MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgscllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgscllem 27192
Description: The Legendre symbol is an element of ๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
lgsfcl2.z ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
Assertion
Ref Expression
lgscllem ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ ๐‘)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lgscllem
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
21lgsval 27189 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
3 lgsfcl2.z . . . . . . 7 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
43lgslem2 27186 . . . . . 6 (-1 โˆˆ ๐‘ โˆง 0 โˆˆ ๐‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘)
54simp3i 1138 . . . . 5 1 โˆˆ ๐‘
64simp2i 1137 . . . . 5 0 โˆˆ ๐‘
75, 6ifcli 4570 . . . 4 if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ ๐‘
87a1i 11 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ ๐‘)
94simp1i 1136 . . . . 5 -1 โˆˆ ๐‘
109, 5ifcli 4570 . . . 4 if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ ๐‘
11 simplr 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
1312neqned 2941 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
14 nnabscl 15278 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
1511, 13, 14syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
16 nnuz 12869 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1715, 16eleqtrdi 2837 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
18 df-ne 2935 . . . . . . 7 (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘ = 0)
191, 3lgsfcl2 27191 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
20193expa 1115 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
2118, 20sylan2br 594 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
22 elfznn 13536 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
23 ffvelcdm 7077 . . . . . 6 ((๐น:โ„•โŸถ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
2421, 22, 23syl2an 595 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
253lgslem3 27187 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘)
2625adantl 481 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘)
2717, 24, 26seqcl 13993 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘)
283lgslem3 27187 . . . 4 ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ ๐‘ โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ ๐‘)
2910, 27, 28sylancr 586 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ ๐‘)
308, 29ifclda 4558 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))) โˆˆ ๐‘)
312, 30eqeltrd 2827 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  {crab 3426  ifcif 4523  {cpr 4625   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  7c7 12276  8c8 12277  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490   mod cmo 13840  seqcseq 13972  โ†‘cexp 14032  abscabs 15187   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615   pCnt cpc 16778   /L clgs 27182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-pc 16779  df-lgs 27183
This theorem is referenced by:  lgscl2  27197
  Copyright terms: Public domain W3C validator