Theorem limsupval4 47077

Description: Alternate definition of lim inf when the given a function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
limsupval4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupval4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupval4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -e(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem limsupval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀[,)+∞) ∈ V
2	1	inex2 5285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V
3	2	mptex 7260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V
4		limsupcl 15684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
7	6	xnegnegd 46725	. . 3 ⊢ (𝜑 → -e -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
8	7	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -e -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
9		limsupval4.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		limsupval4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
12	9, 10, 11	limsupresicompt 47039	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
13		limsupval4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		limsupval4.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	xnegcld 13470	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
16	13, 9, 10, 15	liminfval3 47073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e -e𝐵)))
17	9, 10, 11	limsupresicompt 47039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e -e𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -e -e𝐵)))
18	14	xnegnegd 46725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -e -e𝐵 = 𝐵)
19	13, 18	mpteq2da 5203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -e -e𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵))
20	19	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -e -e𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
21	17, 20	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e -e𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
22	21	xnegeqd 46720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e -e𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
23	16, 22	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
24	23	xnegeqd 46720	. 2 ⊢ (𝜑 → -e(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e𝐵)) = -e -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
25	8, 12, 24	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -e(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   -_ecxne 13278  [,)cico 13518  lim supclsp 15681  lim infclsi 47034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-xneg 13281  df-ico 13522  df-limsup 15682  df-liminf 47035

This theorem is used by:  limsupvaluz3  47081