stirlinglem7 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem7 46523

Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem7.1	⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
stirlinglem7.2	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem7.3	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem7	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐻 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐻(𝑘) 𝐽(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem7 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12818	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12549	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		1e0p1 12677	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (0 + 1))
5	4	seqeq1d 13960	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) = seq(0 + 1)( + , 𝐻))
6		nn0uz 12817	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
7		0nn0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ₀)
9		stirlinglem7.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
11	10	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
12	11	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
13	11	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))
14	12, 13	oveq12d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))))
15	14	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
16		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
17		2cnd 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℂ)
18		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℂ)
19		nn0cn 12438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 𝑗 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
21		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
24		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ∈ ℝ)
25		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
27		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 𝑗 ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
29		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℝ)
30		0le2 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 2)
32		nn0ge0 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑗)
33	26, 27, 31, 32	mulge0d 11718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ (2 · 𝑗))
34		0lt1 11663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 < 1)
36	28, 29, 33, 35	addgegt0d 11714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
37	24, 36	ltned 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
39	38	necomd 2989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
40	23, 39	reccld 11915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
41		nncn 12173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	17, 42	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
44		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcld 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
46	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
47		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	46, 47	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
49		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
50	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
51		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52		nngt0 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
53	51, 47, 52	ltled 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
54	46, 47, 50, 53	mulge0d 11718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
55	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
56	48, 49, 54, 55	addgegt0d 11714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
57	56	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
59	45, 58	reccld 11915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
60		2nn0 12445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℕ₀)
62	61, 16	nn0mulcld 12494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
63		1nn0 12444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℕ₀)
65	62, 64	nn0addcld 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ₀)
66	59, 65	expcld 14099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
67	40, 66	mulcld 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
68	17, 67	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))) ∈ ℂ)
69	9, 15, 16, 68	fvmptd3 6959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝐻‘𝑗) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
70	69, 68	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℂ)
71	9	stirlinglem6 46522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
72	6, 8, 70, 71	clim2ser 15608	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(0 + 1)( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
73	5, 72	eqbrtrd 5094	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
74		0z 12526	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
75		seq1 13967	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
76	74, 75	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
77	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))))))
78		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
79	78	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · 𝑘) = (2 · 0))
80	79	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 0) + 1))
81	80	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 0) + 1)))
82	80	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))
83	81, 82	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))))
84	83	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
85		2cnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
86		0cnd 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
87	85, 86	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) ∈ ℂ)
88		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
89	87, 88	addcld 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℂ)
90	85	mul01d 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) = 0)
91	90	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (2 · 0))
92	91	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + 1) = ((2 · 0) + 1))
93	4, 92	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((2 · 0) + 1))
94	55, 93	breqtrd 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 0) + 1))
95	94	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ≠ 0)
96	89, 95	reccld 11915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
97	85, 41	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
98	97, 88	addcld 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
99	98, 57	reccld 11915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
100	93, 63	eqeltrrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℕ₀)
101	99, 100	expcld 14099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
102	96, 101	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) ∈ ℂ)
103	85, 102	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) ∈ ℂ)
104	77, 84, 8, 103	fvmptd 6943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻‘0) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
105	90	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = (0 + 1))
106	105, 3	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = 1)
107	106	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = (1 / 1))
108	88	div1d 11914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
109	107, 108	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = 1)
110	106	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1))
111	99	exp1d 14094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
112	110, 111	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
113	109, 112	oveq12d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
114	99	mullidd 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
115	113, 114	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
116	115	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
117	85, 88, 98, 57	divassd 11957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
118	85	mulridd 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
119	118	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
120	116, 117, 119	3eqtr2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
121	76, 104, 120	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
122	121	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
123	73, 122	breqtrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
124	88, 97	addcld 11155	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
125	124	halfcld 12413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
126		seqex 13956	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐾) ∈ V
127	126	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ∈ V)
128		elnnuz 12819	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
129	128	bilani 505	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
130		oveq2 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
131	130	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
132	131	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
133	131	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))
134	132, 133	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
135	134	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
136		elfzuz 13465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
137		elnnuz 12819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
138	137	biimpri 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
139		nnnn0 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
140	136, 138, 139	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
141	140	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
142		2cnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
143	141	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
144	142, 143	mulcld 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
145		1cnd 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
146	144, 145	addcld 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
147		elfznn 13498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
