stirlinglem11 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem11 46075

Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem11.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem11.3	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem11	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11153	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
5	4	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
6	5	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
7	6	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
8	5	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
9	7, 8	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10		1nn 12173	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12		2cnd 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13		1cnd 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
15	14, 13	addcld 11169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16		2t1e2 12320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	oveq1i 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18		2p1e3 12299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
19	17, 18	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
20		3ne0 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
21	19, 20	eqnetri 2995	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 1) ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
23	15, 22	reccld 11927	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24		nncn 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
26	25, 13	addcld 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27		1red 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28		2re 12236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	29, 30	remulcld 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 27	readdcld 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33		0lt1 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35		2rp 12932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
37		nnrp 12939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 12987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	27, 38	ltaddrp2d 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
41	40	gt0ne0d 11718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
42	26, 41	reccld 11927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43		2nn0 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
45		1nn0 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
47	44, 46	nn0mulcld 12484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ₀)
48	42, 47	expcld 14087	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
49	23, 48	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 6957	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51		1re 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
52	28, 51	remulcli 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
53	52, 51	readdcli 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
54	53, 21	rereccli 11923	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
56	32, 41	rereccld 11985	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
57	56, 47	reexpcld 14104	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 11180	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
59	50, 58	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
61	60	stirlinglem2 46066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
62	61	relogcld 26565	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ)
63		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
64		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛log
65		nfmpt1 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
66	60, 65	nfcxfr 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
67	66, 63	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑁)
68	64, 67	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑁))
69		2fveq3 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
70		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
71	63, 68, 69, 70	fvmptf 6971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
72	62, 71	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
73	72, 62	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℝ)
74		peano2nn 12174	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
75	60	stirlinglem2 46066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
77	76	relogcld 26565	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑁 + 1)
79	66, 78	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
80	64, 79	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81		2fveq3 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
82	78, 80, 81, 70	fvmptf 6971	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
83	74, 77, 82	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
84	83, 77	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
85	73, 84	resubcld 11582	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
86	29, 27	remulcld 11180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87		0le2 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89		0le1 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
91	29, 27, 88, 90	mulge0d 11731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
92	86, 91	ge0p1rpd 13001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ⁺)
93	92	rpreccld 12981	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ⁺)
94	37	rpge0d 12975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
95	29, 30, 88, 94	mulge0d 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
96	31, 95	ge0p1rpd 13001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
97	96	rpreccld 12981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
98		2z 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100		1z 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
102	99, 101	zmulcld 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
103	97, 102	rpexpcld 14188	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ⁺)
104	93, 103	rpmulcld 12987	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ⁺)
105	50, 104	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpgt0d 12974	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
107	85, 59	resubcld 11582	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
109	101	peano2zd 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110		nnuz 12812	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
111	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113	112	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114	113	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115	112	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116	114, 115	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117	116	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119		2cnd 12240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120		nncn 12170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121	120	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122	119, 121	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123		1cnd 11145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124	122, 123	addcld 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
127	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128		nnre 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129	128	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130	127, 129	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131	130, 126	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
132	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
133	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
134		nnrp 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
135	134	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
136	133, 135	rpmulcld 12987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
137	126, 136	ltaddrp2d 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138	125, 126, 131, 132, 137	lttrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139	138	gt0ne0d 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140	124, 139	reccld 11927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
141	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142	119, 141	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143	142, 123	addcld 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
144	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145	143, 144	reccld 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
146	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ₀)
147		nnnn0 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
148	147	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
149	146, 148	nn0mulcld 12484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
150	145, 149	expcld 14087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151	140, 150	mulcld 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152	111, 117, 118, 151	fvmptd 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
155	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156	155, 128	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157	156, 154	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
158	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
159	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
160	159, 134	rpmulcld 12987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
161	154, 160	ltaddrp2d 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162	153, 154, 157, 158, 161	lttrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163	162	gt0ne0d 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164	163	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165	124, 164	reccld 11927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166	165, 150	mulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167	152, 166	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℂ)
168		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
169	60, 70, 168, 2	stirlinglem9 46073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170	110, 11, 167, 169	clim2ser 15597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171		peano2nn 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172		uznnssnn 12830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
173	10, 171, 172	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175	174	sseld 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176	175	imdistani 568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177	176, 152	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
178	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179		eluzelre 12780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180	178, 179	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181		1red 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182	180, 181	readdcld 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183	173	sseli 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184	183, 163	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185	182, 184	rereccld 11985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186	185	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
187	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
188	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189	187, 188	rereccld 11985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190	176, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
191	189, 190	reexpcld 14104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192	186, 191	remulcld 11180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193	177, 192	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
194		1red 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
195	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196	176, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197	195, 196	remulcld 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
198	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
200	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201		1p1e2 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
202		eluzle 12782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203	201, 202	eqbrtrrid 5138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204	199, 178, 179, 200, 203	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205	204	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206	195, 196, 198, 205	mulge0d 11731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207	197, 206	ge0p1rpd 13001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ⁺)
208	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209	194, 207, 208	divge0d 13011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
210	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211	195, 210	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
212	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213	195, 210, 198, 212	mulge0d 11731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214	211, 213	ge0p1rpd 13001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
215	194, 214, 208	divge0d 13011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216	189, 190, 215	expge0d 14105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217	186, 191, 209, 216	mulge0d 11731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218	217, 177	breqtrrd 5130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
219	108, 109, 170, 193, 218	iserge0 15603	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220		seq1 13955	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221	100, 220	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222	221	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223	219, 222	breqtrd 5128	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
224	1, 107, 59, 223	leadd1dd 11768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
225	50, 49	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226	225	addlidd 11351	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
227	73	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
228	84	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229	227, 228	subcld 11509	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230	229, 225	npcand 11513	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231	224, 226, 230	3brtr3d 5133	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
232	1, 59, 85, 106, 231	ltletrd 11310	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
233	84, 73	posdifd 11741	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234	232, 233	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ⊆ wss 3911 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 · cmul 11049 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 / cdiv 11811 ℕcn 12162 2c2 12217 3c3 12218 ℕ₀cn0 12418 ℤcz 12505 ℤ_≥cuz 12769 ℝ⁺crp 12927 seqcseq 13942 ↑cexp 14002 !cfa 14214 √csqrt 15175 eceu 16004 logclog 26496

