stirlinglem11 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem11 41911

Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem11.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem11.3	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem11	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10490	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
5	4	oveq2d 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
6	5	oveq1d 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
7	6	oveq2d 7032	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
8	5	oveq2d 7032	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
9	7, 8	oveq12d 7034	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10		1nn 11497	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12		2cnd 11563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13		1cnd 10482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 10507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
15	14, 13	addcld 10506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16		2t1e2 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	oveq1i 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18		2p1e3 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
19	17, 18	eqtri 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
20		3ne0 11591	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
21	19, 20	eqnetri 3054	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 1) ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
23	15, 22	reccld 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24		nncn 11494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 10507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
26	25, 13	addcld 10506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27		1red 10488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28		2re 11559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 11493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	29, 30	remulcld 10517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 27	readdcld 10516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33		0lt1 11010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35		2rp 12244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
37		nnrp 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 12297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	27, 38	ltaddrp2d 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 10648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
41	40	gt0ne0d 11052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
42	26, 41	reccld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43		2nn0 11762	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
45		1nn0 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
47	44, 46	nn0mulcld 11808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ₀)
48	42, 47	expcld 13360	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
49	23, 48	mulcld 10507	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 6641	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51		1re 10487	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
52	28, 51	remulcli 10503	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
53	52, 51	readdcli 10502	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
54	53, 21	rereccli 11253	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
56	32, 41	rereccld 11315	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
57	56, 47	reexpcld 13377	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 10517	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
59	50, 58	eqeltrd 2883	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
61	60	stirlinglem2 41902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
62	61	relogcld 24887	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ)
63		nfcv 2949	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
64		nfcv 2949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛log
65		nfmpt1 5058	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
66	60, 65	nfcxfr 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
67	66, 63	nffv 6548	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑁)
68	64, 67	nffv 6548	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑁))
69		2fveq3 6543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
70		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
71	63, 68, 69, 70	fvmptf 6655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
72	62, 71	mpdan 683	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
73	72, 62	eqeltrd 2883	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℝ)
74		peano2nn 11498	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
75	60	stirlinglem2 41902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
77	76	relogcld 24887	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78		nfcv 2949	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑁 + 1)
79	66, 78	nffv 6548	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
80	64, 79	nffv 6548	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81		2fveq3 6543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
82	78, 80, 81, 70	fvmptf 6655	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
83	74, 77, 82	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
84	83, 77	eqeltrd 2883	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
85	73, 84	resubcld 10916	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
86	29, 27	remulcld 10517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87		0le2 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89		0le1 11011	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
91	29, 27, 88, 90	mulge0d 11065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
92	86, 91	ge0p1rpd 12311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ⁺)
93	92	rpreccld 12291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ⁺)
94	37	rpge0d 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
95	29, 30, 88, 94	mulge0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
96	31, 95	ge0p1rpd 12311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
97	96	rpreccld 12291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
98		2z 11863	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100		1z 11861	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
102	99, 101	zmulcld 11942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
