Theorem lgscllem 26452

Description: The Legendre symbol is an element of 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
lgsfcl2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgscllem	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑥,𝐹   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgscllem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2	1	lgsval 26449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
3		lgsfcl2.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
4	3	lgslem2 26446	. . . . . 6 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
5	4	simp3i 1140	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ 𝑍
6	4	simp2i 1139	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ 𝑍
7	5, 6	ifcli 4506	. . . 4 ⊢ if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ 𝑍
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ 𝑍)
9	4	simp1i 1138	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ 𝑍
10	9, 5	ifcli 4506	. . . 4 ⊢ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ 𝑍
11		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
13	12	neqned 2950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
14		nnabscl 15037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
16		nnuz 12621	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
18		df-ne 2944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
19	1, 3	lgsfcl2 26451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
20	19	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
21	18, 20	sylan2br 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
22		elfznn 13285	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(abs‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ℕ)
23		ffvelrn 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑍 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑍)
24	21, 22, 23	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑍)
25	3	lgslem3 26447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝑍)
26	25	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ (𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝑍)
27	17, 24, 26	seqcl 13743	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ 𝑍)
28	3	lgslem3 26447	. . . 4 ⊢ ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ 𝑍 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ 𝑍) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ 𝑍)
29	10, 27, 28	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ 𝑍)
30	8, 29	ifclda 4494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) ∈ 𝑍)
31	2, 30	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  ifcif 4459  {cpr 4563   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  7c7 12033  8c8 12034  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239   mod cmo 13589  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376   pCnt cpc 16537   /_L clgs 26442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467  df-pc 16538  df-lgs 26443

This theorem is referenced by:  lgscl2  26457