Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem11 45395
Description: ๐ต is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1 ๐ด = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
stirlinglem11.2 ๐ต = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)))
stirlinglem11.3 ๐พ = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) < (๐ตโ€˜๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›   ๐‘›,๐พ   ๐‘˜,๐‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜,๐‘›)   ๐ต(๐‘˜,๐‘›)   ๐พ(๐‘˜)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 11239 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 stirlinglem11.3 . . . . . 6 ๐พ = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))))
32a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜)))))
4 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ๐‘˜ = 1)
54oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท 1))
65oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท 1) + 1))
76oveq2d 7430 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (1 / ((2 ยท 1) + 1)))
85oveq2d 7430 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1)))
97, 8oveq12d 7432 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))) = ((1 / ((2 ยท 1) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1))))
10 1nn 12245 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
1110a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
12 2cnd 12312 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
13 1cnd 11231 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1412, 13mulcld 11256 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) โˆˆ โ„‚)
1514, 13addcld 11255 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 1) + 1) โˆˆ โ„‚)
16 2t1e2 12397 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 1) = 2
1716oveq1i 7424 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท 1) + 1) = (2 + 1)
18 2p1e3 12376 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
1917, 18eqtri 2755 . . . . . . . . 9 ((2 ยท 1) + 1) = 3
20 3ne0 12340 . . . . . . . . 9 3 โ‰  0
2119, 20eqnetri 3006 . . . . . . . 8 ((2 ยท 1) + 1) โ‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 1) + 1) โ‰  0)
2315, 22reccld 12005 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท 1) + 1)) โˆˆ โ„‚)
24 nncn 12242 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2512, 24mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2625, 13addcld 11255 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
27 1red 11237 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
28 2re 12308 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
30 nnre 12241 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3129, 30remulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3231, 27readdcld 11265 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
33 0lt1 11758 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 1)
35 2rp 13003 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
37 nnrp 13009 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3836, 37rpmulcld 13056 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
3927, 38ltaddrp2d 13074 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
401, 27, 32, 34, 39lttrd 11397 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4140gt0ne0d 11800 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
4226, 41reccld 12005 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
43 2nn0 12511 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•0
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
45 1nn0 12510 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
4744, 46nn0mulcld 12559 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) โˆˆ โ„•0)
4842, 47expcld 14134 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1)) โˆˆ โ„‚)
4923, 48mulcld 11256 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท 1) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1))) โˆˆ โ„‚)
503, 9, 11, 49fvmptd 7006 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พโ€˜1) = ((1 / ((2 ยท 1) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1))))
51 1re 11236 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
5228, 51remulcli 11252 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) โˆˆ โ„
5352, 51readdcli 11251 . . . . . . 7 ((2 ยท 1) + 1) โˆˆ โ„
5453, 21rereccli 12001 . . . . . 6 (1 / ((2 ยท 1) + 1)) โˆˆ โ„
5554a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท 1) + 1)) โˆˆ โ„)
5632, 41rereccld 12063 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
5756, 47reexpcld 14151 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1)) โˆˆ โ„)
5855, 57remulcld 11266 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท 1) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1))) โˆˆ โ„)
5950, 58eqeltrd 2828 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พโ€˜1) โˆˆ โ„)
60 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
6160stirlinglem2 45386 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
6261relogcld 26544 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
63 nfcv 2898 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘›๐‘
64 nfcv 2898 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘›log
65 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘›(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
6660, 65nfcxfr 2896 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘›๐ด
6766, 63nffv 6901 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘›(๐ดโ€˜๐‘)
6864, 67nffv 6901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘›(logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘))
69 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)))
70 stirlinglem11.2 . . . . . . 7 ๐ต = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)))
7163, 68, 69, 70fvmptf 7020 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘) = (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)))
7262, 71mpdan 686 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜๐‘) = (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)))
7372, 62eqeltrd 2828 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
74 peano2nn 12246 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
7560stirlinglem2 45386 . . . . . . . 8 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
7776relogcld 26544 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
78 nfcv 2898 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘›(๐‘ + 1)
7966, 78nffv 6901 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘›(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))
8064, 79nffv 6901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘›(logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1)))
81 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))))
8278, 80, 81, 70fvmptf 7020 . . . . . 6 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„• โˆง (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))))
8374, 77, 82syl2anc 583 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))))
8483, 77eqeltrd 2828 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
8573, 84resubcld 11664 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
8629, 27remulcld 11266 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) โˆˆ โ„)
87 0le2 12336 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 2
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
89 0le1 11759 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 1
9089a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 1)
9129, 27, 88, 90mulge0d 11813 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท 1))
9286, 91ge0p1rpd 13070 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 1) + 1) โˆˆ โ„+)
9392rpreccld 13050 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท 1) + 1)) โˆˆ โ„+)
9437rpge0d 13044 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
9529, 30, 88, 94mulge0d 11813 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
9631, 95ge0p1rpd 13070 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„+)
9796rpreccld 13050 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„+)
98 2z 12616 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
100 1z 12614 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
10299, 101zmulcld 12694 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) โˆˆ โ„ค)
10397, 102rpexpcld 14233 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1)) โˆˆ โ„+)
10493, 103rpmulcld 13056 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท 1) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท 1))) โˆˆ โ„+)
10550, 104eqeltrd 2828 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พโ€˜1) โˆˆ โ„+)
106105rpgt0d 13043 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐พโ€˜1))
10785, 59resubcld 11664 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (๐พโ€˜1)) โˆˆ โ„)
108 eqid 2727 . . . . . . 7 (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
109101peano2zd 12691 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) โˆˆ โ„ค)
110 nnuz 12887 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1112a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜)))))
112 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘—))
113112oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘—) + 1))
114113oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
115112oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—)))
116114, 115oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))))
117116adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘˜))) = ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))))
118 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
119 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
