stirlinglem11 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem11 40962

Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem11.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem11.3	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem11	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10301	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
5	4	oveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
6	5	oveq1d 6861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
7	6	oveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
8	5	oveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
9	7, 8	oveq12d 6864	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10		1nn 11291	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12		2cnd 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13		1cnd 10292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 10318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
15	14, 13	addcld 10317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16		2t1e2 11445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	oveq1i 6856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18		2p1e3 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
19	17, 18	eqtri 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
20		3ne0 11389	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
21	19, 20	eqnetri 3007	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 1) ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
23	15, 22	reccld 11052	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24		nncn 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 10318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
26	25, 13	addcld 10317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27		1red 10298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28		2re 11350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 11286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	29, 30	remulcld 10328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 27	readdcld 10327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33		0lt1 10808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35		2rp 12038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
37		nnrp 12046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 12091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	27, 38	ltaddrp2d 12109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 10456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
41	40	gt0ne0d 10850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
42	26, 41	reccld 11052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43		2nn0 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
45		1nn0 11560	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
47	44, 46	nn0mulcld 11607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ₀)
48	42, 47	expcld 13220	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
49	23, 48	mulcld 10318	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 6481	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51		1re 10297	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
52	28, 51	remulcli 10314	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
53	52, 51	readdcli 10313	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
54	53, 21	rereccli 11048	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
56	32, 41	rereccld 11110	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
57	56, 47	reexpcld 13237	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 10328	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
59	50, 58	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
61	60	stirlinglem2 40953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
62	61	relogcld 24674	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ)
63		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
64		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛log
65		nfmpt1 4908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
66	60, 65	nfcxfr 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
67	66, 63	nffv 6389	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑁)
68	64, 67	nffv 6389	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑁))
69		2fveq3 6384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
70		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
71	63, 68, 69, 70	fvmptf 6494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
72	62, 71	mpdan 678	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
73	72, 62	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℝ)
74		peano2nn 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
75	60	stirlinglem2 40953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
77	76	relogcld 24674	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑁 + 1)
79	66, 78	nffv 6389	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
80	64, 79	nffv 6389	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81		2fveq3 6384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
82	78, 80, 81, 70	fvmptf 6494	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
83	74, 77, 82	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
84	83, 77	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
85	73, 84	resubcld 10716	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
86	29, 27	remulcld 10328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87		0le2 11385	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89		0le1 10809	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
91	29, 27, 88, 90	mulge0d 10862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
92	86, 91	ge0p1rpd 12105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ⁺)
93	92	rpreccld 12085	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ⁺)
94	37	rpge0d 12079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
95	29, 30, 88, 94	mulge0d 10862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
96	31, 95	ge0p1rpd 12105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
97	96	rpreccld 12085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
98		2z 11661	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100		1z 11659	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
102	99, 101	zmulcld 11740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
103	97, 102	rpexpcld 13244	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ⁺)
104	93, 103	rpmulcld 12091	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ⁺)
105	50, 104	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpgt0d 12078	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
107	85, 59	resubcld 10716	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
109	101	peano2zd 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110		nnuz 11928	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
111	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112		oveq2 6854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113	112	oveq1d 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114	113	oveq2d 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115	112	oveq2d 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116	114, 115	oveq12d 6864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117	116	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119		2cnd 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120		nncn 11287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121	120	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122	119, 121	mulcld 10318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123		1cnd 10292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124	122, 123	addcld 10317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125		0red 10301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126		1red 10298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
127	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128		nnre 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129	128	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130	127, 129	remulcld 10328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131	130, 126	readdcld 10327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
