stirlinglem7 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem7 45094

Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem7.1	⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
stirlinglem7.2	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem7.3	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem7	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐻 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐻(𝑘) 𝐽(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem7 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12869	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		1e0p1 12723	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (0 + 1))
5	4	seqeq1d 13976	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) = seq(0 + 1)( + , 𝐻))
6		nn0uz 12868	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
7		0nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ₀)
9		stirlinglem7.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
11	10	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
12	11	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
13	11	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))
14	12, 13	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))))
15	14	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
16		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
17		2cnd 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℂ)
18		2cnd 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℂ)
19		nn0cn 12486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 𝑗 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
21		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
23	22	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
24		0red 11221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ∈ ℝ)
25		2re 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
27		nn0re 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 𝑗 ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
29		1red 11219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℝ)
30		0le2 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 2)
32		nn0ge0 12501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑗)
33	26, 27, 31, 32	mulge0d 11795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ (2 · 𝑗))
34		0lt1 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 < 1)
36	28, 29, 33, 35	addgegt0d 11791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
37	24, 36	ltned 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
38	37	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
39	38	necomd 2994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
40	23, 39	reccld 11987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
41		nncn 12224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42	41	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	17, 42	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
44		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcld 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
46	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
47		nnre 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	46, 47	remulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
49		1red 11219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
50	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
51		0red 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52		nngt0 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
53	51, 47, 52	ltled 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
54	46, 47, 50, 53	mulge0d 11795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
55	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
56	48, 49, 54, 55	addgegt0d 11791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
57	56	gt0ne0d 11782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
58	57	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
59	45, 58	reccld 11987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
60		2nn0 12493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℕ₀)
62	61, 16	nn0mulcld 12541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
63		1nn0 12492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℕ₀)
65	62, 64	nn0addcld 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ₀)
66	59, 65	expcld 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
67	40, 66	mulcld 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
68	17, 67	mulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))) ∈ ℂ)
69	9, 15, 16, 68	fvmptd3 7020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝐻‘𝑗) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
70	69, 68	eqeltrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℂ)
71	9	stirlinglem6 45093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
72	6, 8, 70, 71	clim2ser 15605	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(0 + 1)( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
73	5, 72	eqbrtrd 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
74		0z 12573	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
75		seq1 13983	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
76	74, 75	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
77	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))))))
78		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
79	78	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · 𝑘) = (2 · 0))
80	79	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 0) + 1))
81	80	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 0) + 1)))
82	80	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))
83	81, 82	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))))
84	83	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
85		2cnd 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
86		0cnd 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
87	85, 86	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) ∈ ℂ)
88		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
89	87, 88	addcld 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℂ)
90	85	mul01d 11417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) = 0)
91	90	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (2 · 0))
92	91	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + 1) = ((2 · 0) + 1))
93	4, 92	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((2 · 0) + 1))
94	55, 93	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 0) + 1))
95	94	gt0ne0d 11782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ≠ 0)
96	89, 95	reccld 11987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
97	85, 41	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
98	97, 88	addcld 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
99	98, 57	reccld 11987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
100	93, 63	eqeltrrdi 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℕ₀)
101	99, 100	expcld 14115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
102	96, 101	mulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) ∈ ℂ)
103	85, 102	mulcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) ∈ ℂ)
104	77, 84, 8, 103	fvmptd 7004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻‘0) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
105	90	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = (0 + 1))
106	105, 3	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = 1)
107	106	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = (1 / 1))
108	88	div1d 11986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
109	107, 108	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = 1)
110	106	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1))
111	99	exp1d 14110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
112	110, 111	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
113	109, 112	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
114	99	mullidd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
115	113, 114	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
116	115	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
117	85, 88, 98, 57	divassd 12029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
118	85	mulridd 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
119	118	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
120	116, 117, 119	3eqtr2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
121	76, 104, 120	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
122	121	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
123	73, 122	breqtrd 5173	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
124	88, 97	addcld 11237	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
125	124	halfcld 12461	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
126		seqex 13972	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐾) ∈ V
127	126	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ∈ V)
128		elnnuz 12870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
129	128	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
130	129	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
131		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
132	131	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
133	132	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
134	132	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))
135	133, 134	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
136	135	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
137		elfzuz 13501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
138		elnnuz 12870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
139	138	biimpri 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
140		nnnn0 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
141	137, 139, 140	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
142	141	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
143		2cnd 12294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
144	142	nn0cnd 12538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
145	143, 144	mulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
146		1cnd 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
147	145, 146	addcld 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
148		elfznn 13534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
149		0red 11221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
150		1red 11219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
151	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
152		nnre 12223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
153	151, 152	remulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
154	153, 150	readdcld 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
155	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
156		2rp 12983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
158		nnrp 12989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
159	157, 158	rpmulcld 13036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
160	150, 159	ltaddrp2d 13054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
161	149, 150, 154, 155, 160	lttrd 11379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
162	161	gt0ne0d 11782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
163	148, 162	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
164	163	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
165	147, 164	reccld 11987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
166	99	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
167	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
168	167, 142	nn0mulcld 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
169	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℕ₀)
170	168, 169	nn0addcld 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
171	166, 170	expcld 14115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
172	165, 171	mulcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
173	143, 172	mulcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
174	9, 136, 142, 173	fvmptd3 7020	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻‘𝑛) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
175	174, 173	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
176		addcl 11194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
177	176	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
178	130, 175, 177	seqcl 13992	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐻)‘𝑗) ∈ ℂ)
179		1cnd 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 1 ∈ ℂ)
180		2cnd 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
181	41	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
182	180, 181	mulcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
183	179, 182	addcld 11237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
184	183	halfcld 12461	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
185		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
186		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
187	184, 185, 186	adddid 11242	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝑛 + 𝑖)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑛) + (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑖)))
188		stirlinglem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
189	131	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
190	133, 189	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
191	148	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
192	166, 168	expcld 14115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
193	165, 192	mulcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
194	188, 190, 191, 193	fvmptd3 7020	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
195	124	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
196		2ne0 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
197	196	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ≠ 0)
198	195, 143, 173, 197	div32d 12017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)))
199	172, 143, 197	divcan3d 11999	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
200	199	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
201	195, 165, 171	mul12d 11427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
202	98	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
203	57	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
204	170	nn0zd 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ)
205	202, 203, 204	exprecd 14123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))))
206	205	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
207	202, 170	expcld 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
208	202, 203, 204	expne0d 14121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
209	195, 207, 208	divrecd 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
210	41	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
211	143, 210	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
212	146, 211	addcomd 11420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
213	202, 168	expcld 14115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
214	213, 202	mulcomd 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
215	212, 214	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
216	202, 168	expp1d 14116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
217	216	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))))
218		2z 12598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
220	142	nn0zd 12588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
221	219, 220	zmulcld 12676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
222	202, 203, 221	expne0d 14121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
223	202, 202, 213, 203, 222	divdiv1d 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
224	215, 217, 223	3eqtr4d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
225	206, 209, 224	3eqtr2d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
226	225	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
227	202, 203	dividd 11992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
228		1exp 14061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
229	221, 228	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
230	227, 229	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (1↑(2 · 𝑛)))
231	230	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
232	146, 202, 203, 168	expdivd 14129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
233	231, 232	eqtr4d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
234	233	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
235	201, 226, 234	3eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
236	198, 200, 235	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
237	174	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝐻‘𝑛))
238	237	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻‘𝑛)))
239	194, 236, 238	3eqtr2d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻‘𝑛)))
240	177, 187, 130, 175, 239	seqdistr 14023	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (seq1( + , 𝐻)‘𝑗)))
241	1, 2, 123, 125, 127, 178, 240	climmulc2 15585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
242	88, 97	addcomd 11420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
243	242	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
244	243	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
245	243, 125	eqeltrrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ∈ ℂ)
246	41, 88	addcld 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
247		nnne0 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
248	246, 41, 247	divcld 11994	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
249	47, 49	readdcld 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
250	47	ltp1d 12148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
251	51, 47, 249, 52, 250	lttrd 11379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
252	251	gt0ne0d 11782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
253	246, 41, 252, 247	divne0d 12010	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
254	248, 253	logcld 26315	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
255	85, 98, 57	divcld 11994	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
256	245, 254, 255	subdid 11674	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
257	97, 88	addcomd 11420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) = (1 + (2 · 𝑁)))
258	257	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
259	258	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
260	196	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
261	98, 85, 57, 260	divcan6d 12013	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1))) = 1)
262	259, 261	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
263	244, 256, 262	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
264	241, 263	breqtrd 5173	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
265		stirlinglem7.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
266		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
267	266	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
268	267	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
269		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
270		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 𝑛 = 𝑁)
271	269, 270	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
272	271	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
273	268, 272	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
274	273	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
275		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
276	125, 254	mulcld 11238	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
277	276, 88	subcld 11575	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
278	265, 274, 275, 277	fvmptd3 7020	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽‘𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
279	264, 278	breqtrrd 5175	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ≠ wne 2938 Vcvv 3472 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 < clt 11252 ≤ cle 11253 − cmin 11448 / cdiv 11875 ℕcn 12216 2c2 12271 ℕ₀cn0 12476 ℤcz 12562 ℤ_≥cuz 12826 ℝ⁺crp 12978 ...cfz 13488 seqcseq 13970 ↑cexp 14031 ⇝ cli 15432 logclog 26299

