Theorem 1nn0 12615

Description: 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
1nn0	⊢ 1 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12339	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2	1	nnnn0i 12607	1 ⊢ 1 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  1c1 11194  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-n0 12600

This theorem is used by:  peano2nn0  12639  deccl  12822  11nn0  12823  12nn0  12824  16nn0  12825  10nn0  12829  11nn  12832  numsucc  12852  numadd  12859  numaddc  12860  11multnc  12880  6p5lem  12882  6p6e12  12886  7p5e12  12889  8p4e12  12894  9p2e11  12899  9p3e12  12900  10p10e20  12907  4t4e16  12911  5t2e10  12912  5t4e20  12914  6t3e18  12917  6t4e24  12918  7t3e21  12922  7t4e28  12923  8t3e24  12928  9t3e27  12935  9t9e81  12941  1lt10  12952  xnn0n0n1ge2b  13254  fz0to3un2pr  13756  elfzom1elp1fzo  13860  fzo0sn0fzo1  13883  fvf1tp  13922  fldiv4lem1div2  13970  expn1  14207  nn0expcl  14211  sqval  14250  nn0opthlem1  14405  fac2  14416  faclbnd4lem2  14431  bccl  14459  hashsng  14506  hashen1  14507  hashrabrsn  14509  1elfz0hash  14527  hashgt23el  14562  hashprlei  14606  hashtplei  14622  tpf1ofv1  14635  tpfo  14638  wrdred1hash  14699  pfx1  14845  repsw1  14927  cshw1  14966  s3fv1  15036  s4fv1  15040  pfx2  15091  repsw2  15096  repsw3  15097  wwlktovf  15102  relexp1g  15172  relexpaddg  15199  rtrclreclem1  15203  sgnmulsgn  15255  bcxmas  15997  climcndslem2  16012  climcnds  16013  arisum  16022  geoisum1  16041  geoisum1c  16042  mertenslem2  16047  fprodnn0cl  16117  nn0risefaccl  16182  bpoly1  16210  bpoly4  16218  fsumcube  16219  ege2le3  16249  ef4p  16274  efgt1p2  16275  efgt1p  16276  sin01gt0  16351  rpnnen2lem3  16377  dvds1  16482  3dvds2dec  16496  5ndvds6  16577  bitsmod  16599  bitsinv1lem  16604  sadadd2lem  16622  sadadd  16630  sadass  16634  smupp1  16643  smumul  16656  nn0rppwr  16728  prmdvdsbc  16895  pcelnn  17041  pockthg  17077  vdwlem12  17163  prmo1  17208  dec5nprm  17237  dec2nprm  17238  modxp1i  17241  2exp8  17259  2exp11  17260  2exp16  17261  2expltfac  17263  5prm  17279  11prm  17286  13prm  17287  17prm  17288  19prm  17289  23prm  17290  prmlem2  17291  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  139prm  17295  163prm  17296  317prm  17297  631prm  17298  1259lem1  17302  1259lem2  17303  1259lem3  17304  1259lem4  17305  1259lem5  17306  1259prm  17307  2503lem1  17308  2503lem2  17309  2503lem3  17310  2503prm  17311  4001lem1  17312  4001lem2  17313  4001lem3  17314  4001lem4  17315  4001prm  17316  ocndx  17545  ocid  17546  basendxnocndx  17547  plendxnocndx  17548  dsndx  17549  dsid  17550  dsndxnn  17551  basendxltdsndx  17552  slotsdifdsndx  17558  unifndx  17559  unifid  17560  unifndxnn  17561  basendxltunifndx  17562  slotsdifunifndx  17565  odrngstr  17567  homndx  17575  homid  17576  ccondx  17577  ccoid  17578  slotsbhcdif  17579  slotsdifplendx2  