Theorem pntlemp 26194

Description: Lemma for pnt 26198. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlemp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlemp.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlemp.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlemp.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlemp.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
pntlemp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlemp.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlemp.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlemp.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlemp.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlemp.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pntlemp	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑣,𝐹,𝑤,𝑦,𝑧   𝑒,𝐾,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑒,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐸,𝑎,𝑒,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑒,𝐿,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐵,𝑒,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑈,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑌(𝑥,𝑢,𝑒)

Proof of Theorem pntlemp

Dummy variables 𝑡 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐵 / 𝑒) = (𝐵 / 𝐸))
2	1	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
3		pntlemp.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
4	2, 3	eqtr4di 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = 𝐾)
5	4	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞) = (𝐾[,)+∞))
6		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐿 · 𝑒) = (𝐿 · 𝐸))
7	6	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (1 + (𝐿 · 𝑒)) = (1 + (𝐿 · 𝐸)))
8	7	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))
9	8	breq1d 5040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
10	9	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
11	8	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)))
12		breq2 5034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
13	11, 12	raleqbidv 3354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
14	10, 13	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	15	ralbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17	5, 16	raleqbidv 3354	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
18	17	rexbidv 3256	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
19		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝑥(,)+∞) = (𝑡(,)+∞))
20	19	raleqdv 3364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
21	20	ralbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
22	21	cbvrexvw 3397	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
23	18, 22	syl6bb 290	. . 3 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
24		pntlemp.K	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
25		pntlem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
26		pntlem3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
27		pntlemp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
28		pntlemp.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
29		pntlemp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
30		pntlemp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
31		pntlemp.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
32		pntlemp.u2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
33		pntlemp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 3	pntlemc 26179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
35	34	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
36	35	simp1d 1139	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
37	23, 24, 36	rspcdva 3573	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
38		pntlemp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
39	38	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12419	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41	38	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
42	25	pntrlog2bnd 26168	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
43	40, 41, 42	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
44		reeanv 3320	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) ↔ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))
45	26	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
46	27	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
47	28	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
48	31	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
49	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
50	38	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
51		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
52		rpaddcl 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+)
53	39, 51, 52	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+)
54		ltaddrp 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))
55	40, 51, 54	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))
56	53, 55	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)))
57	56	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)))
58		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
59		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐))))) = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐)))))
60		pntlemp.U	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
61	60	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
62		rpxr 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → 𝑡 ∈ ℝ*)
63	62	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ*)
64		rpre 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → 𝑡 ∈ ℝ)
65	64	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ)
66	53	rpred 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ)
67	39	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
68	65, 67	ltaddrp2d 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 < (𝑌 + 𝑡))
69	65, 66, 68	ltled 10777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡))
70		iooss1 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡)) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
71	63, 69, 70	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
72	71	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
73		simprrl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
74		ssralv 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
75	74	ralimdv 3145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
76	72, 73, 75	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
77		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
78	25, 45, 46, 47, 29, 30, 48, 49, 33, 3, 50, 57, 58, 59, 61, 76, 77	pntleme 26192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
79	78	expr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
80	79	rexlimdvva 3253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
81	44, 80	syl5bir 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
82	37, 43, 81	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  ;cdc 12086  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ⌊cfl 13155  ↑cexp 13425  abscabs 14585  Σcsu 15034  expce 15407  logclog 25146  ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-o1 14839  df-lo1 14840  df-sum 15035  df-ef 15413  df-e 15414  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-ulm 24972  df-log 25148  df-cxp 25149  df-atan 25453  df-em 25578  df-cht 25682  df-vma 25683  df-chp 25684  df-ppi 25685  df-mu 25686

This theorem is referenced by:  pntleml  26195