Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupval4 45245
Description: Alternate definition of lim inf when the given a function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval4.x β„²π‘₯πœ‘
limsupval4.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval4.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
limsupval4.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupval4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem limsupval4
StepHypRef Expression
1 ovex 7449 . . . . . . . 8 (𝑀[,)+∞) ∈ V
21inex2 5313 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V
32mptex 7231 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡) ∈ V
4 limsupcl 15449 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡) ∈ V β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*)
76xnegnegd 44887 . . 3 (πœ‘ β†’ -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
87eqcomd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) = -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
9 limsupval4.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 limsupval4.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
11 eqid 2725 . . 3 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
129, 10, 11limsupresicompt 45207 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
13 limsupval4.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
14 limsupval4.b . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1514xnegcld 13311 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ -𝑒𝐡 ∈ ℝ*)
1613, 9, 10, 15liminfval3 45241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)))
179, 10, 11limsupresicompt 45207 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐡)))
1814xnegnegd 44887 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ -𝑒-𝑒𝐡 = 𝐡)
1913, 18mpteq2da 5241 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡))
2019fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2117, 20eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2221xnegeqd 44882 . . . 4 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2316, 22eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2423xnegeqd 44882 . 2 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
258, 12, 243eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277  -𝑒cxne 13121  [,)cico 13358  lim supclsp 15446  lim infclsi 45202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-xneg 13124  df-ico 13362  df-limsup 15447  df-liminf 45203
This theorem is referenced by:  limsupvaluz3  45249
  Copyright terms: Public domain W3C validator