6495 ‘cfv 6496 Isom wiso 6497 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 / cdiv 11812 (,)cioo 13264 [,]cicc 13267 TopOpenctopn 17303 topGenctg 17319 ℂ_fldccnfld 20796 intcnt 22368 –cn→ccncf 24239 D cdv 25227

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8093 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-er 8648 df-map 8767 df-pm 8768 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9306 df-fi 9347 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-ioo 13268 df-ico 13270 df-icc 13271 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-hom 17157 df-cco 17158 df-rest 17304 df-topn 17305 df-0g 17323 df-gsum 17324 df-topgen 17325 df-pt 17326 df-prds 17329 df-xrs 17384 df-qtop 17389 df-imas 17390 df-xps 17392 df-mre 17466 df-mrc 17467 df-acs 17469 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-submnd 18602 df-mulg 18873 df-cntz 19097 df-cmn 19564 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-fbas 20793 df-fg 20794 df-cnfld 20797 df-top 22243 df-topon 22260 df-topsp 22282 df-bases 22296 df-cld 22370 df-ntr 22371 df-cls 22372 df-nei 22449 df-lp 22487 df-perf 22488 df-cn 22578 df-cnp 22579 df-haus 22666 df-cmp 22738 df-tx 22913 df-hmeo 23106 df-fil 23197 df-fm 23289 df-flim 23290 df-flf 23291 df-xms 23673 df-ms 23674 df-tms 23675 df-cncf 24241 df-limc 25230 df-dv 25231

This theorem is referenced by: efcvx 25808 logccv 26018

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