HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcfnexi 32080
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfn𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContFn
2 ax-hv0cl 31032 . . . 4 0 ∈ ℋ
3 1rp 13036 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 31959 . . . 4 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1460 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1)
6 hvsub0 31105 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 0) = 𝑧)
76fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑧 0)) = (norm𝑧))
87breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 ↔ (norm𝑧) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 32071 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘0) = 0
1110oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = ((𝑇𝑧) − 0)
129lnfnfi 32070 . . . . . . . . . . 11 𝑇: ℋ⟶ℂ
1312ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
1413subid1d 11607 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1511, 14eqtrid 2787 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = (𝑇𝑧))
1615fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) = (abs‘(𝑇𝑧)))
1716breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
188, 17imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)))
1918ralbiia 3089 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
2019rexbii 3092 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
215, 20mpbi 230 . 2 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)
22 nmfnval 31905 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < )
2412ffvelcdmi 7103 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
2524abscld 15472 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6910 . . 3 (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘0)
27 abs0 15321 . . 3 (abs‘0) = 0
2826, 27eqtri 2763 . 2 (abs‘(𝑇‘0)) = 0
29 rpcn 13043 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
309lnfnmuli 32073 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3129, 30sylan 580 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3231fveq2d 6911 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))))
33 absmul 15330 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
3429, 24, 33syl2an 596 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
35 rpre 13041 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 13046 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 15458 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 480 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 7446 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))))
4032, 34, 393eqtrrd 2780 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 32055 1 (normfn𝑇) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  abscabs 15270  chba 30948   · csm 30950  normcno 30952  0c0v 30953   cmv 30954  normfncnmf 30980  ContFnccnfn 30982  LinFnclf 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000  df-nmfn 31874  df-cnfn 31876  df-lnfn 31877
This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  32081  nmcfnex  32082
  Copyright terms: Public domain W3C validator