Theorem limsupval4 45785

Description: Alternate definition of lim inf when the given a function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
limsupval4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupval4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupval4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem limsupval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀[,)+∞) ∈ V
2	1	inex2 5275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V
3	2	mptex 7199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V
4		limsupcl 15445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
7	6	xnegnegd 45431	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
8	7	eqcomd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
9		limsupval4.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		limsupval4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
12	9, 10, 11	limsupresicompt 45747	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
13		limsupval4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		limsupval4.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	xnegcld 13266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
16	13, 9, 10, 15	liminfval3 45781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)))
17	9, 10, 11	limsupresicompt 45747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵)))
18	14	xnegnegd 45431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
19	13, 18	mpteq2da 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵))
20	19	fveq2d 6864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
21	17, 20	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
22	21	xnegeqd 45426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
23	16, 22	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
24	23	xnegeqd 45426	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
25	8, 12, 24	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3915   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  +∞cpnf 11211  ℝ^*cxr 11213  -_𝑒cxne 13075  [,)cico 13314  lim supclsp 15442  lim infclsi 45742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-xneg 13078  df-ico 13318  df-limsup 15443  df-liminf 45743

This theorem is referenced by:  limsupvaluz3  45789