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7672 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-supp 8149 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-2o 8469 df-oadd 8472 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12979 df-xneg 13096 df-xadd 13097 df-xmul 13098 df-ioo 13332 df-ioc 13333 df-ico 13334 df-icc 13335 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13971 df-exp 14032 df-fac 14238 df-bc 14267 df-hash 14295 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 df-ef 16015 df-sin 16017 df-cos 16018 df-tan 16019 df-pi 16020 df-dvds 16202 df-struct 17084 df-sets 17101 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-ress 17178 df-plusg 17214 df-mulr 17215 df-starv 17216 df-sca 17217 df-vsca 17218 df-ip 17219 df-tset 17220 df-ple 17221 df-ds 17223 df-unif 17224 df-hom 17225 df-cco 17226 df-rest 17372 df-topn 17373 df-0g 17391 df-gsum 17392 df-topgen 17393 df-pt 17394 df-prds 17397 df-xrs 17452 df-qtop 17457 df-imas 17458 df-xps 17460 df-mre 17534 df-mrc 17535 df-acs 17537 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18987 df-cntz 19222 df-cmn 19691 df-psmet 21136 df-xmet 21137 df-met 21138 df-bl 21139 df-mopn 21140 df-fbas 21141 df-fg 21142 df-cnfld 21145 df-top 22616 df-topon 22633 df-topsp 22655 df-bases 22669 df-cld 22743 df-ntr 22744 df-cls 22745 df-nei 22822 df-lp 22860 df-perf 22861 df-cn 22951 df-cnp 22952 df-haus 23039 df-cmp 23111 df-tx 23286 df-hmeo 23479 df-fil 23570 df-fm 23662 df-flim 23663 df-flf 23664 df-xms 24046 df-ms 24047 df-tms 24048 df-cncf 24618 df-limc 25615 df-dv 25616 df-ulm 26125 df-log 26301

This theorem is referenced by: stirlinglem9 45096

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