Theorem limsupval4 42436

Description: Alternate definition of lim inf when the given a function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
limsupval4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupval4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupval4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem limsupval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀[,)+∞) ∈ V
2	1	inex2 5186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V
3	2	mptex 6963	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V
4		limsupcl 14822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵) ∈ V → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
7	6	xnegnegd 42079	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
8	7	eqcomd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
9		limsupval4.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		limsupval4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11		eqid 2798	. . 3 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
12	9, 10, 11	limsupresicompt 42398	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
13		limsupval4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		limsupval4.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	xnegcld 12681	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
16	13, 9, 10, 15	liminfval3 42432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)))
17	9, 10, 11	limsupresicompt 42398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵)))
18	14	xnegnegd 42079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
19	13, 18	mpteq2da 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵))
20	19	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
21	17, 20	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
22	21	xnegeqd 42074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒-𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
23	16, 22	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
24	23	xnegeqd 42074	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
25	8, 12, 24	3eqtr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663  -_𝑒cxne 12492  [,)cico 12728  lim supclsp 14819  lim infclsi 42393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-xneg 12495  df-ico 12732  df-limsup 14820  df-liminf 42394

This theorem is referenced by:  limsupvaluz3  42440