Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupval4 44121
Description: Alternate definition of lim inf when the given a function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval4.x β„²π‘₯πœ‘
limsupval4.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval4.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
limsupval4.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupval4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem limsupval4
StepHypRef Expression
1 ovex 7391 . . . . . . . 8 (𝑀[,)+∞) ∈ V
21inex2 5276 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V
32mptex 7174 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡) ∈ V
4 limsupcl 15361 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡) ∈ V β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*)
76xnegnegd 43763 . . 3 (πœ‘ β†’ -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
87eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) = -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
9 limsupval4.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 limsupval4.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
11 eqid 2733 . . 3 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
129, 10, 11limsupresicompt 44083 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
13 limsupval4.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
14 limsupval4.b . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1514xnegcld 13225 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ -𝑒𝐡 ∈ ℝ*)
1613, 9, 10, 15liminfval3 44117 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)))
179, 10, 11limsupresicompt 44083 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐡)))
1814xnegnegd 43763 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ -𝑒-𝑒𝐡 = 𝐡)
1913, 18mpteq2da 5204 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡))
2019fveq2d 6847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2117, 20eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2221xnegeqd 43758 . . . 4 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2316, 22eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
2423xnegeqd 43758 . 2 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
258, 12, 243eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193  -𝑒cxne 13035  [,)cico 13272  lim supclsp 15358  lim infclsi 44078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-xneg 13038  df-ico 13276  df-limsup 15359  df-liminf 44079
This theorem is referenced by:  limsupvaluz3  44125
  Copyright terms: Public domain W3C validator