148		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
149		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
150	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
151		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
152	150, 151	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
153	152, 149	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
154	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
155		2rp 12938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
157		nnrp 12945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
158	156, 157	rpmulcld 12993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
159	149, 158	ltaddrp2d 13011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
160	148, 149, 153, 154, 159	lttrd 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
161	160	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
162	147, 161	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
163	162	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
164	146, 163	reccld 11915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
165	99	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
166	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
167	166, 141	nn0mulcld 12494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
168	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℕ₀)
169	167, 168	nn0addcld 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
170	165, 169	expcld 14099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
171	164, 170	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
172	142, 171	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
173	9, 135, 141, 172	fvmptd3 6959	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻‘𝑛) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
174	173, 172	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
175		addcl 11111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
176	175	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
177	129, 174, 176	seqcl 13975	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐻)‘𝑗) ∈ ℂ)
178		1cnd 11130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 1 ∈ ℂ)
179		2cnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
180	41	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
181	179, 180	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
182	178, 181	addcld 11155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
183	182	halfcld 12413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
184		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
185		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
186	183, 184, 185	adddid 11160	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝑛 + 𝑖)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑛) + (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑖)))
187		stirlinglem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
188	130	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
189	132, 188	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
190	147	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
191	165, 167	expcld 14099	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
192	164, 191	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
193	187, 189, 190, 192	fvmptd3 6959	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
194	124	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
195		2ne0 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
196	195	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ≠ 0)
197	194, 142, 172, 196	div32d 11945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)))
198	171, 142, 196	divcan3d 11927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
199	198	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
200	194, 164, 170	mul12d 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
201	98	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
202	57	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
203	169	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ)
204	201, 202, 203	exprecd 14107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))))
205	204	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
206	201, 169	expcld 14099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
207	201, 202, 203	expne0d 14105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
208	194, 206, 207	divrecd 11925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
209	41	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
210	142, 209	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
211	145, 210	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
212	201, 167	expcld 14099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
213	212, 201	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
214	211, 213	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
215	201, 167	expp1d 14100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
216	215	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))))
217		2z 12550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
218	217	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
219	141	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
220	218, 219	zmulcld 12630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
221	201, 202, 220	expne0d 14105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
222	201, 201, 212, 202, 221	divdiv1d 11953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
223	214, 216, 222	3eqtr4d 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
224	205, 208, 223	3eqtr2d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
225	224	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
226	201, 202	dividd 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
227		1exp 14044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
228	220, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
229	226, 228	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (1↑(2 · 𝑛)))
230	229	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
231	145, 201, 202, 167	expdivd 14113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
232	230, 231	eqtr4d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
233	232	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
234	200, 225, 233	3eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
235	197, 199, 234	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
236	173	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝐻‘𝑛))
237	236	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻‘𝑛)))
238	193, 235, 237	3eqtr2d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻‘𝑛)))
239	176, 186, 129, 174, 238	seqdistr 14006	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (seq1( + , 𝐻)‘𝑗)))
240	1, 2, 123, 125, 127, 177, 239	climmulc2 15590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
241	88, 97	addcomd 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
242	241	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
243	242	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
244	242, 125	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ∈ ℂ)
245	41, 88	addcld 11155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
246		nnne0 12202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
247	245, 41, 246	divcld 11922	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
248	47, 49	readdcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
249	47	ltp1d 12077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
250	51, 47, 248, 52, 249	lttrd 11298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
251	250	gt0ne0d 11705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
252	245, 41, 251, 246	divne0d 11938	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
253	247, 252	logcld 26552	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
254	85, 98, 57	divcld 11922	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
255	244, 253, 254	subdid 11597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
256	97, 88	addcomd 11339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) = (1 + (2 · 𝑁)))
257	256	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
258	257	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
259	195	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
260	98, 85, 57, 259	divcan6d 11941	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1))) = 1)
261	258, 260	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
262	243, 255, 261	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
263	240, 262	breqtrd 5098	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
264		stirlinglem7.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
265		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
266	265	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
267	266	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
268		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
269		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 𝑛 = 𝑁)
270	268, 269	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
271	270	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
272	267, 271	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
273	272	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
274		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
275	125, 253	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
276	275, 88	subcld 11496	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
277	264, 273, 274, 276	fvmptd3 6959	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽‘𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
278	263, 277	breqtrrd 5100	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2934 Vcvv 3431 class class class wbr 5072 ↦ cmpt 5153 ‘cfv 6485 (class class class)co 7356 ℂcc 11027 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 / cdiv 11798 ℕcn 12165 2c2 12227 ℕ₀cn0 12428 ℤcz 12515 ℤ_≥cuz 12779 ℝ⁺crp 12933 ...cfz 13452 seqcseq 13954 ↑cexp 14014 ⇝ cli 15437 logclog 26536

