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Theorem stirlinglem7 40934
 Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem7.1 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
stirlinglem7.2 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem7.3 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem7 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘)   𝐽(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem7
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11923 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11655 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 1e0p1 11783 . . . . . . . 8 1 = (0 + 1)
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (0 + 1))
54seqeq1d 13014 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) = seq(0 + 1)( + , 𝐻))
6 nn0uz 11922 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
7 0nn0 11555 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
9 stirlinglem7.3 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))))))
11 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
1211oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
1312oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
1412oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))
1513, 14oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))))
1615oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
1716adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
18 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
19 2cnd 11350 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
20 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
21 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
2220, 21mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
23 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2422, 23addcld 10313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
2524adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
26 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
27 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
29 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℝ)
3028, 29remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
31 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
32 0le2 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
34 nn0ge0 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑗)
3528, 29, 33, 34mulge0d 10858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑗))
36 0lt1 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 1
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0 → 0 < 1)
3830, 31, 35, 37addgegt0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0 → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
3926, 38ltned 10427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0 → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
4140necomd 2992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
4225, 41reccld 11048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
43 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4519, 44mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
46 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
4745, 46addcld 10313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
4827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
49 nnre 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
51 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
5232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
53 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
54 nngt0 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
5553, 49, 54ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
5648, 49, 52, 55mulge0d 10858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
5736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
5850, 51, 56, 57addgegt0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
5958gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
6059adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
6147, 60reccld 11048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
62 2nn0 11557 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
6463, 18nn0mulcld 11603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
65 1nn0 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
6764, 66nn0addcld 11602 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
6861, 67expcld 13215 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
6942, 68mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
7019, 69mulcld 10314 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))) ∈ ℂ)
7110, 17, 18, 70fvmptd 6477 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
7271, 70eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) ∈ ℂ)
739stirlinglem6 40933 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
746, 8, 72, 73clim2ser 14670 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → seq(0 + 1)( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
755, 74eqbrtrd 4831 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
76 0z 11635 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
77 seq1 13021 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
7876, 77mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
799a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))))))
80 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
8180oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · 𝑘) = (2 · 0))
8281oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 0) + 1))
8382oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 0) + 1)))
8482oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))
8583, 84oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))))
8685oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
87 2cnd 11350 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
88 0cnd 10286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
8987, 88mulcld 10314 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) ∈ ℂ)
90 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9189, 90addcld 10313 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℂ)
9287mul01d 10489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) = 0)
9392eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (2 · 0))
9493oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + 1) = ((2 · 0) + 1))
954, 94eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((2 · 0) + 1))
9657, 95breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 0) + 1))
9796gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ≠ 0)
9891, 97reccld 11048 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
9987, 43mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
10099, 90addcld 10313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
101100, 59reccld 11048 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
10295, 65syl6eqelr 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℕ0)
103101, 102expcld 13215 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
10498, 103mulcld 10314 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) ∈ ℂ)
10587, 104mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) ∈ ℂ)
10679, 86, 8, 105fvmptd 6477 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻‘0) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
10792oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = (0 + 1))
108107, 3syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = 1)
109108oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = (1 / 1))
11090div1d 11047 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
111109, 110eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = 1)
112108oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1))
113101exp1d 13210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
114112, 113eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
115111, 114oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
116101mulid2d 10312 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
117115, 116eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
118117oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
11987, 90, 100, 59divassd 11090 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
12087mulid1d 10311 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
121120oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
122118, 119, 1213eqtr2d 2805 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
12378, 106, 1223eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
124123oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
12575, 124breqtrd 4835 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
12690, 99addcld 10313 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
127126halfcld 11523 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
128 seqex 13010 . . . . 5 seq1( + , 𝐾) ∈ V
129128a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ∈ V)
130 elnnuz 11924 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
131130biimpi 207 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
132131adantl 473 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
1339a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))))))
134 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
135134oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
136135oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
137135oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))
138136, 137oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
139138oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
140139adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
141 elfzuz 12545 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
142 elnnuz 11924 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
143142biimpri 219 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
144 nnnn0 11546 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
145141, 143, 1443syl 18 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ0)
146145adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
147 2cnd 11350 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
148146nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
149147, 148mulcld 10314 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
150 1cnd 10288 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
151149, 150addcld 10313 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
152 elfznn 12577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
