Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem7 44407
Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem7.1 ๐ฝ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1))
stirlinglem7.2 ๐พ = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))))
stirlinglem7.3 ๐ป = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐พ) โ‡ (๐ฝโ€˜๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›   ๐‘›,๐ป   ๐‘›,๐พ   ๐‘˜,๐‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘˜)   ๐ฝ(๐‘˜,๐‘›)   ๐พ(๐‘˜)

Proof of Theorem stirlinglem7
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12811 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12539 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 1e0p1 12665 . . . . . . . 8 1 = (0 + 1)
43a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 = (0 + 1))
54seqeq1d 13918 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐ป) = seq(0 + 1)( + , ๐ป))
6 nn0uz 12810 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
7 0nn0 12433 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
9 stirlinglem7.3 . . . . . . . . 9 ๐ป = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))
10 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘—))
1110oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘—) + 1))
1211oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
1311oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))
1412, 13oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1))))
1514oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) = (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
17 2cnd 12236 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
18 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
19 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
2018, 19mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
21 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2220, 21addcld 11179 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„‚)
2322adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„‚)
24 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ โ„)
25 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„)
27 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
2826, 27remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„)
29 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„)
30 0le2 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค 2)
32 nn0ge0 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘—)
3326, 27, 31, 32mulge0d 11737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘—))
34 0lt1 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < 1)
3628, 29, 33, 35addgegt0d 11733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘—) + 1))
3724, 36ltned 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰  ((2 ยท ๐‘—) + 1))
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰  ((2 ยท ๐‘—) + 1))
3938necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ‰  0)
4023, 39reccld 11929 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆˆ โ„‚)
41 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4317, 42mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
44 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4543, 44addcld 11179 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
4625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
47 nnre 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4846, 47remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
49 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
51 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
52 nngt0 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
5351, 47, 52ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
5446, 47, 50, 53mulge0d 11737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
5534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 1)
5648, 49, 54, 55addgegt0d 11733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
5756gt0ne0d 11724 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
5945, 58reccld 11929 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
60 2nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„•0
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
6261, 16nn0mulcld 12483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
63 1nn0 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„•0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
6562, 64nn0addcld 12482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„•0)
6659, 65expcld 14057 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆˆ โ„‚)
6740, 66mulcld 11180 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1))) โˆˆ โ„‚)
6817, 67mulcld 11180 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))) โˆˆ โ„‚)
699, 15, 16, 68fvmptd3 6972 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
7069, 68eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
719stirlinglem6 44406 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
726, 8, 70, 71clim2ser 15545 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq(0 + 1)( + , ๐ป) โ‡ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (seq0( + , ๐ป)โ€˜0)))
735, 72eqbrtrd 5128 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐ป) โ‡ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (seq0( + , ๐ป)โ€˜0)))
74 0z 12515 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„ค
75 seq1 13925 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (seq0( + , ๐ป)โ€˜0) = (๐ปโ€˜0))
7674, 75mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (seq0( + , ๐ป)โ€˜0) = (๐ปโ€˜0))
779a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ป = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1))))))
78 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐‘˜ = 0)
7978oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท 0))
8079oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท 0) + 1))
8180oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (1 / ((2 ยท 0) + 1)))
8280oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)))
8381, 82oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1))) = ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1))))
8483oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) = (2 ยท ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)))))
85 2cnd 12236 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
86 0cnd 11153 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
8785, 86mulcld 11180 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 0) โˆˆ โ„‚)
88 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8987, 88addcld 11179 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 0) + 1) โˆˆ โ„‚)
9085mul01d 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 0) = 0)
9190eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 = (2 ยท 0))
9291oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + 1) = ((2 ยท 0) + 1))
934, 92eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 = ((2 ยท 0) + 1))
9455, 93breqtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท 0) + 1))
9594gt0ne0d 11724 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 0) + 1) โ‰  0)
9689, 95reccld 11929 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท 0) + 1)) โˆˆ โ„‚)
9785, 41mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9897, 88addcld 11179 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
9998, 57reccld 11929 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
10093, 63eqeltrrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 0) + 1) โˆˆ โ„•0)
10199, 100expcld 14057 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)) โˆˆ โ„‚)
10296, 101mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1))) โˆˆ โ„‚)
10385, 102mulcld 11180 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)))) โˆˆ โ„‚)
