MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem4 26664
Description: Lemma for lgsfcl2 26667. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgslem4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem4
StepHypRef Expression
1 eldifi 4091 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
21adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 oddprm 16689 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
54adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
6 prmdvdsexp 16598 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃𝐴))
72, 3, 5, 6syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃𝐴))
87biimpar 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
9 prmgt1 16580 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
1110ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃𝐴) → 1 < 𝑃)
12 p1modz1 16150 . . . . 5 ((𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 1 < 𝑃) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
138, 11, 12syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
1413oveq1d 7377 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (1 − 1))
15 1m1e0 12232 . . . 4 (1 − 1) = 0
16 lgslem2.z . . . . . 6 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
1716lgslem2 26662 . . . . 5 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
1817simp2i 1141 . . . 4 0 ∈ 𝑍
1915, 18eqeltri 2834 . . 3 (1 − 1) ∈ 𝑍
2014, 19eqeltrdi 2846 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
21 lgslem1 26661 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})
22 elpri 4613 . . . 4 ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
23 oveq1 7369 . . . . . 6 ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (0 − 1))
24 df-neg 11395 . . . . . . 7 -1 = (0 − 1)
2517simp1i 1140 . . . . . . 7 -1 ∈ 𝑍
2624, 25eqeltrri 2835 . . . . . 6 (0 − 1) ∈ 𝑍
2723, 26eqeltrdi 2846 . . . . 5 ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
28 oveq1 7369 . . . . . 6 ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (2 − 1))
29 2m1e1 12286 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
3017simp3i 1142 . . . . . . 7 1 ∈ 𝑍
3129, 30eqeltri 2834 . . . . . 6 (2 − 1) ∈ 𝑍
3228, 31eqeltrdi 2846 . . . . 5 ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
3327, 32jaoi 856 . . . 4 (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
3421, 22, 333syl 18 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
35343expa 1119 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
3620, 35pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3410  cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  cz 12506   mod cmo 13781  cexp 13974  abscabs 15126  cdvds 16143  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645
This theorem is referenced by:  lgsfcl2  26667
  Copyright terms: Public domain W3C validator