MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemp 27493
Description: Lemma for pnt 27497. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem3.A (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)
pntlemp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlemp.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlemp.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlemp.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlemp.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
pntlemp.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlemp.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlemp.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlemp.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlemp.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlemp.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
pntlemp (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ด   ๐‘’,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ท   ๐‘ฃ,๐น,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘’,๐พ,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘…,๐‘’,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘’,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘’,๐ฟ,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘’,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐‘ˆ,๐‘ค,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘’)

Proof of Theorem pntlemp
Dummy variables ๐‘ก ๐‘ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (๐ต / ๐‘’) = (๐ต / ๐ธ))
21fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (expโ€˜(๐ต / ๐‘’)) = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ)))
3 pntlemp.k . . . . . . . 8 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
42, 3eqtr4di 2784 . . . . . . 7 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (expโ€˜(๐ต / ๐‘’)) = ๐พ)
54oveq1d 7419 . . . . . 6 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž) = (๐พ[,)+โˆž))
6 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (๐ฟ ยท ๐‘’) = (๐ฟ ยท ๐ธ))
76oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) = (1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)))
87oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) = ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))
98breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)))
109anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ))))
118oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)) = (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง)))
12 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
1311, 12raleqbidv 3336 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
1410, 13anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
1514rexbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
1615ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
175, 16raleqbidv 3336 . . . . 5 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
1817rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
19 oveq1 7411 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฅ(,)+โˆž) = (๐‘ก(,)+โˆž))
2019raleqdv 3319 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
2120ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
2221cbvrexvw 3229 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
2318, 22bitrdi 287 . . 3 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
24 pntlemp.K . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
25 pntlem3.r . . . . . 6 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
26 pntlem3.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
27 pntlemp.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
28 pntlemp.l . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
29 pntlemp.d . . . . . 6 ๐ท = (๐ด + 1)
30 pntlemp.f . . . . . 6 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
31 pntlemp.u . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
32 pntlemp.u2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
33 pntlemp.e . . . . . 6 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 3pntlemc 27478 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
3534simp3d 1141 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+))
3635simp1d 1139 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
3723, 24, 36rspcdva 3607 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
38 pntlemp.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
3938simpld 494 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
4039rpred 13019 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
4138simprd 495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Œ)
4225pntrlog2bnd 27467 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘)
4340, 41, 42syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘)
44 reeanv 3220 . . 3 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))
4526adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4627adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
4728adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
4831adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
4932adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
5038adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
51 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„+)
52 rpaddcl 12999 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+)
5339, 51, 52syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+)
54 ltaddrp 13014 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก))
5540, 51, 54syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก))
5653, 55jca 511 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก)))
5756adantrr 714 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก)))
58 simprlr 777 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
59 eqid 2726 . . . . . 6 (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + ((((๐‘Œ + ๐‘ก) ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐‘))))) = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + ((((๐‘Œ + ๐‘ก) ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐‘)))))
60 pntlemp.U . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
6160adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
62 rpxr 12986 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„*)
6362ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„*)
64 rpre 12985 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
6564ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
6653rpred 13019 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„)
6739adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
6865, 67ltaddrp2d 13053 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก < (๐‘Œ + ๐‘ก))
6965, 66, 68ltled 11363 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก โ‰ค (๐‘Œ + ๐‘ก))
70 iooss1 13362 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ก โ‰ค (๐‘Œ + ๐‘ก)) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โІ (๐‘ก(,)+โˆž))
7163, 69, 70syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โІ (๐‘ก(,)+โˆž))
7271adantrr 714 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โІ (๐‘ก(,)+โˆž))
73 simprrl 778 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
74 ssralv 4045 . . . . . . . 8 (((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โІ (๐‘ก(,)+โˆž) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
7574ralimdv 3163 . . . . . . 7 (((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โІ (๐‘ก(,)+โˆž) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
7672, 73, 75sylc 65 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
77 simprrr 779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘)
7825, 45, 46, 47, 29, 30, 48, 49, 33, 3, 50, 57, 58, 59, 61, 76, 77pntleme 27491 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
7978expr 456 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
8079rexlimdvva 3205 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
8144, 80biimtrrid 242 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
8237, 43, 81mp2and 696 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246  โ„*cxr 11248   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  cdc 12678  โ„+crp 12977  (,)cioo 13327  [,)cico 13329  [,]cicc 13330  ...cfz 13487  โŒŠcfl 13758  โ†‘cexp 14029  abscabs 15184  ฮฃcsu 15635  expce 16008  logclog 26438  ฯˆcchp 26975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-o1 15437  df-lo1 15438  df-sum 15636  df-ef 16014  df-e 16015  df-sin 16016  df-cos 16017  df-tan 16018  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16776  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-ulm 26263  df-log 26440  df-cxp 26441  df-atan 26749  df-em 26875  df-cht 26979  df-vma 26980  df-chp 26981  df-ppi 26982  df-mu 26983
This theorem is referenced by:  pntleml  27494
  Copyright terms: Public domain W3C validator