10477, 84, 8, 103fvmptd 6956 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜0) = (2 ยท ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)))))
10590oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 0) + 1) = (0 + 1))
106105, 3eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 0) + 1) = 1)
107106oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท 0) + 1)) = (1 / 1))
10888div1d 11928 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) = 1)
109107, 108eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท 0) + 1)) = 1)
110106oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘1))
11199exp1d 14052 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘1) = (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
112110, 111eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
113109, 112oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1))) = (1 ยท (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
11499mulid2d 11178 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
115113, 114eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1))) = (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
116115oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)))) = (2 ยท (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
11785, 88, 98, 57divassd 11971 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (2 ยท (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
11885mulid1d 11177 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) = 2)
119118oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
120116, 117, 1193eqtr2d 2779 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท 0) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท 0) + 1)))) = (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
12176, 104, 1203eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (seq0( + , ๐ป)โ€˜0) = (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
122121oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (seq0( + , ๐ป)โ€˜0)) = ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
12373, 122breqtrd 5132 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐ป) โ‡ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
12488, 97addcld 11179 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
125124halfcld 12403 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) โˆˆ โ„‚)
126 seqex 13914 . . . . 5 seq1( + , ๐พ) โˆˆ V
127126a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐พ) โˆˆ V)
128 elnnuz 12812 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†” ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
129128biimpi 215 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
130129adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
131 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘›))
132131oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
133132oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
134132oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))
135133, 134oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))))
136135oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) = (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
137 elfzuz 13443 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
138 elnnuz 12812 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
139138biimpri 227 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
140 nnnn0 12425 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
141137, 139, 1403syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
142141adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
143 2cnd 12236 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
144142nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
145143, 144mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
146 1cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
147145, 146addcld 11179 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„‚)
148 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
149 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
150 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
15125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
152 nnre 12165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
153151, 152remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
154153, 150readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„)
15534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 1)
156 2rp 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„+
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
158 nnrp 12931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
159157, 158rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+)
160150, 159ltaddrp2d 12996 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘›) + 1))
161149, 150, 154, 155, 160lttrd 11321 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘›) + 1))
162161gt0ne0d 11724 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ‰  0)
163148, 162syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ‰  0)
164163adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ‰  0)
165147, 164reccld 11929 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
16699ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
16760a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
168167, 142nn0mulcld 12483 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
16963a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
170168, 169nn0addcld 12482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•0)
171166, 170expcld 14057 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
172165, 171mulcld 11180 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))) โˆˆ โ„‚)
173143, 172mulcld 11180 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) โˆˆ โ„‚)
1749, 136, 142, 173fvmptd3 6972 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) = (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
175174, 173eqeltrd 2834 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
176 addcl 11138 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› + ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
177176adantl 483 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘› + ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
178130, 175, 177seqcl 13934 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐ป)โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
179 1cnd 11155 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
180 2cnd 12236 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
18141ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
182180, 181mulcld 11180 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
183179, 182addcld 11179 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
184183halfcld 12403 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) โˆˆ โ„‚)
185 simprl 770 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
186 simprr 772 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
187184, 185, 186adddid 11184 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (๐‘› + ๐‘–)) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท ๐‘›) + (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท ๐‘–)))
188 stirlinglem7.2 . . . . . . 7 ๐พ = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))))
189131oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›)))
190133, 189oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
191148adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
192166, 168expcld 14057 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
193165, 192mulcld 11180 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
194188, 190, 191, 193fvmptd3 6972 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
195124ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
196 2ne0 12262 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
