HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmcfnexi 31881
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContFn
2 ax-hv0cl 30833 . . . 4 0β„Ž ∈ β„‹
3 1rp 13018 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 31760 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1457 . . 3 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1)
6 hvsub0 30906 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž) = 𝑧)
76fveq2d 6906 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) = (normβ„Žβ€˜π‘§))
87breq1d 5162 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 31872 . . . . . . . . . 10 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
1110oveq2i 7437 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0)
129lnfnfi 31871 . . . . . . . . . . 11 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1312ffvelcdmi 7098 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
1413subid1d 11598 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0) = (π‘‡β€˜π‘§))
1511, 14eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜π‘§))
1615fveq2d 6906 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)))
1716breq1d 5162 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1 ↔ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
188, 17imbi12d 343 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)))
1918ralbiia 3088 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
2019rexbii 3091 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
215, 20mpbi 229 . 2 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)
22 nmfnval 31706 . . 3 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < )
2412ffvelcdmi 7098 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2524abscld 15423 . 2 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6905 . . 3 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = (absβ€˜0)
27 abs0 15272 . . 3 (absβ€˜0) = 0
2826, 27eqtri 2756 . 2 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
29 rpcn 13024 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
309lnfnmuli 31874 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3129, 30sylan 578 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3231fveq2d 6906 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))) = (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))))
33 absmul 15281 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
3429, 24, 33syl2an 594 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
35 rpre 13022 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 13027 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 15409 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 479 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 7441 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
4032, 34, 393eqtrrd 2773 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 31856 1 (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   Β· cmul 11151  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  β„+crp 13014  abscabs 15221   β„‹chba 30749   Β·β„Ž csm 30751  normβ„Žcno 30753  0β„Žc0v 30754   βˆ’β„Ž cmv 30755  normfncnmf 30781  ContFnccnfn 30783  LinFnclf 30784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hilex 30829  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his3 30914  ax-his4 30915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-hnorm 30798  df-hvsub 30801  df-nmfn 31675  df-cnfn 31677  df-lnfn 31678
This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  31882  nmcfnex  31883
  Copyright terms: Public domain W3C validator