Theorem logdiflbnd 26943

Description: Lower bound on the difference of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
logdiflbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (𝐴 + 1)) ≤ ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))

Proof of Theorem logdiflbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13012	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpge0 13017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	ge0p1rpd 13076	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
4	3	rprecred 13057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
5		1red 11243	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
6		0le1 11765	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
8	5, 3, 7	divge0d 13086	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / (𝐴 + 1)))
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	5, 9	ltaddrp2d 13080	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (𝐴 + 1))
11	1, 5	readdcld 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
13	12	mulridd 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 + 1) · 1) = (𝐴 + 1))
14	10, 13	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < ((𝐴 + 1) · 1))
15	5, 5, 3	ltdivmuld 13097	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 / (𝐴 + 1)) < 1 ↔ 1 < ((𝐴 + 1) · 1)))
16	14, 15	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (𝐴 + 1)) < 1)
17	4, 8, 16	eflegeo 16095	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / (𝐴 + 1))) ≤ (1 / (1 − (1 / (𝐴 + 1)))))
18	5	recnd 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
19	3	rpne0d 13051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 1) ≠ 0)
20	12, 18, 12, 19	divsubdird 12057	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 + 1) − 1) / (𝐴 + 1)) = (((𝐴 + 1) / (𝐴 + 1)) − (1 / (𝐴 + 1))))
21	1	recnd 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21, 18	pncand 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
23	22	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 + 1) − 1) / (𝐴 + 1)) = (𝐴 / (𝐴 + 1)))
24	12, 19	dividd 12016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 + 1) / (𝐴 + 1)) = 1)
25	24	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 + 1) / (𝐴 + 1)) − (1 / (𝐴 + 1))) = (1 − (1 / (𝐴 + 1))))
26	20, 23, 25	3eqtr3rd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 − (1 / (𝐴 + 1))) = (𝐴 / (𝐴 + 1)))
27	26	oveq2d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (1 − (1 / (𝐴 + 1)))) = (1 / (𝐴 / (𝐴 + 1))))
28		rpne0 13020	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
29	21, 12, 28, 19	recdivd 12035	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (𝐴 / (𝐴 + 1))) = ((𝐴 + 1) / 𝐴))
30	27, 29	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (1 − (1 / (𝐴 + 1)))) = ((𝐴 + 1) / 𝐴))
31	17, 30	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / (𝐴 + 1))) ≤ ((𝐴 + 1) / 𝐴))
32	4	rpefcld 16079	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / (𝐴 + 1))) ∈ ℝ+)
33	3, 9	rpdivcld 13063	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 + 1) / 𝐴) ∈ ℝ+)
34	32, 33	logled 26577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(1 / (𝐴 + 1))) ≤ ((𝐴 + 1) / 𝐴) ↔ (log‘(exp‘(1 / (𝐴 + 1)))) ≤ (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴))))
35	31, 34	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘(1 / (𝐴 + 1)))) ≤ (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)))
36	4	relogefd 26578	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘(1 / (𝐴 + 1)))) = (1 / (𝐴 + 1)))
37	3, 9	relogdivd 26576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
38	35, 36, 37	3brtr3d 5174	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (𝐴 + 1)) ≤ ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141   < clt 11276   ≤ cle 11277   − cmin 11472   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13004  expce 16035  logclog 26504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem3  26979