132	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
133	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
134		nnrp 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
135	134	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
136	133, 135	rpmulcld 12091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
137	126, 136	ltaddrp2d 12109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138	125, 126, 131, 132, 137	lttrd 10456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139	138	gt0ne0d 10850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140	124, 139	reccld 11052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
141	24	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142	119, 141	mulcld 10318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143	142, 123	addcld 10317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
144	41	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145	143, 144	reccld 11052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
146	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ₀)
147		nnnn0 11550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
148	147	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
149	146, 148	nn0mulcld 11607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
150	145, 149	expcld 13220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151	140, 150	mulcld 10318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152	111, 117, 118, 151	fvmptd 6481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153		0red 10301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154		1red 10298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
155	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156	155, 128	remulcld 10328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157	156, 154	readdcld 10327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
158	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
159	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
160	159, 134	rpmulcld 12091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
161	154, 160	ltaddrp2d 12109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162	153, 154, 157, 158, 161	lttrd 10456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163	162	gt0ne0d 10850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164	163	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165	124, 164	reccld 11052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166	165, 150	mulcld 10318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167	152, 166	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℂ)
168		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
169	60, 70, 168, 2	stirlinglem9 40960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170	110, 11, 167, 169	clim2ser 14684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171		peano2nn 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172		uznnssnn 11940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
173	10, 171, 172	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175	174	sseld 3762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176	175	imdistani 564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177	176, 152	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
178	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179		eluzelre 11902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180	178, 179	remulcld 10328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181		1red 10298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182	180, 181	readdcld 10327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183	173	sseli 3759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184	183, 163	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185	182, 184	rereccld 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186	185	adantl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
187	32	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
188	41	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189	187, 188	rereccld 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190	176, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
191	189, 190	reexpcld 13237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192	186, 191	remulcld 10328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193	177, 192	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
194		1red 10298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
195	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196	176, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197	195, 196	remulcld 10328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
198	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199		0red 10301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
200	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201		1p1e2 11408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
202		eluzle 11904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203	201, 202	syl5eqbrr 4847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204	199, 178, 179, 200, 203	letrd 10452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205	204	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206	195, 196, 198, 205	mulge0d 10862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207	197, 206	ge0p1rpd 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ⁺)
208	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209	194, 207, 208	divge0d 12115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
210	30	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211	195, 210	remulcld 10328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
212	94	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213	195, 210, 198, 212	mulge0d 10862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214	211, 213	ge0p1rpd 12105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
215	194, 214, 208	divge0d 12115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216	189, 190, 215	expge0d 13238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217	186, 191, 209, 216	mulge0d 10862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218	217, 177	breqtrrd 4839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
219	108, 109, 170, 193, 218	iserge0 14690	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220		seq1 13026	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221	100, 220	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222	221	oveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223	219, 222	breqtrd 4837	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
224	1, 107, 59, 223	leadd1dd 10899	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
225	50, 49	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226	225	addid2d 10495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
227	73	recnd 10326	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
228	84	recnd 10326	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229	227, 228	subcld 10650	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230	229, 225	npcand 10654	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231	224, 226, 230	3brtr3d 4842	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
232	1, 59, 85, 106, 231	ltletrd 10455	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
233	84, 73	posdifd 10872	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234	232, 233	mpbird 248	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 384 = wceq 1652 ∈ wcel 2155 ≠ wne 2937 ⊆ wss 3734 class class class wbr 4811 ↦ cmpt 4890 ‘cfv 6070 (class class class)co 6846 ℂcc 10191 ℝcr 10192 0cc0 10193 1c1 10194 + caddc 10196 · cmul 10198 < clt 10332 ≤ cle 10333 − cmin 10524 / cdiv 10942 ℕcn 11278 2c2 11331 3c3 11332 ℕ₀cn0 11542 ℤcz 11628 ℤ_≥cuz 11891 ℝ⁺crp 12033 seqcseq 13013 ↑cexp 13072 !cfa 13269 √csqrt 14272 eceu 15089 logclog 24606

