HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcfnexi 29837
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfn𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContFn
2 ax-hv0cl 28789 . . . 4 0 ∈ ℋ
3 1rp 12385 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 29716 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1458 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1)
6 hvsub0 28862 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 0) = 𝑧)
76fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑧 0)) = (norm𝑧))
87breq1d 5043 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 ↔ (norm𝑧) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 29828 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘0) = 0
1110oveq2i 7150 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = ((𝑇𝑧) − 0)
129lnfnfi 29827 . . . . . . . . . . 11 𝑇: ℋ⟶ℂ
1312ffvelrni 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
1413subid1d 10979 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1511, 14syl5eq 2848 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = (𝑇𝑧))
1615fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) = (abs‘(𝑇𝑧)))
1716breq1d 5043 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
188, 17imbi12d 348 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)))
1918ralbiia 3135 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
2019rexbii 3213 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
215, 20mpbi 233 . 2 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)
22 nmfnval 29662 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < )
2412ffvelrni 6831 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
2524abscld 14791 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6652 . . 3 (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘0)
27 abs0 14640 . . 3 (abs‘0) = 0
2826, 27eqtri 2824 . 2 (abs‘(𝑇‘0)) = 0
29 rpcn 12391 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
309lnfnmuli 29830 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3129, 30sylan 583 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3231fveq2d 6653 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))))
33 absmul 14649 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
3429, 24, 33syl2an 598 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
35 rpre 12389 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 12394 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 14777 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 484 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 7154 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))))
4032, 34, 393eqtrrd 2841 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 29812 1 (normfn𝑇) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wral 3109  wrex 3110   class class class wbr 5033  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  supcsup 8892  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  +crp 12381  abscabs 14588  chba 28705   · csm 28707  normcno 28709  0c0v 28710   cmv 28711  normfncnmf 28737  ContFnccnfn 28739  LinFnclf 28740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-hilex 28785  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his3 28870  ax-his4 28871
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-hnorm 28754  df-hvsub 28757  df-nmfn 29631  df-cnfn 29633  df-lnfn 29634
This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  29838  nmcfnex  29839
  Copyright terms: Public domain W3C validator