Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem11 46039
Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem11.3 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐾   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 11261 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2 stirlinglem11.3 . . . . . 6 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
54oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
65oveq1d 7445 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
76oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
85oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
97, 8oveq12d 7448 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10 1nn 12274 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12 2cnd 12341 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13 1cnd 11253 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1412, 13mulcld 11278 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
1514, 13addcld 11277 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16 2t1e2 12426 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
1716oveq1i 7440 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18 2p1e3 12405 . . . . . . . . . 10 (2 + 1) = 3
1917, 18eqtri 2762 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
20 3ne0 12369 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2119, 20eqnetri 3008 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
2315, 22reccld 12033 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24 nncn 12271 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2512, 24mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
2625, 13addcld 11277 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27 1red 11259 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28 2re 12337 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 nnre 12270 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 27readdcld 11287 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33 0lt1 11782 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35 2rp 13036 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
37 nnrp 13043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3836, 37rpmulcld 13090 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
3927, 38ltaddrp2d 13108 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
401, 27, 32, 34, 39lttrd 11419 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
4140gt0ne0d 11824 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
4226, 41reccld 12033 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43 2nn0 12540 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
45 1nn0 12539 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
4744, 46nn0mulcld 12589 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ0)
4842, 47expcld 14182 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
4923, 48mulcld 11278 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
503, 9, 11, 49fvmptd 7022 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
5228, 51remulcli 11274 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℝ
5352, 51readdcli 11273 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
5453, 21rereccli 12029 . . . . . 6 (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
5632, 41rereccld 12091 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
5756, 47reexpcld 14199 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
5855, 57remulcld 11288 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
5950, 58eqeltrd 2838 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6160stirlinglem2 46030 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
6261relogcld 26679 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
63 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑛𝑁
64 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑛log
65 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6660, 65nfcxfr 2900 . . . . . . . . 9 𝑛𝐴
6766, 63nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴𝑁)
6864, 67nffv 6916 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
69 2fveq3 6911 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
70 stirlinglem11.2 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
7163, 68, 69, 70fvmptf 7036 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7262, 71mpdan 687 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
7372, 62eqeltrd 2838 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
74 peano2nn 12275 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7560stirlinglem2 46030 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7776relogcld 26679 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑛(𝑁 + 1)
7966, 78nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
8064, 79nffv 6916 . . . . . . 7 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81 2fveq3 6911 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8278, 80, 81, 70fvmptf 7036 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8374, 77, 82syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8483, 77eqeltrd 2838 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
8573, 84resubcld 11688 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
8629, 27remulcld 11288 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87 0le2 12365 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89 0le1 11783 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
9089a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
9129, 27, 88, 90mulge0d 11837 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
9286, 91ge0p1rpd 13104 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ+)
9392rpreccld 13084 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ+)
9437rpge0d 13078 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9529, 30, 88, 94mulge0d 11837 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
9631, 95ge0p1rpd 13104 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
9796rpreccld 13084 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ+)
98 2z 12646 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100 1z 12644 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
10299, 101zmulcld 12725 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
10397, 102rpexpcld 14282 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ+)
10493, 103rpmulcld 13090 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ+)
10550, 104eqeltrd 2838 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ+)
106105rpgt0d 13077 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
10785, 59resubcld 11688 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108 eqid 2734 . . . . . . 7 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘(1 + 1))
109101peano2zd 12722 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110 nnuz 12918 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1112a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113112oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114113oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115112oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116114, 115oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117116adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122119, 121mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124122, 123addcld 11277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
12728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130127, 129remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131130, 126readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
13233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
13335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
134 nnrp 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
136133, 135rpmulcld 13090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
137126, 136ltaddrp2d 13108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138125, 126, 131, 132, 137lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139138gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140124, 139reccld 12033 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
14124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142119, 141mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143142, 123addcld 11277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
14441adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145143, 144reccld 12033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
14643a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
147 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
149146, 148nn0mulcld 12589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
150145, 149expcld 14182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151140, 150mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152111, 117, 118, 151fvmptd 7022 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
15528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156155, 128remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157156, 154readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
15833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
15935a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
160159, 134rpmulcld 13090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
161154, 160ltaddrp2d 13108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162153, 154, 157, 158, 161lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163162gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164163adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165124, 164reccld 12033 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166165, 150mulcld 11278 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167152, 166eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾𝑗) ∈ ℂ)
168 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
16960, 70, 168, 2stirlinglem9 46037 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170110, 11, 167, 169clim2ser 15687 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171 peano2nn 12275 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172 uznnssnn 12934 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
17310, 171, 172mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175174sseld 3993 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176175imdistani 568 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177176, 152syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
17828a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180178, 179remulcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181 1red 11259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182180, 181readdcld 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183173sseli 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184183, 163syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185182, 184rereccld 12091 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186185adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
18732adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
18841adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189187, 188rereccld 12091 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190176, 149syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
191189, 190reexpcld 14199 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192186, 191remulcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193177, 192eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
194 1red 11259 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
19528a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196176, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197195, 196remulcld 11288 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
19887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
20087a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201 1p1e2 12388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
202 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203201, 202eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204199, 178, 179, 200, 203letrd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205204adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206195, 196, 198, 205mulge0d 11837 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207197, 206ge0p1rpd 13104 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
20889a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209194, 207, 208divge0d 13114 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
21030adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211195, 210remulcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21294adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213195, 210, 198, 212mulge0d 11837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214211, 213ge0p1rpd 13104 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
215194, 214, 208divge0d 13114 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216189, 190, 215expge0d 14200 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217186, 191, 209, 216mulge0d 11837 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218217, 177breqtrrd 5175 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
219108, 109, 170, 193, 218iserge0 15693 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220 seq1 14051 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221100, 220mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222221oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223219, 222breqtrd 5173 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
2241, 107, 59, 223leadd1dd 11874 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
22550, 49eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226225addlidd 11459 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
22773recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
22884recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229227, 228subcld 11617 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230229, 225npcand 11621 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231224, 226, 2303brtr3d 5178 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
2321, 59, 85, 106, 231ltletrd 11418 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
23384, 73posdifd 11847 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁) ↔ 0 < ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234232, 233mpbird 257 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  seqcseq 14038  cexp 14098  !cfa 14308  csqrt 15268  eceu 16094  logclog 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434  df-log 26612  df-cxp 26613
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  46041
  Copyright terms: Public domain W3C validator