stirlinglem11 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem11 45607

Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem11.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem11.3	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem11	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11249	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
5	4	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
6	5	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
7	6	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
8	5	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
9	7, 8	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10		1nn 12256	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12		2cnd 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13		1cnd 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
15	14, 13	addcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16		2t1e2 12408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	oveq1i 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18		2p1e3 12387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
19	17, 18	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
20		3ne0 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
21	19, 20	eqnetri 3000	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 1) ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
23	15, 22	reccld 12016	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24		nncn 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
26	25, 13	addcld 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27		1red 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28		2re 12319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	29, 30	remulcld 11276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 27	readdcld 11275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33		0lt1 11768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35		2rp 13014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
37		nnrp 13020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	27, 38	ltaddrp2d 13085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
41	40	gt0ne0d 11810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
42	26, 41	reccld 12016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43		2nn0 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
45		1nn0 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
47	44, 46	nn0mulcld 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ₀)
48	42, 47	expcld 14146	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
49	23, 48	mulcld 11266	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 7011	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51		1re 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
52	28, 51	remulcli 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
53	52, 51	readdcli 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
54	53, 21	rereccli 12012	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
56	32, 41	rereccld 12074	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
57	56, 47	reexpcld 14163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 11276	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
59	50, 58	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
61	60	stirlinglem2 45598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
62	61	relogcld 26602	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ)
63		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
64		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛log
65		nfmpt1 5257	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
66	60, 65	nfcxfr 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
67	66, 63	nffv 6906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑁)
68	64, 67	nffv 6906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑁))
69		2fveq3 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
70		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
71	63, 68, 69, 70	fvmptf 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
72	62, 71	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
73	72, 62	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℝ)
74		peano2nn 12257	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
75	60	stirlinglem2 45598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
77	76	relogcld 26602	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑁 + 1)
79	66, 78	nffv 6906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
80	64, 79	nffv 6906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81		2fveq3 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
82	78, 80, 81, 70	fvmptf 7025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
83	74, 77, 82	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
84	83, 77	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
85	73, 84	resubcld 11674	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
86	29, 27	remulcld 11276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87		0le2 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89		0le1 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
91	29, 27, 88, 90	mulge0d 11823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
92	86, 91	ge0p1rpd 13081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ⁺)
93	92	rpreccld 13061	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ⁺)
94	37	rpge0d 13055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
95	29, 30, 88, 94	mulge0d 11823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
96	31, 95	ge0p1rpd 13081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
97	96	rpreccld 13061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
98		2z 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100		1z 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
102	99, 101	zmulcld 12705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
103	97, 102	rpexpcld 14245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ⁺)
104	93, 103	rpmulcld 13067	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ⁺)
105	50, 104	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpgt0d 13054	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
107	85, 59	resubcld 11674	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
109	101	peano2zd 12702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110		nnuz 12898	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
111	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113	112	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114	113	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115	112	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116	114, 115	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117	116	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119		2cnd 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120		nncn 12253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121	120	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122	119, 121	mulcld 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123		1cnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124	122, 123	addcld 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125		0red 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126		1red 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
127	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128		nnre 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129	128	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130	127, 129	remulcld 11276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131	130, 126	readdcld 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
132	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
133	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
134		nnrp 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
135	134	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
136	133, 135	rpmulcld 13067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
137	126, 136	ltaddrp2d 13085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138	125, 126, 131, 132, 137	lttrd 11407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139	138	gt0ne0d 11810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140	124, 139	reccld 12016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
141	24	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142	119, 141	mulcld 11266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143	142, 123	addcld 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
144	41	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145	143, 144	reccld 12016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
146	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ₀)
147		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
148	147	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
149	146, 148	nn0mulcld 12570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
150	145, 149	expcld 14146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151	140, 150	mulcld 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152	111, 117, 118, 151	fvmptd 7011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153		0red 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154		1red 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
155	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156	155, 128	remulcld 11276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157	156, 154	readdcld 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
158	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
159	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
160	159, 134	rpmulcld 13067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
161	154, 160	ltaddrp2d 13085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162	153, 154, 157, 158, 161	lttrd 11407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163	162	gt0ne0d 11810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164	163	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165	124, 164	reccld 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166	165, 150	mulcld 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167	152, 166	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℂ)
168		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
169	60, 70, 168, 2	stirlinglem9 45605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170	110, 11, 167, 169	clim2ser 15637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171		peano2nn 12257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172		uznnssnn 12912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
173	10, 171, 172	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175	174	sseld 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176	175	imdistani 567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177	176, 152	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
178	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179		eluzelre 12866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180	178, 179	remulcld 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181		1red 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182	180, 181	readdcld 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183	173	sseli 3972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184	183, 163	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185	182, 184	rereccld 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186	185	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
187	32	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
188	41	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189	187, 188	rereccld 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190	176, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
191	189, 190	reexpcld 14163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192	186, 191	remulcld 11276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193	177, 192	eqeltrd 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
194		1red 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
195	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196	176, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197	195, 196	remulcld 11276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
198	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199		0red 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
200	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201		1p1e2 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
202		eluzle 12868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203	201, 202	eqbrtrrid 5185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204	199, 178, 179, 200, 203	letrd 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205	204	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206	195, 196, 198, 205	mulge0d 11823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207	197, 206	ge0p1rpd 13081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ⁺)
208	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209	194, 207, 208	divge0d 13091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
210	30	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211	195, 210	remulcld 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
212	94	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213	195, 210, 198, 212	mulge0d 11823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214	211, 213	ge0p1rpd 13081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
215	194, 214, 208	divge0d 13091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216	189, 190, 215	expge0d 14164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217	186, 191, 209, 216	mulge0d 11823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218	217, 177	breqtrrd 5177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
219	108, 109, 170, 193, 218	iserge0 15643	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220		seq1 14015	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221	100, 220	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222	221	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223	219, 222	breqtrd 5175	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
224	1, 107, 59, 223	leadd1dd 11860	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
225	50, 49	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226	225	addlidd 11447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
227	73	recnd 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
228	84	recnd 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229	227, 228	subcld 11603	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230	229, 225	npcand 11607	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231	224, 226, 230	3brtr3d 5180	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
232	1, 59, 85, 106, 231	ltletrd 11406	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
233	84, 73	posdifd 11833	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234	232, 233	mpbird 256	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2929 ⊆ wss 3944 class class class wbr 5149 ↦ cmpt 5232 ‘cfv 6549 (class class class)co 7419 ℂcc 11138 ℝcr 11139 0cc0 11140 1c1 11141 + caddc 11143 · cmul 11145 < clt 11280 ≤ cle 11281 − cmin 11476 / cdiv 11903 ℕcn 12245 2c2 12300 3c3 12301 ℕ₀cn0 12505 ℤcz 12591 ℤ_≥cuz 12855 ℝ⁺crp 13009 seqcseq 14002 ↑cexp 14062 !cfa 14268 √csqrt 15216 eceu 16042 logclog 26533

