MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgscllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgscllem 26807
Description: The Legendre symbol is an element of ๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
lgsfcl2.z ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
Assertion
Ref Expression
lgscllem ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ ๐‘)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lgscllem
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
21lgsval 26804 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
3 lgsfcl2.z . . . . . . 7 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
43lgslem2 26801 . . . . . 6 (-1 โˆˆ ๐‘ โˆง 0 โˆˆ ๐‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘)
54simp3i 1142 . . . . 5 1 โˆˆ ๐‘
64simp2i 1141 . . . . 5 0 โˆˆ ๐‘
75, 6ifcli 4576 . . . 4 if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ ๐‘
87a1i 11 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ ๐‘)
94simp1i 1140 . . . . 5 -1 โˆˆ ๐‘
109, 5ifcli 4576 . . . 4 if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ ๐‘
11 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
1312neqned 2948 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
14 nnabscl 15272 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
1511, 13, 14syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
16 nnuz 12865 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1715, 16eleqtrdi 2844 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
18 df-ne 2942 . . . . . . 7 (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘ = 0)
191, 3lgsfcl2 26806 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
20193expa 1119 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
2118, 20sylan2br 596 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
22 elfznn 13530 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
23 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((๐น:โ„•โŸถ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
2421, 22, 23syl2an 597 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
253lgslem3 26802 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘)
2625adantl 483 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘)
2717, 24, 26seqcl 13988 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘)
283lgslem3 26802 . . . 4 ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ ๐‘ โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ ๐‘)
2910, 27, 28sylancr 588 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ ๐‘)
308, 29ifclda 4564 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))) โˆˆ ๐‘)
312, 30eqeltrd 2834 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  {crab 3433  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  7c7 12272  8c8 12273  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484   mod cmo 13834  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608   pCnt cpc 16769   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798
This theorem is referenced by:  lgscl2  26812
  Copyright terms: Public domain W3C validator