153 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
15527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156 nnre 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
157155, 156remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
158157, 154readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
15936a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
160 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
162 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
163161, 162rpmulcld 12086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
164154, 163ltaddrp2d 12104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
165153, 154, 158, 159, 164lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
166165gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
167152, 166syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
168167adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
169151, 168reccld 11048 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
170101ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
17162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ0)
172171, 146nn0mulcld 11603 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
17365a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℕ0)
174172, 173nn0addcld 11602 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
175170, 174expcld 13215 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
176169, 175mulcld 10314 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
177147, 176mulcld 10314 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
178133, 140, 146, 177fvmptd 6477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻𝑛) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
179178, 177eqeltrd 2844 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻𝑛) ∈ ℂ)
180 addcl 10271 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
181180adantl 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
182132, 179, 181seqcl 13028 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐻)‘𝑗) ∈ ℂ)
183 1cnd 10288 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 1 ∈ ℂ)
184 2cnd 11350 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
18543ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
186184, 185mulcld 10314 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
187183, 186addcld 10313 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
188187halfcld 11523 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
189 simprl 787 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
190 simprr 789 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
191188, 189, 190adddid 10318 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝑛 + 𝑖)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑛) + (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑖)))
192 stirlinglem7.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
193192a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
194134oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
195136, 194oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
196195adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
197152adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
198170, 172expcld 13215 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
199169, 198mulcld 10314 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
200193, 196, 197, 199fvmptd 6477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
201126ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
202 2ne0 11383 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
203202a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ≠ 0)
204201, 147, 177, 203div32d 11078 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)))
205176, 147, 203divcan3d 11060 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
206205oveq2d 6858 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
207201, 169, 175mul12d 10499 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
208100ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
20959ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
210174nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ)
211208, 209, 210exprecd 13223 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))))
212211oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
213208, 174expcld 13215 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
214208, 209, 210expne0d 13221 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
215201, 213, 214divrecd 11058 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
21643ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
217147, 216mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
218150, 217addcomd 10492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
219208, 172expcld 13215 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
220219, 208mulcomd 10315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
221218, 220oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
222208, 172expp1d 13216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
223222oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))))
224 2z 11656 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
226146nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
227225, 226zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
228208, 209, 227expne0d 13221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
229208, 208, 219, 209, 228divdiv1d 11086 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
230221, 223, 2293eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
231212, 215, 2303eqtr2d 2805 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
232231oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
233208, 209dividd 11053 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
234 1exp 13096 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
235227, 234syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
236233, 235eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (1↑(2 · 𝑛)))
237236oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
238150, 208, 209, 172expdivd 13229 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
239237, 238eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
240239oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
241207, 232, 2403eqtrd 2803 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
242204, 206, 2413eqtrd 2803 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
243178eqcomd 2771 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝐻𝑛))
244243oveq2d 6858 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻𝑛)))
245200, 242, 2443eqtr2d 2805 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻𝑛)))
246181, 191, 132, 179, 245seqdistr 13059 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (seq1( + , 𝐻)‘𝑗)))
2471, 2, 125, 127, 129, 182, 246climmulc2 14652 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
24890, 99addcomd 10492 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
249248oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
250249oveq1d 6857 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
251249, 127eqeltrrd 2845 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ∈ ℂ)
25243, 90addcld 10313 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
253 nnne0 11310 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
254252, 43, 253divcld 11055 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
25549, 51readdcld 10323 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25649ltp1d 11208 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
25753, 49, 255, 54, 256lttrd 10452 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
258257gt0ne0d 10846 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
259252, 43, 258, 253divne0d 11071 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
260254, 259logcld 24608 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
26187, 100, 59divcld 11055 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
262251, 260, 261subdid 10740 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
26399, 90addcomd 10492 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) = (1 + (2 · 𝑁)))
264263oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
265264oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
266202a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
267100, 87, 59, 266divcan6d 11074 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1))) = 1)
268265, 267oveq12d 6860 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
269250, 262, 2683eqtrd 2803 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
270247, 269breqtrd 4835 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
271 stirlinglem7.1 . . . 4 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
272271a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)))
273 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
274273oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
275274oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
276 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
277 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁𝑛 = 𝑁)
278276, 277oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
279278fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
280275, 279oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
281280oveq1d 6857 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
282281adantl 473 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
283 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
284127, 260mulcld 10314 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
285284, 90subcld 10646 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
286272, 282, 283, 285fvmptd 6477 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
287270, 286breqtrrd 4837 1 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  Vcvv 3350   class class class wbr 4809   ↦ cmpt 4888  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℂcc 10187  ℝcr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328   ≤ cle 10329   − cmin 10520   / cdiv 10938  ℕcn 11274  2c2 11327  ℕ0cn0 11538  ℤcz 11624  ℤ≥cuz 11886  ℝ+crp 12028  ...cfz 12533  seqcseq 13008  ↑cexp 13067   ⇝ cli 14500  logclog 24592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-tan 15084  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-ulm 24422  df-log 24594 This theorem is referenced by:  stirlinglem9  40936
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