Theorem pntlemp 27732

Description: Lemma for pnt 27736. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlemp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlemp.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlemp.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlemp.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlemp.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
pntlemp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlemp.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlemp.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlemp.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlemp.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlemp.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pntlemp	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑣,𝐹,𝑤,𝑦,𝑧   𝑒,𝐾,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑒,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐸,𝑎,𝑒,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑒,𝐿,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐵,𝑒,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑈,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑌(𝑥,𝑢,𝑒)

Proof of Theorem pntlemp

Dummy variables 𝑡 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐵 / 𝑒) = (𝐵 / 𝐸))
2	1	fveq2d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
3		pntlemp.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
4	2, 3	eqtr4di 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = 𝐾)
5	4	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞) = (𝐾[,)+∞))
6		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐿 · 𝑒) = (𝐿 · 𝐸))
7	6	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (1 + (𝐿 · 𝑒)) = (1 + (𝐿 · 𝐸)))
8	7	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))
9	8	breq1d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
10	9	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
11	8	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)))
12		breq2 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
13	11, 12	raleqbidv 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
14	10, 13	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	15	ralbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17	5, 16	raleqbidv 3339	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
18	17	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
19		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝑥(,)+∞) = (𝑡(,)+∞))
20	19	raleqdv 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
21	20	ralbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
22	21	cbvrexvw 3244	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
23	18, 22	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
24		pntlemp.K	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
25		pntlem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
26		pntlem3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
27		pntlemp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
28		pntlemp.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
29		pntlemp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
30		pntlemp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
31		pntlemp.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
32		pntlemp.u2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
33		pntlemp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 3	pntlemc 27717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
35	34	simp3d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
36	35	simp1d 1158	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
37	23, 24, 36	rspcdva 3585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
38		pntlemp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
39	38	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 13051	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41	38	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
42	25	pntrlog2bnd 27706	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
43	40, 41, 42	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
44		reeanv 3237	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) ↔ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))
45	26	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
46	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
47	28	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
48	31	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
49	32	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
50	38	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
51		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
52		rpaddcl 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+)
53	39, 51, 52	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+)
54		ltaddrp 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))
55	40, 51, 54	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))
56	53, 55	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)))
57	56	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)))
58		simprlr 791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
59		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐))))) = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐)))))
60		pntlemp.U	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
61	60	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
62		rpxr 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → 𝑡 ∈ ℝ*)
63	62	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ*)
64		rpre 13016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → 𝑡 ∈ ℝ)
65	64	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ)
66	53	rpred 13051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ)
67	39	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
68	65, 67	ltaddrp2d 13085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 < (𝑌 + 𝑡))
69	65, 66, 68	ltled 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡))
70		iooss1 13398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡)) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
71	63, 69, 70	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
72	71	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
73		simprrl 792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
74		ssralv 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
75	74	ralimdv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
76	72, 73, 75	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
77		simprrr 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
78	25, 45, 46, 47, 29, 30, 48, 49, 33, 3, 50, 57, 58, 59, 61, 76, 77	pntleme 27730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
79	78	expr 461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
80	79	rexlimdvva 3222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
81	44, 80	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
82	37, 43, 81	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  ;cdc 12702  ℝ⁺crp 13007  (,)cioo 13363  [,)cico 13365  [,]cicc 13366  ...cfz 13526  ⌊cfl 13814  ↑cexp 14088  abscabs 15275  Σcsu 15727  expce 16105  logclog 26677  ψcchp 27215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-o1 15531  df-lo1 15532  df-sum 15728  df-ef 16111  df-e 16112  df-sin 16113  df-cos 16114  df-tan 16115  df-pi 16116  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-pc 16887  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-cmp 23505  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-ulm 26498  df-log 26679  df-cxp 26680  df-atan 26990  df-em 27115  df-cht 27219  df-vma 27220  df-chp 27221  df-ppi 27222  df-mu 27223

This theorem is referenced by:  pntleml  27733