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7741 ax-inf2 9666 ax-cnex 11196 ax-resscn 11197 ax-1cn 11198 ax-icn 11199 ax-addcl 11200 ax-addrcl 11201 ax-mulcl 11202 ax-mulrcl 11203 ax-mulcom 11204 ax-addass 11205 ax-mulass 11206 ax-distr 11207 ax-i2m1 11208 ax-1ne0 11209 ax-1rid 11210 ax-rnegex 11211 ax-rrecex 11212 ax-cnre 11213 ax-pre-lttri 11214 ax-pre-lttrn 11215 ax-pre-ltadd 11216 ax-pre-mulgt0 11217 ax-pre-sup 11218 ax-addf 11219

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2930 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3419 df-v 3463 df-sbc 3774 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3964 df-nul 4323 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4910 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6307 df-ord 6374 df-on 6375 df-lim 6376 df-suc 6377 df-iota 6501 df-fun 6551 df-fn 6552 df-f 6553 df-f1 6554 df-fo 6555 df-f1o 6556 df-fv 6557 df-isom 6558 df-riota 7375 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-of 7685 df-om 7872 df-1st 7994 df-2nd 7995 df-supp 8166 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-2o 8488 df-oadd 8491 df-er 8725 df-map 8847 df-pm 8848 df-ixp 8917 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fsupp 9388 df-fi 9436 df-sup 9467 df-inf 9468 df-oi 9535 df-card 9964 df-pnf 11282 df-mnf 11283 df-xr 11284 df-ltxr 11285 df-le 11286 df-sub 11478 df-neg 11479 df-div 11904 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-7 12313 df-8 12314 df-9 12315 df-n0 12506 df-xnn0 12578 df-z 12592 df-dec 12711 df-uz 12856 df-q 12966 df-rp 13010 df-xneg 13127 df-xadd 13128 df-xmul 13129 df-ioo 13363 df-ioc 13364 df-ico 13365 df-icc 13366 df-fz 13520 df-fzo 13663 df-fl 13793 df-mod 13871 df-seq 14003 df-exp 14063 df-fac 14269 df-bc 14298 df-hash 14326 df-shft 15050 df-cj 15082 df-re 15083 df-im 15084 df-sqrt 15218 df-abs 15219 df-limsup 15451 df-clim 15468 df-rlim 15469 df-sum 15669 df-ef 16047 df-e 16048 df-sin 16049 df-cos 16050 df-tan 16051 df-pi 16052 df-dvds 16235 df-struct 17119 df-sets 17136 df-slot 17154 df-ndx 17166 df-base 17184 df-ress 17213 df-plusg 17249 df-mulr 17250 df-starv 17251 df-sca 17252 df-vsca 17253 df-ip 17254 df-tset 17255 df-ple 17256 df-ds 17258 df-unif 17259 df-hom 17260 df-cco 17261 df-rest 17407 df-topn 17408 df-0g 17426 df-gsum 17427 df-topgen 17428 df-pt 17429 df-prds 17432 df-xrs 17487 df-qtop 17492 df-imas 17493 df-xps 17495 df-mre 17569 df-mrc 17570 df-acs 17572 df-mgm 18603 df-sgrp 18682 df-mnd 18698 df-submnd 18744 df-mulg 19032 df-cntz 19280 df-cmn 19749 df-psmet 21288 df-xmet 21289 df-met 21290 df-bl 21291 df-mopn 21292 df-fbas 21293 df-fg 21294 df-cnfld 21297 df-top 22840 df-topon 22857 df-topsp 22879 df-bases 22893 df-cld 22967 df-ntr 22968 df-cls 22969 df-nei 23046 df-lp 23084 df-perf 23085 df-cn 23175 df-cnp 23176 df-haus 23263 df-cmp 23335 df-tx 23510 df-hmeo 23703 df-fil 23794 df-fm 23886 df-flim 23887 df-flf 23888 df-xms 24270 df-ms 24271 df-tms 24272 df-cncf 24842 df-limc 25839 df-dv 25840 df-ulm 26358 df-log 26535 df-cxp 26536

This theorem is referenced by: stirlinglem13 45609

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