MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgscllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgscllem 27265
Description: The Legendre symbol is an element of ๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
lgsfcl2.z ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
Assertion
Ref Expression
lgscllem ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ ๐‘)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lgscllem
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
21lgsval 27262 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
3 lgsfcl2.z . . . . . . 7 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
43lgslem2 27259 . . . . . 6 (-1 โˆˆ ๐‘ โˆง 0 โˆˆ ๐‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘)
54simp3i 1138 . . . . 5 1 โˆˆ ๐‘
64simp2i 1137 . . . . 5 0 โˆˆ ๐‘
75, 6ifcli 4579 . . . 4 if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ ๐‘
87a1i 11 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ ๐‘)
94simp1i 1136 . . . . 5 -1 โˆˆ ๐‘
109, 5ifcli 4579 . . . 4 if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ ๐‘
11 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
1312neqned 2944 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
14 nnabscl 15314 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
1511, 13, 14syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
16 nnuz 12905 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1715, 16eleqtrdi 2839 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
18 df-ne 2938 . . . . . . 7 (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘ = 0)
191, 3lgsfcl2 27264 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
20193expa 1115 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
2118, 20sylan2br 593 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
22 elfznn 13572 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
23 ffvelcdm 7096 . . . . . 6 ((๐น:โ„•โŸถ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
2421, 22, 23syl2an 594 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
253lgslem3 27260 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘)
2625adantl 480 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘)
2717, 24, 26seqcl 14029 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘)
283lgslem3 27260 . . . 4 ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ ๐‘ โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ ๐‘)
2910, 27, 28sylancr 585 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ ๐‘)
308, 29ifclda 4567 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))) โˆˆ ๐‘)
312, 30eqeltrd 2829 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  {crab 3430  ifcif 4532  {cpr 4634   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   โˆ’ cmin 11484  -cneg 11485   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  2c2 12307  7c7 12312  8c8 12313  โ„คcz 12598  โ„คโ‰ฅcuz 12862  ...cfz 13526   mod cmo 13876  seqcseq 14008  โ†‘cexp 14068  abscabs 15223   โˆฅ cdvds 16240  โ„™cprime 16651   pCnt cpc 16814   /L clgs 27255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-phi 16744  df-pc 16815  df-lgs 27256
This theorem is referenced by:  lgscl2  27270
  Copyright terms: Public domain W3C validator