Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem11 42769
 Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem11.3 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐾   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10636 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2 stirlinglem11.3 . . . . . 6 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
54oveq2d 7152 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
65oveq1d 7151 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
76oveq2d 7152 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
85oveq2d 7152 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
97, 8oveq12d 7154 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10 1nn 11639 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12 2cnd 11706 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13 1cnd 10628 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1412, 13mulcld 10653 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
1514, 13addcld 10652 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16 2t1e2 11791 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
1716oveq1i 7146 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18 2p1e3 11770 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
1917, 18eqtri 2821 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
20 3ne0 11734 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2119, 20eqnetri 3057 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
2315, 22reccld 11401 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24 nncn 11636 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2512, 24mulcld 10653 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
2625, 13addcld 10652 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27 1red 10634 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28 2re 11702 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 nnre 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 10663 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 27readdcld 10662 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33 0lt1 11154 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35 2rp 12385 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
37 nnrp 12391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3836, 37rpmulcld 12438 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
3927, 38ltaddrp2d 12456 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
401, 27, 32, 34, 39lttrd 10793 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
4140gt0ne0d 11196 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
4226, 41reccld 11401 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43 2nn0 11905 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
45 1nn0 11904 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
4744, 46nn0mulcld 11951 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ0)
4842, 47expcld 13509 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
4923, 48mulcld 10653 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
503, 9, 11, 49fvmptd 6753 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51 1re 10633 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
5228, 51remulcli 10649 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℝ
5352, 51readdcli 10648 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
5453, 21rereccli 11397 . . . . . 6 (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
5632, 41rereccld 11459 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
5756, 47reexpcld 13526 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
5855, 57remulcld 10663 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
5950, 58eqeltrd 2890 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6160stirlinglem2 42760 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
6261relogcld 25224 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
63 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑛𝑁
64 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑛log
65 nfmpt1 5129 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6660, 65nfcxfr 2953 . . . . . . . . 9 𝑛𝐴
6766, 63nffv 6656 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴𝑁)
6864, 67nffv 6656 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
69 2fveq3 6651 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
70 stirlinglem11.2 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
7163, 68, 69, 70fvmptf 6767 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7262, 71mpdan 686 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7372, 62eqeltrd 2890 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
74 peano2nn 11640 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7560stirlinglem2 42760 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7776relogcld 25224 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑛(𝑁 + 1)
7966, 78nffv 6656 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
8064, 79nffv 6656 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81 2fveq3 6651 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8278, 80, 81, 70fvmptf 6767 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8374, 77, 82syl2anc 587 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8483, 77eqeltrd 2890 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
8573, 84resubcld 11060 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
8629, 27remulcld 10663 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87 0le2 11730 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89 0le1 11155 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
9089a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
9129, 27, 88, 90mulge0d 11209 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
9286, 91ge0p1rpd 12452 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ+)
9392rpreccld 12432 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ+)
9437rpge0d 12426 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9529, 30, 88, 94mulge0d 11209 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
9631, 95ge0p1rpd 12452 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
9796rpreccld 12432 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ+)
98 2z 12005 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100 1z 12003 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
10299, 101zmulcld 12084 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
10397, 102rpexpcld 13607 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ+)
10493, 103rpmulcld 12438 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ+)
10550, 104eqeltrd 2890 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ+)
106105rpgt0d 12425 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
10785, 59resubcld 11060 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108 eqid 2798 . . . . . . 7 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘(1 + 1))
109101peano2zd 12081 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110 nnuz 12272 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1112a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113112oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114113oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115112oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116114, 115oveq12d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117116adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119 2cnd 11706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120 nncn 11636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121120adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122119, 121mulcld 10653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124122, 123addcld 10652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
12728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128 nnre 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129128adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130127, 129remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131130, 126readdcld 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
13233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
13335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
134 nnrp 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
135134adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
136133, 135rpmulcld 12438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
137126, 136ltaddrp2d 12456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138125, 126, 131, 132, 137lttrd 10793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139138gt0ne0d 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140124, 139reccld 11401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
14124adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142119, 141mulcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143142, 123addcld 10652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
14441adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145143, 144reccld 11401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
14643a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
147 nnnn0 11895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
148147adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
149146, 148nn0mulcld 11951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
150145, 149expcld 13509 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151140, 150mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152111, 117, 118, 151fvmptd 6753 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
15528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156155, 128remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157156, 154readdcld 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
15833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
15935a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
160159, 134rpmulcld 12438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
161154, 160ltaddrp2d 12456 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162153, 154, 157, 158, 161lttrd 10793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163162gt0ne0d 11196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164163adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165124, 164reccld 11401 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166165, 150mulcld 10653 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167152, 166eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) ∈ ℂ)
168 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
16960, 70, 168, 2stirlinglem9 42767 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170110, 11, 167, 169clim2ser 15006 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171 peano2nn 11640 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172 uznnssnn 12286 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
17310, 171, 172mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175174sseld 3914 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176175imdistani 572 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177176, 152syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
17828a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179 eluzelre 12245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180178, 179remulcld 10663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181 1red 10634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182180, 181readdcld 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183173sseli 3911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184183, 163syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185182, 184rereccld 11459 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186185adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
18732adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
18841adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189187, 188rereccld 11459 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190176, 149syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
191189, 190reexpcld 13526 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192186, 191remulcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193177, 192eqeltrd 2890 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
194 1red 10634 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
19528a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196176, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197195, 196remulcld 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
19887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
20087a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201 1p1e2 11753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
202 eluzle 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203201, 202eqbrtrrid 5067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204199, 178, 179, 200, 203letrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205204adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206195, 196, 198, 205mulge0d 11209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207197, 206ge0p1rpd 12452 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
20889a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209194, 207, 208divge0d 12462 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
21030adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211195, 210remulcld 10663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21294adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213195, 210, 198, 212mulge0d 11209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214211, 213ge0p1rpd 12452 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
215194, 214, 208divge0d 12462 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216189, 190, 215expge0d 13527 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217186, 191, 209, 216mulge0d 11209 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218217, 177breqtrrd 5059 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
219108, 109, 170, 193, 218iserge0 15012 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220 seq1 13380 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221100, 220mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222221oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223219, 222breqtrd 5057 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
2241, 107, 59, 223leadd1dd 11246 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
22550, 49eqeltrd 2890 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226225addid2d 10833 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
22773recnd 10661 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
22884recnd 10661 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229227, 228subcld 10989 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230229, 225npcand 10993 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231224, 226, 2303brtr3d 5062 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
2321, 59, 85, 106, 231ltletrd 10792 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
23384, 73posdifd 11219 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁) ↔ 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234232, 233mpbird 260 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11628  2c2 11683  3c3 11684  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ℝ+crp 12380  seqcseq 13367  ↑cexp 13428  !cfa 13632  √csqrt 14587  eceu 15411  logclog 25156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-e 15417  df-sin 15418  df-cos 15419  df-tan 15420  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-cmp 22002  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493  df-limc 24479  df-dv 24480  df-ulm 24982  df-log 25158  df-cxp 25159 This theorem is referenced by:  stirlinglem13  42771
 Copyright terms: Public domain W3C validator