Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem11 40962
Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem11.3 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐾   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10301 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2 stirlinglem11.3 . . . . . 6 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
54oveq2d 6862 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
65oveq1d 6861 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
76oveq2d 6862 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
85oveq2d 6862 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
97, 8oveq12d 6864 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10 1nn 11291 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12 2cnd 11354 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13 1cnd 10292 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1412, 13mulcld 10318 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
1514, 13addcld 10317 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16 2t1e2 11445 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
1716oveq1i 6856 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18 2p1e3 11425 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
1917, 18eqtri 2787 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
20 3ne0 11389 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2119, 20eqnetri 3007 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
2315, 22reccld 11052 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24 nncn 11287 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2512, 24mulcld 10318 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
2625, 13addcld 10317 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27 1red 10298 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28 2re 11350 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 nnre 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 10328 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 27readdcld 10327 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33 0lt1 10808 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35 2rp 12038 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
37 nnrp 12046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3836, 37rpmulcld 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
3927, 38ltaddrp2d 12109 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
401, 27, 32, 34, 39lttrd 10456 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
4140gt0ne0d 10850 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
4226, 41reccld 11052 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43 2nn0 11561 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
45 1nn0 11560 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
4744, 46nn0mulcld 11607 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ0)
4842, 47expcld 13220 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
4923, 48mulcld 10318 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
503, 9, 11, 49fvmptd 6481 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51 1re 10297 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
5228, 51remulcli 10314 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℝ
5352, 51readdcli 10313 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
5453, 21rereccli 11048 . . . . . 6 (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
5632, 41rereccld 11110 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
5756, 47reexpcld 13237 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
5855, 57remulcld 10328 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
5950, 58eqeltrd 2844 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6160stirlinglem2 40953 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
6261relogcld 24674 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
63 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛𝑁
64 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛log
65 nfmpt1 4908 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6660, 65nfcxfr 2905 . . . . . . . . 9 𝑛𝐴
6766, 63nffv 6389 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴𝑁)
6864, 67nffv 6389 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
69 2fveq3 6384 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
70 stirlinglem11.2 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
7163, 68, 69, 70fvmptf 6494 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7262, 71mpdan 678 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7372, 62eqeltrd 2844 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
74 peano2nn 11292 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7560stirlinglem2 40953 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7776relogcld 24674 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛(𝑁 + 1)
7966, 78nffv 6389 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
8064, 79nffv 6389 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81 2fveq3 6384 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8278, 80, 81, 70fvmptf 6494 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8374, 77, 82syl2anc 579 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8483, 77eqeltrd 2844 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
8573, 84resubcld 10716 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
8629, 27remulcld 10328 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87 0le2 11385 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89 0le1 10809 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
9089a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
9129, 27, 88, 90mulge0d 10862 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
9286, 91ge0p1rpd 12105 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ+)
9392rpreccld 12085 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ+)
9437rpge0d 12079 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9529, 30, 88, 94mulge0d 10862 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
9631, 95ge0p1rpd 12105 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
9796rpreccld 12085 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ+)
98 2z 11661 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100 1z 11659 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
10299, 101zmulcld 11740 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
10397, 102rpexpcld 13244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ+)
10493, 103rpmulcld 12091 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ+)
10550, 104eqeltrd 2844 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ+)
106105rpgt0d 12078 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
10785, 59resubcld 10716 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108 eqid 2765 . . . . . . 7 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘(1 + 1))
109101peano2zd 11737 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110 nnuz 11928 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1112a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113112oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114113oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115112oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116114, 115oveq12d 6864 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117116adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119 2cnd 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120 nncn 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122119, 121mulcld 10318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123 1cnd 10292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124122, 123addcld 10317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126 1red 10298 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
12728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128 nnre 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129128adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130127, 129remulcld 10328 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131130, 126readdcld 10327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
13233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
13335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
134 nnrp 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
135134adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
136133, 135rpmulcld 12091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
137126, 136ltaddrp2d 12109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138125, 126, 131, 132, 137lttrd 10456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139138gt0ne0d 10850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140124, 139reccld 11052 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
14124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142119, 141mulcld 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143142, 123addcld 10317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
14441adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145143, 144reccld 11052 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
14643a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
147 nnnn0 11550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
148147adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
149146, 148nn0mulcld 11607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
150145, 149expcld 13220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151140, 150mulcld 10318 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152111, 117, 118, 151fvmptd 6481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154 1red 10298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
15528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156155, 128remulcld 10328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157156, 154readdcld 10327 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
15833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
15935a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
160159, 134rpmulcld 12091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
161154, 160ltaddrp2d 12109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162153, 154, 157, 158, 161lttrd 10456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163162gt0ne0d 10850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164163adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165124, 164reccld 11052 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166165, 150mulcld 10318 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167152, 166eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) ∈ ℂ)
168 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
16960, 70, 168, 2stirlinglem9 40960 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170110, 11, 167, 169clim2ser 14684 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171 peano2nn 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172 uznnssnn 11940 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
17310, 171, 172mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175174sseld 3762 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176175imdistani 564 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177176, 152syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
17828a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179 eluzelre 11902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180178, 179remulcld 10328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181 1red 10298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182180, 181readdcld 10327 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183173sseli 3759 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184183, 163syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185182, 184rereccld 11110 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186185adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
18732adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
18841adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189187, 188rereccld 11110 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190176, 149syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
191189, 190reexpcld 13237 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192186, 191remulcld 10328 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193177, 192eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
194 1red 10298 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
19528a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196176, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197195, 196remulcld 10328 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
19887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
20087a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201 1p1e2 11408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
202 eluzle 11904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203201, 202syl5eqbrr 4847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204199, 178, 179, 200, 203letrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205204adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206195, 196, 198, 205mulge0d 10862 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207197, 206ge0p1rpd 12105 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
20889a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209194, 207, 208divge0d 12115 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
21030adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211195, 210remulcld 10328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21294adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213195, 210, 198, 212mulge0d 10862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214211, 213ge0p1rpd 12105 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
215194, 214, 208divge0d 12115 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216189, 190, 215expge0d 13238 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217186, 191, 209, 216mulge0d 10862 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218217, 177breqtrrd 4839 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
219108, 109, 170, 193, 218iserge0 14690 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220 seq1 13026 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221100, 220mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222221oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223219, 222breqtrd 4837 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
2241, 107, 59, 223leadd1dd 10899 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
22550, 49eqeltrd 2844 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226225addid2d 10495 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
22773recnd 10326 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
22884recnd 10326 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229227, 228subcld 10650 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230229, 225npcand 10654 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231224, 226, 2303brtr3d 4842 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
2321, 59, 85, 106, 231ltletrd 10455 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
23384, 73posdifd 10872 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁) ↔ 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234232, 233mpbird 248 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3734   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  3c3 11332  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  +crp 12033  seqcseq 13013  cexp 13072  !cfa 13269  csqrt 14272  eceu 15089  logclog 24606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-bc 13299  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-ef 15094  df-e 15095  df-sin 15096  df-cos 15097  df-tan 15098  df-pi 15099  df-dvds 15280  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936  df-ulm 24436  df-log 24608  df-cxp 24609
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  40964
  Copyright terms: Public domain W3C validator