stirlinglem7 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem7 46085

Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem7.1	⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
stirlinglem7.2	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem7.3	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem7	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐻 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐻(𝑘) 𝐽(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem7 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12843	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12571	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		1e0p1 12698	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (0 + 1))
5	4	seqeq1d 13979	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) = seq(0 + 1)( + , 𝐻))
6		nn0uz 12842	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
7		0nn0 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ₀)
9		stirlinglem7.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
11	10	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
12	11	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
13	11	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))
14	12, 13	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))))
15	14	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
17		2cnd 12271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℂ)
18		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℂ)
19		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 𝑗 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
21		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
24		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ∈ ℝ)
25		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
27		nn0re 12458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 𝑗 ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
29		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℝ)
30		0le2 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 2)
32		nn0ge0 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑗)
33	26, 27, 31, 32	mulge0d 11762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ (2 · 𝑗))
34		0lt1 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 < 1)
36	28, 29, 33, 35	addgegt0d 11758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
37	24, 36	ltned 11317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 0 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
39	38	necomd 2981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
40	23, 39	reccld 11958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
41		nncn 12201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	17, 42	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
44		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcld 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
46	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
47		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
48	46, 47	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
49		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
50	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
51		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52		nngt0 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
53	51, 47, 52	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
54	46, 47, 50, 53	mulge0d 11762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
55	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
56	48, 49, 54, 55	addgegt0d 11758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
57	56	gt0ne0d 11749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
59	45, 58	reccld 11958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
60		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℕ₀)
62	61, 16	nn0mulcld 12515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
63		1nn0 12465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℕ₀)
65	62, 64	nn0addcld 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ₀)
66	59, 65	expcld 14118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
67	40, 66	mulcld 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
68	17, 67	mulcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))) ∈ ℂ)
69	9, 15, 16, 68	fvmptd3 6994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝐻‘𝑗) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
70	69, 68	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℂ)
71	9	stirlinglem6 46084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
72	6, 8, 70, 71	clim2ser 15628	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(0 + 1)( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
73	5, 72	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)))
74		0z 12547	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
75		seq1 13986	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
76	74, 75	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (𝐻‘0))
77	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))))))
78		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
79	78	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · 𝑘) = (2 · 0))
80	79	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 0) + 1))
81	80	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 0) + 1)))
82	80	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))
83	81, 82	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))))
84	83	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
85		2cnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
86		0cnd 11174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
87	85, 86	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) ∈ ℂ)
88		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
89	87, 88	addcld 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℂ)
90	85	mul01d 11380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 0) = 0)
91	90	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (2 · 0))
92	91	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + 1) = ((2 · 0) + 1))
93	4, 92	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((2 · 0) + 1))
94	55, 93	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 0) + 1))
95	94	gt0ne0d 11749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ≠ 0)
96	89, 95	reccld 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
97	85, 41	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
98	97, 88	addcld 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
99	98, 57	reccld 11958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
100	93, 63	eqeltrrdi 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) ∈ ℕ₀)
101	99, 100	expcld 14118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) ∈ ℂ)
102	96, 101	mulcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) ∈ ℂ)
103	85, 102	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) ∈ ℂ)
104	77, 84, 8, 103	fvmptd 6978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻‘0) = (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))))
105	90	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = (0 + 1))
106	105, 3	eqtr4di 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 0) + 1) = 1)
107	106	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = (1 / 1))
108	88	div1d 11957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
109	107, 108	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 0) + 1)) = 1)
110	106	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1))
111	99	exp1d 14113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑1) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
112	110, 111	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
113	109, 112	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
114	99	mullidd 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
115	113, 114	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1))) = (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
116	115	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
117	85, 88, 98, 57	divassd 12000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 · (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
118	85	mulridd 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
119	118	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
120	116, 117, 119	3eqtr2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((1 / ((2 · 0) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 0) + 1)))) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
121	76, 104, 120	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq0( + , 𝐻)‘0) = (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))
122	121	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (seq0( + , 𝐻)‘0)) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
123	73, 122	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐻) ⇝ ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1))))
124	88, 97	addcld 11200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
125	124	halfcld 12434	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
126		seqex 13975	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐾) ∈ V
127	126	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ∈ V)
128		elnnuz 12844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
129	128	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
130	129	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
131		oveq2 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
132	131	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
133	132	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
134	132	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))
135	133, 134	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
136	135	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
137		elfzuz 13488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
138		elnnuz 12844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
139	138	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
140		nnnn0 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
141	137, 139, 140	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
142	141	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
143		2cnd 12271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
144	142	nn0cnd 12512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
145	143, 144	mulcld 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
146		1cnd 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
147	145, 146	addcld 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
148		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
149		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
150		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
151	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
152		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