17580  slotsdifocndx  17581  imasvalstr  17615  prdsvalstr  17616  catstr  18128  ipostr  18696  smndex2dnrinv  19107  cycsubmcl  19409  psgnunilem2  19702  odcau  19811  lt6abl  20102  omndmul2  20340  0ringnnzr  20769  cnfldstr  21673  nn0srg  21736  freshmansdream  21873  mvrid  22284  mvrf1  22286  mplcoe3  22340  psrbagsn  22365  evlslem1  22384  mhpvarcl  22462  psdcl  22475  psdmul  22480  psdmvr  22483  pmatcollpw3fi1lem1  23097  chfacfscmulgsum  23171  chfacfpmmulfsupp  23174  chfacfpmmulgsum  23175  chfacfpmmulgsum2  23176  cpmadugsumlemB  23185  cpmadugsumlemF  23187  dscmet  24884  ehl1eudis  25734  dveflem  26292  c1lip2  26311  itgpowd  26363  ply1remlem  26476  fta1glem1  26479  fta1blem  26482  plyid  26520  coeidp  26575  dgrid  26576  plyn0mulidp  26595  vieta1lem2  26627  vieta1  26628  aalioulem3  26654  aaliou2b  26661  dvtaylp  26690  taylthlem1  26693  taylthlem2  26694  radcnvlem2  26734  dvradcnv  26741  pserdvlem2  26748  logtayllem  26980  logtayl  26981  cxp1  26992  quart1cl  27175  quart1lem  27176  quart1  27177  quartlem1  27178  quartlem2  27179  leibpilem2  27262  log2ublem3  27269  log2ub  27270  birthday  27275  lgamcvg2  27375  gamp1  27378  issqf  27456  ppi2  27490  mumullem2  27500  sqff1o  27502  1sgmprm  27519  ppiublem2  27523  chtublem  27531  logfacbnd3  27543  logexprlim  27545  logfacrlim2  27546  perfectlem1  27549  perfectlem2  27550  bclbnd  27600  bpos1  27603  bposlem6  27609  lgsval  27621  2lgslem3a  27716  2lgslem3c  27718  rpvmasumlem  27807  log2sumbnd  27864  itvndx  28892  lngndx  28893  itvid  28894  lngid  28895  slotsinbpsd  28896  slotslnbpsd  28897  lngndxnitvndx  28898  trkgstr  28899  eengstr  29551  edgfid  29561  edgfndx  29562  edgfndxnn  29563  basendxltedgfndx  29565  usgrexmplef  29833  cusgrsizeindb1  30024  wlk1ewlk  30213  usgr2pthlem  30342  uspgrn2crct  30390  crctcshwlkn0lem5  30396  rusgrnumwwlkl1  30553  rusgrnumwwlkb1  30557  clwwlkccatlem  30573  clwwlkinwwlk  30624  umgr2cwwkdifex  30649  upgr3v3e3cycl  30774  upgr4cycl4dv4e  30779  konigsbergiedgw  30842  konigsberglem1  30846  konigsberglem2  30847  konigsberglem3  30848  konigsberglem4  30849  1kp2ke3k  31040  ex-exp  31044  ex-fac  31045  9p10ne21  31064  sgnmulsgp  33416  nexple  33417  dpmul4  33473  threehalves  33474  1mhdrd  33475  s2f1  33503  cycpm2tr  33673  evl1deg1  34101  evl1deg2  34102  evl1deg3  34103  ply1dg1rt  34105  coe1vr1  34116  deg1vr  34117  mplmulmvr  34164  esplylem  34191  esplyfv1  34194  esplyfval1  34198  esplyfvaln  34199  esplyind  34200  drngdimgt0  34243  rtelextdg2lem  34351  fldext2chn  34353  constrdircl  34390  iconstr  34391  2sqr3minply  34405  cos9thpiminplylem1  34407  cos9thpiminplylem2  34408  cos9thpiminply  34413  lmat22e12  34444  lmat22e21  34445  lmat22e22  34446  madjusmdetlem4  34455  oddpwdc  34979  eulerpartlemd  34991  eulerpartlemgs2  35005  eulerpartlemn  35006  iwrdsplit  35012  fib0  35024  fib1  35025  fibp1  