103	97, 102	rpexpcld 13458	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ⁺)
104	93, 103	rpmulcld 12297	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ⁺)
105	50, 104	eqeltrd 2883	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpgt0d 12284	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
107	85, 59	resubcld 10916	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
109	101	peano2zd 11939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110		nnuz 12130	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
111	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113	112	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114	113	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115	112	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116	114, 115	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120		nncn 11494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122	119, 121	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123		1cnd 10482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124	122, 123	addcld 10506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125		0red 10490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126		1red 10488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
127	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128		nnre 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130	127, 129	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131	130, 126	readdcld 10516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
132	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
133	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
134		nnrp 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
136	133, 135	rpmulcld 12297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
137	126, 136	ltaddrp2d 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138	125, 126, 131, 132, 137	lttrd 10648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139	138	gt0ne0d 11052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140	124, 139	reccld 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
141	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142	119, 141	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143	142, 123	addcld 10506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
144	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145	143, 144	reccld 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
146	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ₀)
147		nnnn0 11752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
149	146, 148	nn0mulcld 11808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
150	145, 149	expcld 13360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151	140, 150	mulcld 10507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152	111, 117, 118, 151	fvmptd 6641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153		0red 10490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154		1red 10488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
155	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156	155, 128	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157	156, 154	readdcld 10516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
158	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
159	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
160	159, 134	rpmulcld 12297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
161	154, 160	ltaddrp2d 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162	153, 154, 157, 158, 161	lttrd 10648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163	162	gt0ne0d 11052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164	163	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165	124, 164	reccld 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166	165, 150	mulcld 10507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167	152, 166	eqeltrd 2883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℂ)
168		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
169	60, 70, 168, 2	stirlinglem9 41909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170	110, 11, 167, 169	clim2ser 14845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171		peano2nn 11498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172		uznnssnn 12144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
173	10, 171, 172	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175	174	sseld 3888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176	175	imdistani 569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177	176, 152	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
178	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179		eluzelre 12104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180	178, 179	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181		1red 10488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182	180, 181	readdcld 10516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183	173	sseli 3885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184	183, 163	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185	182, 184	rereccld 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186	185	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
187	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
188	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189	187, 188	rereccld 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190	176, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
191	189, 190	reexpcld 13377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192	186, 191	remulcld 10517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193	177, 192	eqeltrd 2883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
194		1red 10488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
195	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196	176, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197	195, 196	remulcld 10517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
198	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199		0red 10490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
200	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201		1p1e2 11610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
