Theorem nmcfnexi 30086

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcfnex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nmcfnexi	⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
2		ax-hv0cl 29038	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 12555	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnfnc 29965	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 29111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 5049	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcfnex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
10	9	lnfn0i 30077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
11	10	oveq2i 7202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) − 0)
12	9	lnfnfi 30076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
13	12	ffvelrni 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − 0) = (𝑇‘𝑧))
15	11, 14	syl5eq 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
16	15	fveq2d 6699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) = (abs‘(𝑇‘𝑧)))
17	16	breq1d 5049	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
18	8, 17	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
19	18	ralbiia 3077	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
20	19	rexbii 3160	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	5, 20	mpbi 233	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
22		nmfnval 29911	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
23	12, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
24	12	ffvelrni 6881	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	abscld 14965	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	10	fveq2i 6698	. . 3 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘0)
27		abs0 14814	. . 3 ⊢ (abs‘0) = 0
28	26, 27	eqtri 2759	. 2 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
29		rpcn 12561	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
30	9	lnfnmuli 30079	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
31	29, 30	sylan 583	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6699	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))))
33		absmul 14823	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
34	29, 24, 33	syl2an 599	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
35		rpre 12559	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36		rpge0 12564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
37	35, 36	absidd 14951	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
38	37	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
39	38	oveq1d 7206	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
40	32, 34, 39	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
41	21, 23, 25, 28, 40	nmcexi 30061	1 ⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cab 2714  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   class class class wbr 5039  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  supcsup 9034  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   · cmul 10699  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833   − cmin 11027   / cdiv 11454  2c2 11850  ℝ⁺crp 12551  abscabs 14762   ℋchba 28954   ·_ℎ csm 28956  norm_ℎcno 28958  0_ℎc0v 28959   −_ℎ cmv 28960  norm_fncnmf 28986  ContFnccnfn 28988  LinFnclf 28989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-hilex 29034  ax-hv0cl 29038  ax-hvaddid 29039  ax-hfvmul 29040  ax-hvmulid 29041  ax-hvmulass 29042  ax-hvmul0 29045  ax-hfi 29114  ax-his1 29117  ax-his3 29119  ax-his4 29120

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-hnorm 29003  df-hvsub 29006  df-nmfn 29880  df-cnfn 29882  df-lnfn 29883

This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  30087  nmcfnex  30088