Theorem lgscllem 27283

Description: The Legendre symbol is an element of 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
lgsfcl2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgscllem	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑥,𝐹   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgscllem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2	1	lgsval 27280	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
3		lgsfcl2.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
4	3	lgslem2 27277	. . . . . 6 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
5	4	simp3i 1142	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ 𝑍
6	4	simp2i 1141	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ 𝑍
7	5, 6	ifcli 4529	. . . 4 ⊢ if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ 𝑍
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ 𝑍)
9	4	simp1i 1140	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ 𝑍
10	9, 5	ifcli 4529	. . . 4 ⊢ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ 𝑍
11		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
13	12	neqned 2940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
14		nnabscl 15261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
15	11, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
16		nnuz 12802	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
18		df-ne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
19	1, 3	lgsfcl2 27282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
20	19	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
21	18, 20	sylan2br 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
22		elfznn 13481	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(abs‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ℕ)
23		ffvelcdm 7035	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑍 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑍)
24	21, 22, 23	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑍)
25	3	lgslem3 27278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝑍)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ (𝑦 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝑍)
27	17, 24, 26	seqcl 13957	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ 𝑍)
28	3	lgslem3 27278	. . . 4 ⊢ ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ 𝑍 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ 𝑍) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ 𝑍)
29	10, 27, 28	sylancr 588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ 𝑍)
30	8, 29	ifclda 4517	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) ∈ 𝑍)
31	2, 30	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401  ifcif 4481  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  7c7 12217  8c8 12218  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435   mod cmo 13801  seqcseq 13936  ↑cexp 13996  abscabs 15169   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16776   /_L clgs 27273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-phi 16705  df-pc 16777  df-lgs 27274

This theorem is referenced by:  lgscl2  27288