Theorem lgslem4 27636

Description: Lemma for lgsfcl2 27639. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem4	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		oddprm 16997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
6		prmdvdsexp 16900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
8	7	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
9		prmgt1 16882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
10	1, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
11	10	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 < 𝑃)
12		p1modz1 16438	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 1 < 𝑃) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
13	8, 11, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (1 − 1))
15		1m1e0 12422	. . . 4 ⊢ (1 − 1) = 0
16		lgslem2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
17	16	lgslem2 27634	. . . . 5 ⊢ ( -1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
18	17	simp2i 1158	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝑍
19	15, 18	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ (1 − 1) ∈ 𝑍
20	14, 19	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
21		lgslem1 27633	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})
22		elpri 4604	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
23		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (0 − 1))
24		df-neg 11551	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (0 − 1)
25	17	simp1i 1157	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝑍
26	24, 25	eqeltrri 2857	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ 𝑍
27	23, 26	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
28		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (2 − 1))
29		2m1e1 12474	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
30	17	simp3i 1159	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝑍
31	29, 30	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) ∈ 𝑍
32	28, 31	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
33	27, 32	jaoi 871	. . . 4 ⊢ (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
34	21, 22, 33	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
35	34	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
36	20, 35	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ∖ cdif 4044  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  ℤcz 12700   mod cmo 14016  ↑cexp 14211  abscabs 15410   ∥ cdvds 16431  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856  df-phi 16952

This theorem is used by:  lgsfcl2  27639