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1890 ax-4 1904 ax-5 2005 ax-6 2070 ax-7 2105 ax-8 2157 ax-9 2164 ax-10 2183 ax-11 2198 ax-12 2211 ax-13 2352 ax-ext 2743 ax-rep 4932 ax-sep 4943 ax-nul 4951 ax-pow 5003 ax-pr 5064 ax-un 7151 ax-inf2 8757 ax-cnex 10249 ax-resscn 10250 ax-1cn 10251 ax-icn 10252 ax-addcl 10253 ax-addrcl 10254 ax-mulcl 10255 ax-mulrcl 10256 ax-mulcom 10257 ax-addass 10258 ax-mulass 10259 ax-distr 10260 ax-i2m1 10261 ax-1ne0 10262 ax-1rid 10263 ax-rnegex 10264 ax-rrecex 10265 ax-cnre 10266 ax-pre-lttri 10267 ax-pre-lttrn 10268 ax-pre-ltadd 10269 ax-pre-mulgt0 10270 ax-pre-sup 10271 ax-addf 10272 ax-mulf 10273

This theorem depends on definitions: df-bi 198 df-an 385 df-or 874 df-3or 1108 df-3an 1109 df-tru 1656 df-fal 1666 df-ex 1875 df-nf 1879 df-sb 2063 df-mo 2565 df-eu 2582 df-clab 2752 df-cleq 2758 df-clel 2761 df-nfc 2896 df-ne 2938 df-nel 3041 df-ral 3060 df-rex 3061 df-reu 3062 df-rmo 3063 df-rab 3064 df-v 3352 df-sbc 3599 df-csb 3694 df-dif 3737 df-un 3739 df-in 3741 df-ss 3748 df-pss 3750 df-nul 4082 df-if 4246 df-pw 4319 df-sn 4337 df-pr 4339 df-tp 4341 df-op 4343 df-uni 4597 df-int 4636 df-iun 4680 df-iin 4681 df-br 4812 df-opab 4874 df-mpt 4891 df-tr 4914 df-id 5187 df-eprel 5192 df-po 5200 df-so 5201 df-fr 5238 df-se 5239 df-we 5240 df-xp 5285 df-rel 5286 df-cnv 5287 df-co 5288 df-dm 5289 df-rn 5290 df-res 5291 df-ima 5292 df-pred 5867 df-ord 5913 df-on 5914 df-lim 5915 df-suc 5916 df-iota 6033 df-fun 6072 df-fn 6073 df-f 6074 df-f1 6075 df-fo 6076 df-f1o 6077 df-fv 6078 df-isom 6079 df-riota 6807 df-ov 6849 df-oprab 6850 df-mpt2 6851 df-of 7099 df-om 7268 df-1st 7370 df-2nd 7371 df-supp 7502 df-wrecs 7614 df-recs 7676 df-rdg 7714 df-1o 7768 df-2o 7769 df-oadd 7772 df-er 7951 df-map 8066 df-pm 8067 df-ixp 8118 df-en 8165 df-dom 8166 df-sdom 8167 df-fin 8168 df-fsupp 8487 df-fi 8528 df-sup 8559 df-inf 8560 df-oi 8626 df-card 9020 df-cda 9247 df-pnf 10334 df-mnf 10335 df-xr 10336 df-ltxr 10337 df-le 10338 df-sub 10526 df-neg 10527 df-div 10943 df-nn 11279 df-2 11339 df-3 11340 df-4 11341 df-5 11342 df-6 11343 df-7 11344 df-8 11345 df-9 11346 df-n0 11543 df-xnn0 11615 df-z 11629 df-dec 11746 df-uz 11892 df-q 11995 df-rp 12034 df-xneg 12151 df-xadd 12152 df-xmul 12153 df-ioo 12386 df-ioc 12387 df-ico 12388 df-icc 12389 df-fz 12539 df-fzo 12679 df-fl 12806 df-mod 12882 df-seq 13014 df-exp 13073 df-fac 13270 df-bc 13299 df-hash 13327 df-shft 14106 df-cj 14138 df-re 14139 df-im 14140 df-sqrt 14274 df-abs 14275 df-limsup 14501 df-clim 14518 df-rlim 14519 df-sum 14716 df-ef 15094 df-e 15095 df-sin 15096 df-cos 15097 df-tan 15098 df-pi 15099 df-dvds 15280 df-struct 16146 df-ndx 16147 df-slot 16148 df-base 16150 df-sets 16151 df-ress 16152 df-plusg 16241 df-mulr 16242 df-starv 16243 df-sca 16244 df-vsca 16245 df-ip 16246 df-tset 16247 df-ple 16248 df-ds 16250 df-unif 16251 df-hom 16252 df-cco 16253 df-rest 16363 df-topn 16364 df-0g 16382 df-gsum 16383 df-topgen 16384 df-pt 16385 df-prds 16388 df-xrs 16442 df-qtop 16447 df-imas 16448 df-xps 16450 df-mre 16526 df-mrc 16527 df-acs 16529 df-mgm 17522 df-sgrp 17564 df-mnd 17575 df-submnd 17616 df-mulg 17822 df-cntz 18027 df-cmn 18475 df-psmet 20025 df-xmet 20026 df-met 20027 df-bl 20028 df-mopn 20029 df-fbas 20030 df-fg 20031 df-cnfld 20034 df-top 20992 df-topon 21009 df-topsp 21031 df-bases 21044 df-cld 21117 df-ntr 21118 df-cls 21119 df-nei 21196 df-lp 21234 df-perf 21235 df-cn 21325 df-cnp 21326 df-haus 21413 df-cmp 21484 df-tx 21659 df-hmeo 21852 df-fil 21943 df-fm 22035 df-flim 22036 df-flf 22037 df-xms 22418 df-ms 22419 df-tms 22420 df-cncf 22974 df-limc 23935 df-dv 23936 df-ulm 24436 df-log 24608 df-cxp 24609

This theorem is referenced by: stirlinglem13 40964

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