stirlinglem11 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem11 46658

Description: 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem11.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem11.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem11.3	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem11	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem11 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
4		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
5	4	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
6	5	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 1) + 1))
7	6	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 1) + 1)))
8	5	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)))
9	7, 8	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 1) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
10		1nn 12221	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
12		2cnd 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
13		1cnd 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
15	14, 13	addcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℂ)
16		2t1e2 12380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	oveq1i 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
18		2p1e3 12359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 1) = 3
19	17, 18	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
20		3ne0 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
21	19, 20	eqnetri 3027	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 1) ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ≠ 0)
23	15, 22	reccld 11960	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℂ)
24		nncn 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
26	25, 13	addcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
27		1red 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28		2re 12292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 12217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	29, 30	remulcld 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 27	readdcld 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
33		0lt1 11709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
35		2rp 12998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
37		nnrp 13005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	27, 38	ltaddrp2d 13071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
41	40	gt0ne0d 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
42	26, 41	reccld 11960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43		2nn0 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
45		1nn0 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
47	44, 46	nn0mulcld 12547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℕ₀)
48	42, 47	expcld 14159	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℂ)
49	23, 48	mulcld 11202	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℂ)
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 6983	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) = ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))))
51		1re 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
52	28, 51	remulcli 11198	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
53	52, 51	readdcli 11197	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ
54	53, 21	rereccli 11956	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ)
56	32, 41	rereccld 12018	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
57	56, 47	reexpcld 14176	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 11212	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ)
59	50, 58	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ)
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
61	60	stirlinglem2 46649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
62	61	relogcld 26688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ)
63		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
64		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛log
65		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
66	60, 65	nfcxfr 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
67	66, 63	nffv 6877	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑁)
68	64, 67	nffv 6877	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑁))
69		2fveq3 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
70		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
71	63, 68, 69, 70	fvmptf 6997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
72	62, 71	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
73	72, 62	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℝ)
74		peano2nn 12222	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
75	60	stirlinglem2 46649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
77	76	relogcld 26688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
78		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑁 + 1)
79	66, 78	nffv 6877	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑁 + 1))
80	64, 79	nffv 6877	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))
81		2fveq3 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
82	78, 80, 81, 70	fvmptf 6997	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
83	74, 77, 82	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
84	83, 77	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
85	73, 84	resubcld 11615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
86	29, 27	remulcld 11212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
87		0le2 12320	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
89		0le1 11710	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
91	29, 27, 88, 90	mulge0d 11764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 1))
92	86, 91	ge0p1rpd 13067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 1) + 1) ∈ ℝ⁺)
93	92	rpreccld 13047	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 1) + 1)) ∈ ℝ⁺)
94	37	rpge0d 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
95	29, 30, 88, 94	mulge0d 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
96	31, 95	ge0p1rpd 13067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
97	96	rpreccld 13047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
98		2z 12603	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
100		1z 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
102	99, 101	zmulcld 12683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℤ)
103	97, 102	rpexpcld 14260	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1)) ∈ ℝ⁺)
104	93, 103	rpmulcld 13053	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 1) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 1))) ∈ ℝ⁺)
105	50, 104	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpgt0d 13040	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝐾‘1))
107	85, 59	resubcld 11615	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) ∈ ℝ)
108		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
109	101	peano2zd 12680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℤ)
110		nnuz 12878	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
111	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
112		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
113	112	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
114	113	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
115	112	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
116	114, 115	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
117	116	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
118		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
119		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
120		nncn 12218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
121	120	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
122	119, 121	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
123		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
124	122, 123	addcld 11201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
125		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
126		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
127	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
128		nnre 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
129	128	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
130	127, 129	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
131	130, 126	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
132	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 1)
133	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
134		nnrp 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
135	134	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ⁺)
136	133, 135	rpmulcld 13053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
137	126, 136	ltaddrp2d 13071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
138	125, 126, 131, 132, 137	lttrd 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
139	138	gt0ne0d 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
140	124, 139	reccld 11960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
141	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
142	119, 141	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
143	142, 123	addcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
144	41	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
145	143, 144	reccld 11960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
146	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ₀)
147		nnnn0 12488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
148	147	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
149	146, 148	nn0mulcld 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
150	145, 149	expcld 14159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
151	140, 150	mulcld 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
152	111, 117, 118, 151	fvmptd 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
153		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
154		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
155	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
156	155, 128	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
157	156, 154	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
158	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
159	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
160	159, 134	rpmulcld 13053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ⁺)
161	154, 160	ltaddrp2d 13071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
162	153, 154, 157, 158, 161	lttrd 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
163	162	gt0ne0d 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
164	163	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
165	124, 164	reccld 11960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
166	165, 150	mulcld 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℂ)
167	152, 166	eqeltrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℂ)
168		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
169	60, 70, 168, 2	stirlinglem9 46656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
170	110, 11, 167, 169	clim2ser 15682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(1 + 1)( + , 𝐾) ⇝ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
171		peano2nn 12222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
172		uznnssnn 12896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
173	10, 171, 172	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(1 + 1)) ⊆ ℕ)
175	174	sseld 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ))
176	175	imdistani 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ))
177	176, 152	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) = ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
178	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ∈ ℝ)
179		eluzelre 12850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
180	178, 179	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
181		1red 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
182	180, 181	readdcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
183	173	sseli 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
184	183, 163	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
185	182, 184	rereccld 12018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
186	185	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
187	32	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
188	41	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
189	187, 188	rereccld 12018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190	176, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
191	189, 190	reexpcld 14176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)) ∈ ℝ)
192	186, 191	remulcld 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))) ∈ ℝ)
193	177, 192	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
194		1red 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
195	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
196	176, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
197	195, 196	remulcld 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
198	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 2)
199		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
200	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 2)
201		1p1e2 12341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
202		eluzle 12852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → (1 + 1) ≤ 𝑗)
203	201, 202	eqbrtrrid 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 2 ≤ 𝑗)
204	199, 178, 179, 200, 203	letrd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
205	204	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
206	195, 196, 198, 205	mulge0d 11764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
207	197, 206	ge0p1rpd 13067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ⁺)
208	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 1)
209	194, 207, 208	divge0d 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑗) + 1)))
210	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
211	195, 210	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
212	94	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ 𝑁)
213	195, 210, 198, 212	mulge0d 11764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
214	211, 213	ge0p1rpd 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
215	194, 214, 208	divge0d 13077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
216	189, 190, 215	expge0d 14177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗)))
217	186, 191, 209, 216	mulge0d 11764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑗))))
218	217, 177	breqtrrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
219	108, 109, 170, 193, 218	iserge0 15688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)))
220		seq1 14027	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
221	100, 220	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
222	221	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (seq1( + , 𝐾)‘1)) = (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
223	219, 222	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)))
224	1, 107, 59, 223	leadd1dd 11801	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) ≤ ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)))
225	50, 49	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ∈ ℂ)
226	225	addlidd 11384	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (𝐾‘1)) = (𝐾‘1))
227	73	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) ∈ ℂ)
228	84	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
229	227, 228	subcld 11542	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
230	229, 225	npcand 11546	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) − (𝐾‘1)) + (𝐾‘1)) = ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
231	224, 226, 230	3brtr3d 5131	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾‘1) ≤ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
232	1, 59, 85, 106, 231	ltletrd 11343	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
233	84, 73	posdifd 11774	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1)))))
234	232, 233	mpbird 259	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) < (𝐵‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ⊆ wss 3904 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ℂcc 11071 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 · cmul 11078 < clt 11216 ≤ cle 11217 − cmin 11414 / cdiv 11844 ℕcn 12210 2c2 12272 3c3 12273 ℕ₀cn0 12481 ℤcz 12568 ℤ_≥cuz 12839 ℝ⁺crp 12993 seqcseq 14014 ↑cexp 14074 !cfa 14286 √csqrt 15260 eceu 16092 logclog 26619

