Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3 44127
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupre3.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupre3.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre3
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . 3 Ⅎ𝑙𝐹
2 limsupre3.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 limsupre3.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
41, 2, 3limsupre3lem 44126 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦))))
5 breq1 5128 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
65anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™))))
76rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™))))
87ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™))))
9 breq1 5128 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 ≀ 𝑙 ↔ π‘˜ ≀ 𝑙))
109anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™))))
1110rexbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™))))
12 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 π‘˜ ≀ 𝑙
13 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗π‘₯
14 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗 ≀
15 limsupre3.1 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗𝐹
16 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗𝑙
1715, 16nffv 6872 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
1813, 14, 17nfbr 5172 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)
1912, 18nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(π‘˜ ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™))
20 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙(π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
21 breq2 5129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑙 ↔ π‘˜ ≀ 𝑗))
22 fveq2 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
2322breq2d 5137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2421, 23anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2519, 20, 24cbvrexw 3301 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2711, 26bitrd 278 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2827cbvralvw 3233 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
308, 29bitrd 278 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
3130cbvrexvw 3234 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
32 breq2 5129 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
3332imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)))
3433ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)))
3534rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)))
369imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)))
3736ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)))
3817, 14, 13nfbr 5172 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
3912, 38nfim 1899 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
40 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙(π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4122breq1d 5135 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4221, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
4339, 40, 42cbvralw 3300 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
4537, 44bitrd 278 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
4645cbvrexvw 3234 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4746a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
4835, 47bitrd 278 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
4948cbvrexvw 3234 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5031, 49anbi12i 627 . . 3 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
5150a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ ℝ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
524, 51bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2882  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3928   class class class wbr 5125  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  β„cr 11074  β„*cxr 11212   ≀ cle 11214  lim supclsp 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-ico 13295  df-limsup 15380
This theorem is referenced by:  limsupre3mpt  44128  limsupre3uzlem  44129
  Copyright terms: Public domain W3C validator