Theorem nmcfnexi 32122

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcfnex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nmcfnexi	⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
2		ax-hv0cl 31074	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 12946	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnfnc 32001	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 31147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcfnex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
10	9	lnfn0i 32113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
11	10	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) − 0)
12	9	lnfnfi 32112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
13	12	ffvelcdmi 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − 0) = (𝑇‘𝑧))
15	11, 14	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
16	15	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) = (abs‘(𝑇‘𝑧)))
17	16	breq1d 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
18	8, 17	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
19	18	ralbiia 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
20	19	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	5, 20	mpbi 230	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
22		nmfnval 31947	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
23	12, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
24	12	ffvelcdmi 7035	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15401	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	10	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘0)
27		abs0 15247	. . 3 ⊢ (abs‘0) = 0
28	26, 27	eqtri 2759	. 2 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
29		rpcn 12953	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
30	9	lnfnmuli 32115	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
31	29, 30	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))))
33		absmul 15256	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
34	29, 24, 33	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
35		rpre 12951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36		rpge0 12956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
37	35, 36	absidd 15385	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
39	38	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
40	32, 34, 39	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
41	21, 23, 25, 28, 40	nmcexi 32097	1 ⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  supcsup 9353  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   ℋchba 30990   ·_ℎ csm 30992  norm_ℎcno 30994  0_ℎc0v 30995   −_ℎ cmv 30996  norm_fncnmf 31022  ContFnccnfn 31024  LinFnclf 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-hilex 31070  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his3 31155  ax-his4 31156

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-hnorm 31039  df-hvsub 31042  df-nmfn 31916  df-cnfn 31918  df-lnfn 31919

This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  32123  nmcfnex  32124