120 nncn 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
122119, 121mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
123 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
124122, 123addcld 11255 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„‚)
125 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
126 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
128 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
130127, 129remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„)
131130, 126readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„)
13233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < 1)
13335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
134 nnrp 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„+)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„+)
136133, 135rpmulcld 13056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„+)
137126, 136ltaddrp2d 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘—) + 1))
138125, 126, 131, 132, 137lttrd 11397 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘—) + 1))
139138gt0ne0d 11800 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ‰  0)
140124, 139reccld 12005 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆˆ โ„‚)
14124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
142119, 141mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
143142, 123addcld 11255 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
14441adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
145143, 144reccld 12005 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
14643a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
147 nnnn0 12501 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
149146, 148nn0mulcld 12559 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
150145, 149expcld 14134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
151140, 150mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
152111, 117, 118, 151fvmptd 7006 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) = ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))))
153 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
154 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
15528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
156155, 128remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„)
157156, 154readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„)
15833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 1)
15935a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
160159, 134rpmulcld 13056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„+)
161154, 160ltaddrp2d 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘—) + 1))
162153, 154, 157, 158, 161lttrd 11397 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘—) + 1))
163162gt0ne0d 11800 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ‰  0)
164163adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ‰  0)
165124, 164reccld 12005 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆˆ โ„‚)
166165, 150mulcld 11256 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
167152, 166eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
168 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1))
16960, 70, 168, 2stirlinglem9 45393 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐พ) โ‡ ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))))
170110, 11, 167, 169clim2ser 15625 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq(1 + 1)( + , ๐พ) โ‡ (((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (seq1( + , ๐พ)โ€˜1)))
171 peano2nn 12246 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) โˆˆ โ„•)
172 uznnssnn 12901 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โІ โ„•)
17310, 171, 172mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โІ โ„•
174173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โІ โ„•)
175174sseld 3977 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•))
176175imdistani 568 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•))
177176, 152syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) = ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))))
17828a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
179 eluzelre 12855 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
180178, 179remulcld 11266 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„)
181 1red 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
182180, 181readdcld 11265 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„)
183173sseli 3974 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
184183, 163syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ‰  0)
185182, 184rereccld 12063 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆˆ โ„)
186185adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆˆ โ„)
18732adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
18841adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
189187, 188rereccld 12063 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
190176, 149syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
191189, 190reexpcld 14151 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„)
192186, 191remulcld 11266 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))) โˆˆ โ„)
193177, 192eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
194 1red 11237 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
19528a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
196176, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
197195, 196remulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„)
19887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค 2)
199 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
20087a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ 0 โ‰ค 2)
201 1p1e2 12359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
202 eluzle 12857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ (1 + 1) โ‰ค ๐‘—)
203201, 202eqbrtrrid 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘—)
204199, 178, 179, 200, 203letrd 11393 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘—)
205204adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘—)
206195, 196, 198, 205mulge0d 11813 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘—))
207197, 206ge0p1rpd 13070 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„+)
20889a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค 1)
209194, 207, 208divge0d 13080 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
21030adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
211195, 210remulcld 11266 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
21294adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
213195, 210, 198, 212mulge0d 11813 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
214211, 213ge0p1rpd 13070 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„+)
215194, 214, 208divge0d 13080 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
216189, 190, 215expge0d 14152 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—)))
217186, 191, 209, 216mulge0d 11813 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘(2 ยท ๐‘—))))
218217, 177breqtrrd 5170 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐พโ€˜๐‘—))
219108, 109, 170, 193, 218iserge0 15631 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (seq1( + , ๐พ)โ€˜1)))
220 seq1 14003 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (seq1( + , ๐พ)โ€˜1) = (๐พโ€˜1))
221100, 220mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , ๐พ)โ€˜1) = (๐พโ€˜1))
222221oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (seq1( + , ๐พ)โ€˜1)) = (((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (๐พโ€˜1)))
223219, 222breqtrd 5168 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (๐พโ€˜1)))
2241, 107, 59, 223leadd1dd 11850 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + (๐พโ€˜1)) โ‰ค ((((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (๐พโ€˜1)) + (๐พโ€˜1)))
22550, 49eqeltrd 2828 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
226225addlidd 11437 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + (๐พโ€˜1)) = (๐พโ€˜1))
22773recnd 11264 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
22884recnd 11264 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
229227, 228subcld 11593 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
230229, 225npcand 11597 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) โˆ’ (๐พโ€˜1)) + (๐พโ€˜1)) = ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))))
231224, 226, 2303brtr3d 5173 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พโ€˜1) โ‰ค ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))))
2321, 59, 85, 106, 231ltletrd 11396 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))))
23384, 73posdifd 11823 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) < (๐ตโ€˜๐‘) โ†” 0 < ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)))))
234232, 233mpbird 257 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) < (๐ตโ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   โІ wss 3944   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  3c3 12290  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ„คโ‰ฅcuz 12844  โ„+crp 12998  seqcseq 13990  โ†‘cexp 14050  !cfa 14256  โˆšcsqrt 15204  eceu 16030  logclog 26475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-e 16036  df-sin 16037  df-cos 16038  df-tan 16039  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-ulm 26300  df-log 26477  df-cxp 26478
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  45397
  Copyright terms: Public domain W3C validator