35026  signstfveq0  35199  signsvvf  35201  signsvfn  35204  signshlen  35212  prodfzo03  35225  reprsuc  35237  breprexplemc  35254  hgt750lemd  35270  hgt750lem  35273  hgt750lem2  35274  hgt750leme  35280  usgrgt2cycl  35888  subfac1  35922  kur14lem9  35958  bccolsum  36483  nn0prpw  37091  12gcd5e1  43033  60gcd6e6  43034  60gcd7e1  43035  420gcd8e4  43036  12lcm5e60  43038  lcmineqlem11  43069  lcmineqlem18  43076  lcmineqlem22  43080  lcmineqlem  43082  3exp7  43083  3lexlogpow5ineq1  43084  3lexlogpow5ineq2  43085  3lexlogpow5ineq5  43090  dvrelogpow2b  43098  aks4d1p1p2  43100  aks4d1p1p4  43101  aks4d1p1p6  43103  aks4d1p1p7  43104  aks4d1p1p5  43105  aks4d1p1  43106  aks4d1p3  43108  aks6d1c1p8  43145  aks6d1c5lem3  43167  2np3bcnp1  43174  2ap1caineq  43175  sticksstones22  43198  aks6d1c6lem1  43200  aks6d1c7lem1  43210  aks6d1c7  43214  25or6to4  43236  235t711  43342  ex-decpmul  43343  fltnltalem  43653  sum9cubes  43663  3cubeslem3l  43676  3cubeslem3r  43677  pell1qr1  43857  rmspecfund  43895  jm2.23  43982  jm2.27c  43993  areaquad  44202  resqrtvalex  44630  imsqrtvalex  44631  brfvidRP  44673  brfvrcld  44676  corclrcl  44692  dftrcl3  44705  dfrtrcl3  44718  fvrtrcllb1d  44722  corcltrcl  44724  cotrclrcl  44727  inductionexd  45140  radcnvrat  45283  binomcxplemnn0  45318  binomcxplemfrat  45320  binomcxplemnotnn0  45325  rexanuz2nf  46471  wallispilem2  47045  wallispilem5  47048  wallispi2lem2  47051  stirlinglem5  47057  stirlinglem7  47059  stirlinglem10  47062  stirlinglem11  47063  fourierdlem48  47133  ormkglobd  47856  goldratmolem2  47902  iccpartigtl  48474  iccpartlt  48475  iccpartgel  48480  fmtnosqrt  48593  fmtno1  48595  fmtno2  48604  fmtno5lem1  48607  fmtno5lem2  48608  fmtno5lem3  48609  fmtno5lem4  48610  fmtno5  48611  257prm  48615  fmtnofac1  48624  fmtno4prmfac  48626  fmtno4prmfac193  48627  fmtno4nprmfac193  48628  fmtno5faclem1  48633  fmtno5faclem2  48634  fmtno5faclem3  48635  fmtno5fac  48636  fmtno5nprm  48637  3ndvds4  48649  139prmALT  48650  31prm  48651  m5prm  48652  127prm  48653  m7prm  48654  m11nprm  48655  lighneallem2  48660  perfectALTVlem1  48788  perfectALTVlem2  48789  11t31e341  48799  2exp340mod341  48800  341fppr2  48801  8exp8mod9  48803  nfermltl8rev  48809  nfermltl2rev  48810  evengpoap3  48866  nnsum4primesevenALTV  48868  bgoldbtbndlem1  48872  bgoldbachlt  48880  tgblthelfgott  48882  cycl3grtri  49014  stgr1  49028  usgrexmpl1lem  49088  usgrexmpl2lem  49093  gpgprismgriedgdmss  49119  gpgprismgr4cycllem3  49164  gpgprismgr4cycllem7  49168  gpgprismgr4cycllem9  49170  gpgprismgr4cycllem10  49171  grlimedgnedg  49198  nnpw2pmod  49664  dig1  49689  dignn0flhalflem2  49697  1aryfvalel  49717  itcoval1  49744  itcoval2  49745  ackval1  49762  ackval2  49763  ackval3  49764  ackendofnn0  49765  ackvalsucsucval  49769  ackval0012  49770  ackval1012  49771  ackval2012  49772  ackval3012  49773  ackval41a  49775  ackval42  49777