HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmcfnexi 31808
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContFn
2 ax-hv0cl 30760 . . . 4 0β„Ž ∈ β„‹
3 1rp 12981 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 31687 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1457 . . 3 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1)
6 hvsub0 30833 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž) = 𝑧)
76fveq2d 6888 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) = (normβ„Žβ€˜π‘§))
87breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 31799 . . . . . . . . . 10 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
1110oveq2i 7415 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0)
129lnfnfi 31798 . . . . . . . . . . 11 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1312ffvelcdmi 7078 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
1413subid1d 11561 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0) = (π‘‡β€˜π‘§))
1511, 14eqtrid 2778 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜π‘§))
1615fveq2d 6888 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)))
1716breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1 ↔ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
188, 17imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)))
1918ralbiia 3085 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
2019rexbii 3088 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
215, 20mpbi 229 . 2 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)
22 nmfnval 31633 . . 3 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < )
2412ffvelcdmi 7078 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2524abscld 15386 . 2 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6887 . . 3 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = (absβ€˜0)
27 abs0 15235 . . 3 (absβ€˜0) = 0
2826, 27eqtri 2754 . 2 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
29 rpcn 12987 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
309lnfnmuli 31801 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3129, 30sylan 579 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3231fveq2d 6888 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))) = (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))))
33 absmul 15244 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
3429, 24, 33syl2an 595 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
35 rpre 12985 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 12990 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 15372 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 480 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 7419 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
4032, 34, 393eqtrrd 2771 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 31783 1 (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  β„+crp 12977  abscabs 15184   β„‹chba 30676   Β·β„Ž csm 30678  normβ„Žcno 30680  0β„Žc0v 30681   βˆ’β„Ž cmv 30682  normfncnmf 30708  ContFnccnfn 30710  LinFnclf 30711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hilex 30756  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his3 30841  ax-his4 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-hnorm 30725  df-hvsub 30728  df-nmfn 31602  df-cnfn 31604  df-lnfn 31605
This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  31809  nmcfnex  31810
  Copyright terms: Public domain W3C validator