202		eluzle 12106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203	201, 202	eqbrtrrid 4998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204	199, 178, 179, 200, 203	letrd 10644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205	204	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206	195, 196, 198, 205	mulge0d 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207	197, 206	ge0p1rpd 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ⁺)
208	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209	194, 207, 208	divge0d 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
210	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211	195, 210	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
212	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213	195, 210, 198, 212	mulge0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214	211, 213	ge0p1rpd 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
215	194, 214, 208	divge0d 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216	189, 190, 215	expge0d 13378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217	186, 191, 209, 216	mulge0d 11065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218	217, 177	breqtrrd 4990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
219	108, 109, 170, 193, 218	iserge0 14851	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220		seq1 13232	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221	100, 220	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222	221	oveq2d 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223	219, 222	breqtrd 4988	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
224	1, 107, 59, 223	leadd1dd 11102	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
225	50, 49	eqeltrd 2883	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226	225	addid2d 10688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
227	73	recnd 10515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
228	84	recnd 10515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229	227, 228	subcld 10845	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230	229, 225	npcand 10849	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231	224, 226, 230	3brtr3d 4993	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
232	1, 59, 85, 106, 231	ltletrd 10647	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
233	84, 73	posdifd 11075	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234	232, 233	mpbird 258	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1522 ∈ wcel 2081 ≠ wne 2984 ⊆ wss 3859 class class class wbr 4962 ↦ cmpt 5041 ‘cfv 6225 (class class class)co 7016 ℂcc 10381 ℝcr 10382 0cc0 10383 1c1 10384 + caddc 10386 · cmul 10388 < clt 10521 ≤ cle 10522 − cmin 10717 / cdiv 11145 ℕcn 11486 2c2 11540 3c3 11541 ℕ₀cn0 11745 ℤcz 11829 ℤ_≥cuz 12093 ℝ⁺crp 12239 seqcseq 13219 ↑cexp 13279 !cfa 13483 √csqrt 14426 eceu 15249 logclog 24819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1777 ax-4 1791 ax-5 1888 ax-6 1947 ax-7 1992 ax-8 2083 ax-9 2091 ax-10 2112 ax-11 2126 ax-12 2141 ax-13 2344 ax-ext 2769 ax-rep 5081 ax-sep 5094 ax-nul 5101 ax-pow 5157 ax-pr 5221 ax-un 7319 ax-inf2 8950 ax-cnex 10439 ax-resscn 10440 ax-1cn 10441 ax-icn 10442 ax-addcl 10443 ax-addrcl 10444 ax-mulcl 10445 ax-mulrcl 10446 ax-mulcom 10447 ax-addass 10448 ax-mulass 10449 ax-distr 10450 ax-i2m1 10451 ax-1ne0 10452 ax-1rid 10453 ax-rnegex 10454 ax-rrecex 10455 ax-cnre 10456 ax-pre-lttri 10457 ax-pre-lttrn 10458 ax-pre-ltadd 10459 ax-pre-mulgt0 10460 ax-pre-sup 10461 ax-addf 10462 ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1525 df-fal 1535 df-ex 1762 df-nf 1766 df-sb 2043 df-mo 2576 df-eu 2612 df-clab 2776 df-cleq 2788 df-clel 2863 df-nfc 2935 df-ne 2985 df-nel 3091 df-ral 3110 df-rex 3111 df-reu 3112 df-rmo 3113 df-rab 3114 df-v 3439 df-sbc 3707 df-csb 3812 df-dif 3862 df-un 3864 df-in 3866 df-ss 3874 df-pss 3876 df-nul 4212 df-if 4382 df-pw 4455 df-sn 4473 df-pr 4475 df-tp 4477 df-op 4479 df-uni 4746 df-int 4783 df-iun 4827 df-iin 4828 df-br 4963 df-opab 5025 df-mpt 5042 df-tr 5064 df-id 5348 df-eprel 5353 df-po 5362 df-so 5363 df-fr 5402 df-se 5403 df-we 5404 df-xp 5449 df-rel 5450 df-cnv 5451 df-co 5452 df-dm 5453 df-rn 5454 df-res 5455 df-ima 5456 df-pred 6023 df-ord 6069 df-on 6070 df-lim 6071 df-suc 6072 df-iota 6189 df-fun 6227 df-fn 6228 df-f 6229 df-f1 6230 df-fo 6231 df-f1o 6232 df-fv 6233 df-isom 6234 df-riota 6977 df-ov 7019 df-oprab 7020 df-mpo 7021 df-of 7267 df-om 7437 df-1st 7545 df-2nd 7546 df-supp 7682 df-wrecs 7798 df-recs 7860 df-rdg 7898 df-1o 7953 df-2o 7954 df-oadd 7957 df-er 8139 df-map 8258 df-pm 8259 df-ixp 8311 df-en 8358 df-dom 8359 df-sdom 8360 df-fin 8361 df-fsupp 8680 df-fi 8721 df-sup 8752 df-inf 8753 df-oi 8820 df-card 9214 df-pnf 10523 df-mnf 10524 df-xr 10525 df-ltxr 10526 df-le 10527 df-sub 10719 df-neg 10720 df-div 11146 df-nn 11487 df-2 11548 df-3 11549 df-4 11550 df-5 11551 df-6 11552 df-7 11553 df-8 11554 df-9 11555 df-n0 11746 df-xnn0 11816 df-z 11830 df-dec 11948 df-uz 12094 df-q 12198 df-rp 12240 df-xneg 12357 df-xadd 12358 df-xmul 12359 df-ioo 12592 df-ioc 12593 df-ico 12594 df-icc 12595 df-fz 12743 df-fzo 12884 df-fl 13012 df-mod 13088 df-seq 13220 df-exp 13280 df-fac 13484 df-bc 13513 df-hash 13541 df-shft 14260 df-cj 14292 df-re 14293 df-im 14294 df-sqrt 14428 df-abs 14429 df-limsup 14662 df-clim 14679 df-rlim 14680 df-sum 14877 df-ef 15254 df-e 15255 df-sin 15256 df-cos 15257 df-tan 15258 df-pi 15259 df-dvds 15441 df-struct 16314 df-ndx 16315 df-slot 16316 df-base 16318 df-sets 16319 df-ress 16320 df-plusg 16407 df-mulr 16408 df-starv 16409 df-sca 16410 df-vsca 16411 df-ip 16412 df-tset 16413 df-ple 16414 df-ds 16416 df-unif 16417 df-hom 16418 df-cco 16419 df-rest 16525 df-topn 16526 df-0g 16544 df-gsum 16545 df-topgen 16546 df-pt 16547 df-prds 16550 df-xrs 16604 df-qtop 16609 df-imas 16610 df-xps 16612 df-mre 16686 df-mrc 16687 df-acs 16689 df-mgm 17681 df-sgrp 17723 df-mnd 17734 df-submnd 17775 df-mulg 17982 df-cntz 18188 df-cmn 18635 df-psmet 20219 df-xmet 20220 df-met 20221 df-bl 20222 df-mopn 20223 df-fbas 20224 df-fg 20225 df-cnfld 20228 df-top 21186 df-topon 21203 df-topsp 21225 df-bases 21238 df-cld 21311 df-ntr 21312 df-cls 21313 df-nei 21390 df-lp 21428 df-perf 21429 df-cn 21519 df-cnp 21520 df-haus 21607 df-cmp 21679 df-tx 21854 df-hmeo 22047 df-fil 22138 df-fm 22230 df-flim 22231 df-flf 22232 df-xms 22613 df-ms 22614 df-tms 22615 df-cncf 23169 df-limc 24147 df-dv 24148 df-ulm 24648 df-log 24821 df-cxp 24822

This theorem is referenced by: stirlinglem13 41913

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