153	151, 152	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
154	153, 150	readdcld 11210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
155	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
156		2rp 12963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
158		nnrp 12970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
159	157, 158	rpmulcld 13018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
160	150, 159	ltaddrp2d 13036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
161	149, 150, 154, 155, 160	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
162	161	gt0ne0d 11749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
163	148, 162	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
164	163	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
165	147, 164	reccld 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
166	99	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
167	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
168	167, 142	nn0mulcld 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
169	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℕ₀)
170	168, 169	nn0addcld 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
171	166, 170	expcld 14118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
172	165, 171	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
173	143, 172	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
174	9, 136, 142, 173	fvmptd3 6994	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻‘𝑛) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
175	174, 173	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
176		addcl 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
177	176	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
178	130, 175, 177	seqcl 13994	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐻)‘𝑗) ∈ ℂ)
179		1cnd 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 1 ∈ ℂ)
180		2cnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
181	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
182	180, 181	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
183	179, 182	addcld 11200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
184	183	halfcld 12434	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
185		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
186		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
187	184, 185, 186	adddid 11205	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝑛 + 𝑖)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑛) + (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · 𝑖)))
188		stirlinglem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
189	131	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
190	133, 189	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
191	148	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
192	166, 168	expcld 14118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
193	165, 192	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
194	188, 190, 191, 193	fvmptd3 6994	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
195	124	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
196		2ne0 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
197	196	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ≠ 0)
198	195, 143, 173, 197	div32d 11988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)))
199	172, 143, 197	divcan3d 11970	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))
200	199	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) / 2)) = ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
201	195, 165, 171	mul12d 11390	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))))
202	98	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
203	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
204	170	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ)
205	202, 203, 204	exprecd 14126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))))
206	205	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
207	202, 170	expcld 14118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
208	202, 203, 204	expne0d 14124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
209	195, 207, 208	divrecd 11968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) · (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)))))
210	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
211	143, 210	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
212	146, 211	addcomd 11383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
213	202, 168	expcld 14118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
214	213, 202	mulcomd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
215	212, 214	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
216	202, 168	expp1d 14119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
217	216	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((1 + (2 · 𝑁)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) · ((2 · 𝑁) + 1))))
218		2z 12572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
220	142	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
221	219, 220	zmulcld 12651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
222	202, 203, 221	expne0d 14124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
223	202, 202, 213, 203, 222	divdiv1d 11996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
224	215, 217, 223	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
225	206, 209, 224	3eqtr2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
226	225	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))))
227	202, 203	dividd 11963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
228		1exp 14063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
229	221, 228	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
230	227, 229	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (1↑(2 · 𝑛)))
231	230	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
232	146, 202, 203, 168	expdivd 14132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
233	231, 232	eqtr4d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
234	233	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
235	201, 226, 234	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 + (2 · 𝑁)) · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
236	198, 200, 235	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
237	174	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝐻‘𝑛))
238	237	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (2 · ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑛) + 1))))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻‘𝑛)))
239	194, 236, 238	3eqtr2d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (𝐻‘𝑛)))
240	177, 187, 130, 175, 239	seqdistr 14025	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (seq1( + , 𝐻)‘𝑗)))
241	1, 2, 123, 125, 127, 178, 240	climmulc2 15610	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
242	88, 97	addcomd 11383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
243	242	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
244	243	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
245	243, 125	eqeltrrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ∈ ℂ)
246	41, 88	addcld 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
247		nnne0 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
248	246, 41, 247	divcld 11965	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
249	47, 49	readdcld 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
250	47	ltp1d 12120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
251	51, 47, 249, 52, 250	lttrd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
252	251	gt0ne0d 11749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
253	246, 41, 252, 247	divne0d 11981	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
254	248, 253	logcld 26486	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
255	85, 98, 57	divcld 11965	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
256	245, 254, 255	subdid 11641	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
257	97, 88	addcomd 11383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) = (1 + (2 · 𝑁)))
258	257	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
259	258	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
260	196	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
261	98, 85, 57, 260	divcan6d 11984	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1))) = 1)
262	259, 261	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) · (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
263	244, 256, 262	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (2 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
264	241, 263	breqtrd 5136	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
265		stirlinglem7.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
266		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
267	266	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
268	267	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
269		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
270		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 𝑛 = 𝑁)
271	269, 270	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
272	271	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
273	268, 272	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
274	273	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
275		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
276	125, 254	mulcld 11201	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
277	276, 88	subcld 11540	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
278	265, 274, 275, 277	fvmptd3 6994	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽‘𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
279	264, 278	breqtrrd 5138	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ (𝐽‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 Vcvv 3450 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 / cdiv 11842 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ℝ⁺crp 12958 ...cfz 13475 seqcseq 13973 ↑cexp 14033 ⇝ cli 15457 logclog 26470

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-xnn0 12523 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ioc 13318 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-shft 15040 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-limsup 15444 df-clim 15461 df-rlim 15462 df-sum 15660 df-ef 16040 df-sin 16042 df-cos 16043 df-tan 16044 df-pi 16045 df-dvds 16230 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-cmp 23281 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-limc 25774 df-dv 25775 df-ulm 26293 df-log 26472

This theorem is referenced by: stirlinglem9 46087

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