197196a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ 2 โ‰  0)
198195, 143, 173, 197div32d 11959 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))))) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) / 2)))
199172, 143, 197divcan3d 11941 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) / 2) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))))
200199oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) / 2)) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
201195, 165, 171mul12d 11369 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
20298ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
20357ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
204170nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค)
205202, 203, 204exprecd 14065 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (1 / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))))
206205oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท (1 / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
207202, 170expcld 14057 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
208202, 203, 204expne0d 14063 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ‰  0)
209195, 207, 208divrecd 11939 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท (1 / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))))
21041ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
211143, 210mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
212146, 211addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘)) = ((2 ยท ๐‘) + 1))
213202, 168expcld 14057 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
214213, 202mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
215212, 214oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) = (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)))))
216202, 168expp1d 14058 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)))
217216oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))))
218 2z 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„ค
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
220142nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
221219, 220zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
222202, 203, 221expne0d 14063 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)) โ‰  0)
223202, 202, 213, 203, 222divdiv1d 11967 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))) = (((2 ยท ๐‘) + 1) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)))))
224215, 217, 2233eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
225206, 209, 2243eqtr2d 2779 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
226225oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)))))
227202, 203dividd 11934 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = 1)
228 1exp 14003 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) = 1)
229221, 228syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) = 1)
230227, 229eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (1โ†‘(2 ยท ๐‘›)))
231230oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))) = ((1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
232146, 202, 203, 168expdivd 14071 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
233231, 232eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›)))
234233oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘(2 ยท ๐‘›)))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
235201, 226, 2343eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
236198, 200, 2353eqtrd 2777 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘›))))
237174eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))) = (๐ปโ€˜๐‘›))
238237oveq2d 7374 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1))))) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (๐ปโ€˜๐‘›)))
239194, 236, 2383eqtr2d 2779 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (๐ปโ€˜๐‘›)))
240177, 187, 130, 175, 239seqdistr 13965 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐พ)โ€˜๐‘—) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (seq1( + , ๐ป)โ€˜๐‘—)))
2411, 2, 123, 125, 127, 178, 240climmulc2 15525 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐พ) โ‡ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))))
24288, 97addcomd 11362 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘)) = ((2 ยท ๐‘) + 1))
243242oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) = (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2))
244243oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))))
245243, 125eqeltrrd 2835 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
24641, 88addcld 11179 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
247 nnne0 12192 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
248246, 41, 247divcld 11936 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
24947, 49readdcld 11189 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
25047ltp1d 12090 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
25151, 47, 249, 52, 250lttrd 11321 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘ + 1))
252251gt0ne0d 11724 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
253246, 41, 252, 247divne0d 11952 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โ‰  0)
254248, 253logcld 25942 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
25585, 98, 57divcld 11936 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
256245, 254, 255subdid 11616 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))))
25797, 88addcomd 11362 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) = (1 + (2 ยท ๐‘)))
258257oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2))
259258oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
260196a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
26198, 85, 57, 260divcan6d 11955 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = 1)
262259, 261oveq12d 7376 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) ยท (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
263244, 256, 2623eqtrd 2777 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (2 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
264241, 263breqtrd 5132 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐พ) โ‡ ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
265 stirlinglem7.1 . . 3 ๐ฝ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1))
266 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘))
267266oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘›)) = (1 + (2 ยท ๐‘)))
268267oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2))
269 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘ + 1))
270 id 22 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
271269, 270oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
272271fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) = (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
273268, 272oveq12d 7376 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
274273oveq1d 7373 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
275 id 22 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
276125, 254mulcld 11180 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
277276, 88subcld 11517 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
278265, 274, 275, 277fvmptd3 6972 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ฝโ€˜๐‘) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
279264, 278breqtrrd 5134 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐พ) โ‡ (๐ฝโ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920  ...cfz 13430  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973   โ‡ cli 15372  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-tan 15959  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  44409
  Copyright terms: Public domain W3C validator