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-inf2 9570 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122 ax-addf 11123

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-oadd 8415 df-er 8648 df-map 8778 df-pm 8779 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-xnn0 12492 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-ioo 13286 df-ioc 13287 df-ico 13288 df-icc 13289 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-fl 13730 df-mod 13808 df-seq 13943 df-exp 14003 df-fac 14215 df-bc 14244 df-hash 14272 df-shft 15009 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-limsup 15413 df-clim 15430 df-rlim 15431 df-sum 15629 df-ef 16009 df-e 16010 df-sin 16011 df-cos 16012 df-tan 16013 df-pi 16014 df-dvds 16199 df-struct 17093 df-sets 17110 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-ress 17177 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17361 df-topn 17362 df-0g 17380 df-gsum 17381 df-topgen 17382 df-pt 17383 df-prds 17386 df-xrs 17441 df-qtop 17446 df-imas 17447 df-xps 17449 df-mre 17523 df-mrc 17524 df-acs 17526 df-mgm 18549 df-sgrp 18628 df-mnd 18644 df-submnd 18693 df-mulg 18982 df-cntz 19231 df-cmn 19696 df-psmet 21288 df-xmet 21289 df-met 21290 df-bl 21291 df-mopn 21292 df-fbas 21293 df-fg 21294 df-cnfld 21297 df-top 22814 df-topon 22831 df-topsp 22853 df-bases 22866 df-cld 22939 df-ntr 22940 df-cls 22941 df-nei 23018 df-lp 23056 df-perf 23057 df-cn 23147 df-cnp 23148 df-haus 23235 df-cmp 23307 df-tx 23482 df-hmeo 23675 df-fil 23766 df-fm 23858 df-flim 23859 df-flf 23860 df-xms 24241 df-ms 24242 df-tms 24243 df-cncf 24804 df-limc 25800 df-dv 25801 df-ulm 26319 df-log 26498 df-cxp 26499

This theorem is referenced by: stirlinglem13 46077

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