HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmcfnexi 31299
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContFn
2 ax-hv0cl 30251 . . . 4 0β„Ž ∈ β„‹
3 1rp 12977 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 31178 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1461 . . 3 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1)
6 hvsub0 30324 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž) = 𝑧)
76fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) = (normβ„Žβ€˜π‘§))
87breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 31290 . . . . . . . . . 10 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
1110oveq2i 7419 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0)
129lnfnfi 31289 . . . . . . . . . . 11 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1312ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
1413subid1d 11559 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ 0) = (π‘‡β€˜π‘§))
1511, 14eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜π‘§))
1615fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)))
1716breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1 ↔ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
188, 17imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)))
1918ralbiia 3091 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
2019rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑧 βˆ’β„Ž 0β„Ž)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))) < 1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1))
215, 20mpbi 229 . 2 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘§) < 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) < 1)
22 nmfnval 31124 . . 3 (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfnβ€˜π‘‡) = sup({π‘š ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 ∧ π‘š = (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))}, ℝ*, < )
2412ffvelcdmi 7085 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2524abscld 15382 . 2 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6894 . . 3 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = (absβ€˜0)
27 abs0 15231 . . 3 (absβ€˜0) = 0
2826, 27eqtri 2760 . 2 (absβ€˜(π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
29 rpcn 12983 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
309lnfnmuli 31292 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3129, 30sylan 580 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯)))
3231fveq2d 6895 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))) = (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))))
33 absmul 15240 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
3429, 24, 33syl2an 596 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((𝑦 / 2) Β· (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
35 rpre 12981 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 12986 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 15368 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 481 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 7423 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((absβ€˜(𝑦 / 2)) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))))
4032, 34, 393eqtrrd 2777 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 / 2) Β· (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(π‘‡β€˜((𝑦 / 2) Β·β„Ž π‘₯))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 31274 1 (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  abscabs 15180   β„‹chba 30167   Β·β„Ž csm 30169  normβ„Žcno 30171  0β„Žc0v 30172   βˆ’β„Ž cmv 30173  normfncnmf 30199  ContFnccnfn 30201  LinFnclf 30202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hilex 30247  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his3 30332  ax-his4 30333
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-hnorm 30216  df-hvsub 30219  df-nmfn 31093  df-cnfn 31095  df-lnfn 31096
This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  31300  nmcfnex  31301
  Copyright terms: Public domain W3C validator