Theorem lgslem4 27251

Description: Lemma for lgsfcl2 27254. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem4	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		oddprm 16739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
6		prmdvdsexp 16643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
8	7	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
9		prmgt1 16625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
11	10	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 < 𝑃)
12		p1modz1 16187	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 1 < 𝑃) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
13	8, 11, 12	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (1 − 1))
15		1m1e0 12218	. . . 4 ⊢ (1 − 1) = 0
16		lgslem2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
17	16	lgslem2 27249	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
18	17	simp2i 1141	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝑍
19	15, 18	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (1 − 1) ∈ 𝑍
20	14, 19	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
21		lgslem1 27248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})
22		elpri 4592	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
23		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (0 − 1))
24		df-neg 11368	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (0 − 1)
25	17	simp1i 1140	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝑍
26	24, 25	eqeltrri 2834	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ 𝑍
27	23, 26	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
28		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (2 − 1))
29		2m1e1 12267	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
30	17	simp3i 1142	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝑍
31	29, 30	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) ∈ 𝑍
32	28, 31	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
33	27, 32	jaoi 858	. . . 4 ⊢ (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
34	21, 22, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
35	34	3expa 1119	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
36	20, 35	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11167   ≤ cle 11168   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤcz 12489   mod cmo 13790  ↑cexp 13985  abscabs 15158   ∥ cdvds 16180  ℙcprime 16599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-dvds 16181  df-gcd 16423  df-prm 16600  df-phi 16694

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  27254