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-inf2 9596 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151 ax-addf 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-iin 4952 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-se 5601 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-of 7660 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8678 df-map 8810 df-pm 8811 df-ixp 8880 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-fsupp 9308 df-fi 9357 df-sup 9388 df-inf 9389 df-oi 9458 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12482 df-xnn0 12555 df-z 12569 df-dec 12689 df-uz 12840 df-q 12950 df-rp 12994 df-xneg 13114 df-xadd 13115 df-xmul 13116 df-ioo 13353 df-ioc 13354 df-ico 13355 df-icc 13356 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-fl 13802 df-mod 13880 df-seq 14015 df-exp 14075 df-fac 14287 df-bc 14316 df-hash 14344 df-shft 15080 df-cj 15126 df-re 15127 df-im 15128 df-sqrt 15262 df-abs 15263 df-limsup 15498 df-clim 15515 df-rlim 15516 df-sum 15714 df-ef 16097 df-e 16098 df-sin 16099 df-cos 16100 df-tan 16101 df-pi 16102 df-dvds 16287 df-struct 17183 df-sets 17200 df-slot 17218 df-ndx 17230 df-base 17246 df-ress 17267 df-plusg 17299 df-mulr 17300 df-starv 17301 df-sca 17302 df-vsca 17303 df-ip 17304 df-tset 17305 df-ple 17306 df-ds 17308 df-unif 17309 df-hom 17310 df-cco 17311 df-rest 17451 df-topn 17452 df-0g 17470 df-gsum 17471 df-topgen 17472 df-pt 17473 df-prds 17476 df-xrs 17532 df-qtop 17537 df-imas 17538 df-xps 17540 df-mre 17614 df-mrc 17615 df-acs 17617 df-mgm 18674 df-sgrp 18753 df-mnd 18769 df-submnd 18818 df-mulg 19110 df-cntz 19357 df-cmn 19822 df-psmet 21416 df-xmet 21417 df-met 21418 df-bl 21419 df-mopn 21420 df-fbas 21421 df-fg 21422 df-cnfld 21425 df-top 22954 df-topon 22971 df-topsp 22993 df-bases 23006 df-cld 23079 df-ntr 23080 df-cls 23081 df-nei 23158 df-lp 23196 df-perf 23197 df-cn 23287 df-cnp 23288 df-haus 23375 df-cmp 23447 df-tx 23622 df-hmeo 23815 df-fil 23906 df-fm 23998 df-flim 23999 df-flf 24000 df-xms 24380 df-ms 24381 df-tms 24382 df-cncf 24940 df-limc 25928 df-dv 25929 df-ulm 26440 df-log 26621 df-cxp 26622

This theorem is referenced by: stirlinglem13 46660

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