Theorem limsupval4 43335

Description: Alternate definition of lim inf when the given a function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
limsupval4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupval4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupval4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem limsupval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀[,)+∞) ∈ V
2	1	inex2 5242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V
3	2	mptex 7099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V
4		limsupcl 15182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
7	6	xnegnegd 42982	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
8	7	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
9		limsupval4.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		limsupval4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
12	9, 10, 11	limsupresicompt 43297	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
13		limsupval4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		limsupval4.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	xnegcld 13034	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
16	13, 9, 10, 15	liminfval3 43331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)))
17	9, 10, 11	limsupresicompt 43297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵)))
18	14	xnegnegd 42982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
19	13, 18	mpteq2da 5172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵))
20	19	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
21	17, 20	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
22	21	xnegeqd 42977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
23	16, 22	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
24	23	xnegeqd 42977	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
25	8, 12, 24	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008  -_𝑒cxne 12845  [,)cico 13081  lim supclsp 15179  lim infclsi 43292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-xneg 12848  df-ico 13085  df-limsup 15180  df-liminf 43293

This theorem is referenced by:  limsupvaluz3  43339