Theorem nmcfnexi 31995

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcfnex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nmcfnexi	⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
2		ax-hv0cl 30947	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 12897	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnfnc 31874	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 31020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcfnex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
10	9	lnfn0i 31986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
11	10	oveq2i 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) − 0)
12	9	lnfnfi 31985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
13	12	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − 0) = (𝑇‘𝑧))
15	11, 14	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
16	15	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) = (abs‘(𝑇‘𝑧)))
17	16	breq1d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
18	8, 17	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
19	18	ralbiia 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
20	19	rexbii 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	5, 20	mpbi 230	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
22		nmfnval 31820	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
23	12, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
24	12	ffvelcdmi 7017	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15346	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	10	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘0)
27		abs0 15192	. . 3 ⊢ (abs‘0) = 0
28	26, 27	eqtri 2752	. 2 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
29		rpcn 12904	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
30	9	lnfnmuli 31988	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
31	29, 30	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))))
33		absmul 15201	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
34	29, 24, 33	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
35		rpre 12902	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36		rpge0 12907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
37	35, 36	absidd 15330	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
39	38	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
40	32, 34, 39	3eqtrrd 2769	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
41	21, 23, 25, 28, 40	nmcexi 31970	1 ⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  supcsup 9330  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893  abscabs 15141   ℋchba 30863   ·_ℎ csm 30865  norm_ℎcno 30867  0_ℎc0v 30868   −_ℎ cmv 30869  norm_fncnmf 30895  ContFnccnfn 30897  LinFnclf 30898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-hilex 30943  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his3 31028  ax-his4 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-hnorm 30912  df-hvsub 30915  df-nmfn 31789  df-cnfn 31791  df-lnfn 31792

This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  31996  nmcfnex  31997