HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcfnexi 31042
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContFn
2 ax-hv0cl 29994 . . . 4 0β„Ž ∈ β„‹
3 1rp 12927 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 30921 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 . . 3 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1)
6 hvsub0 30067 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž) = 𝑧)
76fveq2d 6850 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) = (normβ„Žβ€˜π‘§))
87breq1d 5119 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 31033 . . . . . . . . . 10 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
1110oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0)
129lnfnfi 31032 . . . . . . . . . . 11 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1312ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
1413subid1d 11509 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0) = (π‘‡β€˜π‘§))
1511, 14eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜π‘§))
1615fveq2d 6850 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)))
1716breq1d 5119 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1 ↔ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
188, 17imbi12d 345 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)))
1918ralbiia 3091 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
2019rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
215, 20mpbi 229 . 2 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)
22 nmfnval 30867 . . 3 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < )
2412ffvelcdmi 7038 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2524abscld 15330 . 2 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6849 . . 3 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = (absβ€˜0)
27 abs0 15179 . . 3 (absβ€˜0) = 0
2826, 27eqtri 2761 . 2 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
29 rpcn 12933 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
309lnfnmuli 31035 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3129, 30sylan 581 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3231fveq2d 6850 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))) = (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))))
33 absmul 15188 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
3429, 24, 33syl2an 597 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
35 rpre 12931 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 12936 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 15316 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 482 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 7376 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
4032, 34, 393eqtrrd 2778 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 31017 1 (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  abscabs 15128   β„‹chba 29910   Β·β„Ž csm 29912  normβ„Žcno 29914  0β„Žc0v 29915   βˆ’β„Ž cmv 29916  normfncnmf 29942  ContFnccnfn 29944  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-hnorm 29959  df-hvsub 29962  df-nmfn 30836  df-cnfn 30838  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  31043  nmcfnex  31044
  Copyright terms: Public domain W3C validator