Theorem lgslem4 27268

Description: Lemma for lgsfcl2 27271. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem4	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		oddprm 16835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
6		prmdvdsexp 16739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
8	7	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
9		prmgt1 16721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
11	10	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 < 𝑃)
12		p1modz1 16284	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 1 < 𝑃) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
13	8, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (1 − 1))
15		1m1e0 12317	. . . 4 ⊢ (1 − 1) = 0
16		lgslem2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
17	16	lgslem2 27266	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
18	17	simp2i 1140	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝑍
19	15, 18	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ (1 − 1) ∈ 𝑍
20	14, 19	eqeltrdi 2843	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
21		lgslem1 27265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})
22		elpri 4630	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
23		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (0 − 1))
24		df-neg 11474	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (0 − 1)
25	17	simp1i 1139	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝑍
26	24, 25	eqeltrri 2832	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ 𝑍
27	23, 26	eqeltrdi 2843	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
28		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (2 − 1))
29		2m1e1 12371	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
30	17	simp3i 1141	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝑍
31	29, 30	eqeltri 2831	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) ∈ 𝑍
32	28, 31	eqeltrdi 2843	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
33	27, 32	jaoi 857	. . . 4 ⊢ (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
34	21, 22, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
35	34	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)
36	20, 35	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) ∈ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420   ∖ cdif 3928  {csn 4606  {cpr 4608   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤcz 12593   mod cmo 13891  ↑cexp 14084  abscabs 15258   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-phi 16790

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  27271