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-rep 5199 ax-sep 5218 ax-nul 5228 ax-pow 5294 ax-pr 5362 ax-un 7678 ax-inf2 9553 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107 ax-addf 11108

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4262 df-if 4455 df-pw 4531 df-sn 4556 df-pr 4558 df-tp 4560 df-op 4562 df-uni 4839 df-int 4878 df-iun 4923 df-iin 4924 df-br 5073 df-opab 5135 df-mpt 5154 df-tr 5180 df-id 5513 df-eprel 5518 df-po 5526 df-so 5527 df-fr 5571 df-se 5572 df-we 5573 df-xp 5624 df-rel 5625 df-cnv 5626 df-co 5627 df-dm 5628 df-rn 5629 df-res 5630 df-ima 5631 df-pred 6252 df-ord 6313 df-on 6314 df-lim 6315 df-suc 6316 df-iota 6441 df-fun 6487 df-fn 6488 df-f 6489 df-f1 6490 df-fo 6491 df-f1o 6492 df-fv 6493 df-isom 6494 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-of 7620 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-supp 8101 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-oadd 8399 df-er 8633 df-map 8765 df-pm 8766 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9265 df-fi 9314 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-xnn0 12502 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-xneg 13054 df-xadd 13055 df-xmul 13056 df-ioo 13293 df-ioc 13294 df-ico 13295 df-icc 13296 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-mod 13820 df-seq 13955 df-exp 14015 df-fac 14227 df-bc 14256 df-hash 14284 df-shft 15020 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-limsup 15424 df-clim 15441 df-rlim 15442 df-sum 15640 df-ef 16023 df-sin 16025 df-cos 16026 df-tan 16027 df-pi 16028 df-dvds 16213 df-struct 17108 df-sets 17125 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-ress 17192 df-plusg 17224 df-mulr 17225 df-starv 17226 df-sca 17227 df-vsca 17228 df-ip 17229 df-tset 17230 df-ple 17231 df-ds 17233 df-unif 17234 df-hom 17235 df-cco 17236 df-rest 17376 df-topn 17377 df-0g 17395 df-gsum 17396 df-topgen 17397 df-pt 17398 df-prds 17401 df-xrs 17457 df-qtop 17462 df-imas 17463 df-xps 17465 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-submnd 18743 df-mulg 19035 df-cntz 19283 df-cmn 19748 df-psmet 21339 df-xmet 21340 df-met 21341 df-bl 21342 df-mopn 21343 df-fbas 21344 df-fg 21345 df-cnfld 21348 df-top 22877 df-topon 22894 df-topsp 22916 df-bases 22929 df-cld 23002 df-ntr 23003 df-cls 23004 df-nei 23081 df-lp 23119 df-perf 23120 df-cn 23210 df-cnp 23211 df-haus 23298 df-cmp 23370 df-tx 23545 df-hmeo 23738 df-fil 23829 df-fm 23921 df-flim 23922 df-flf 23923 df-xms 24303 df-ms 24304 df-tms 24305 df-cncf 24863 df-limc 25851 df-dv 25852 df-ulm 26360 df-log 26538

This theorem is referenced by: stirlinglem9 46525

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