MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemp 26974
Description: Lemma for pnt 26978. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem3.A (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)
pntlemp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlemp.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlemp.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlemp.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlemp.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
pntlemp.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlemp.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlemp.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlemp.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlemp.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlemp.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
pntlemp (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ด   ๐‘’,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ท   ๐‘ฃ,๐น,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘’,๐พ,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘…,๐‘’,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘’,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘’,๐ฟ,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘’,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐‘ˆ,๐‘ค,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘’,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘’)

Proof of Theorem pntlemp
Dummy variables ๐‘ก ๐‘ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (๐ต / ๐‘’) = (๐ต / ๐ธ))
21fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (expโ€˜(๐ต / ๐‘’)) = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ)))
3 pntlemp.k . . . . . . . 8 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (expโ€˜(๐ต / ๐‘’)) = ๐พ)
54oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž) = (๐พ[,)+โˆž))
6 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (๐ฟ ยท ๐‘’) = (๐ฟ ยท ๐ธ))
76oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) = (1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)))
87oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) = ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))
98breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)))
109anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ))))
118oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)) = (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง)))
12 breq2 5110 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
1311, 12raleqbidv 3318 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
1410, 13anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
1514rexbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
1615ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
175, 16raleqbidv 3318 . . . . 5 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
1817rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
19 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฅ(,)+โˆž) = (๐‘ก(,)+โˆž))
2019raleqdv 3312 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
2120ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
2221cbvrexvw 3225 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
2318, 22bitrdi 287 . . 3 (๐‘’ = ๐ธ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
24 pntlemp.K . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ต / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
25 pntlem3.r . . . . . 6 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
26 pntlem3.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
27 pntlemp.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
28 pntlemp.l . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
29 pntlemp.d . . . . . 6 ๐ท = (๐ด + 1)
30 pntlemp.f . . . . . 6 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
31 pntlemp.u . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
32 pntlemp.u2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
33 pntlemp.e . . . . . 6 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
3425, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 3pntlemc 26959 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
3534simp3d 1145 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+))
3635simp1d 1143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
3723, 24, 36rspcdva 3581 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
38 pntlemp.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
3938simpld 496 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
4039rpred 12962 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
4138simprd 497 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Œ)
4225pntrlog2bnd 26948 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘)
4340, 41, 42syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘)
44 reeanv 3216 . . 3 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))
4526adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4627adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
4728adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
4831adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
4932adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
5038adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
51 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„+)
52 rpaddcl 12942 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+)
5339, 51, 52syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+)
54 ltaddrp 12957 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก))
5540, 51, 54syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก))
5653, 55jca 513 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก)))
5756adantrr 716 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < (๐‘Œ + ๐‘ก)))
58 simprlr 779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
59 eqid 2733 . . . . . 6 (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + ((((๐‘Œ + ๐‘ก) ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐‘))))) = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + ((((๐‘Œ + ๐‘ก) ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐‘)))))
60 pntlemp.U . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
6160adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
62 rpxr 12929 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„*)
6362ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„*)
64 rpre 12928 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
6564ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
6653rpred 12962 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ก) โˆˆ โ„)
6739adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
6865, 67ltaddrp2d 12996 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก < (๐‘Œ + ๐‘ก))
6965, 66, 68ltled 11308 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ก โ‰ค (๐‘Œ + ๐‘ก))
70 iooss1 13305 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ก โ‰ค (๐‘Œ + ๐‘ก)) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โŠ† (๐‘ก(,)+โˆž))
7163, 69, 70syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โŠ† (๐‘ก(,)+โˆž))
7271adantrr 716 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โŠ† (๐‘ก(,)+โˆž))
73 simprrl 780 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
74 ssralv 4011 . . . . . . . 8 (((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โŠ† (๐‘ก(,)+โˆž) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
7574ralimdv 3163 . . . . . . 7 (((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž) โŠ† (๐‘ก(,)+โˆž) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
7672, 73, 75sylc 65 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘Œ + ๐‘ก)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
77 simprrr 781 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘)
7825, 45, 46, 47, 29, 30, 48, 49, 33, 3, 50, 57, 58, 59, 61, 76, 77pntleme 26972 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
7978expr 458 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
8079rexlimdvva 3202 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
8144, 80biimtrrid 242 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ก(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1(,)+โˆž)((((absโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ง)) ยท (logโ€˜๐‘ง)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ง)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ง / ๐‘Œ)))((absโ€˜(๐‘…โ€˜(๐‘ง / ๐‘›))) ยท (logโ€˜๐‘›)))) / ๐‘ง) โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
8237, 43, 81mp2and 698 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘ค[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ˆ โˆ’ (๐น ยท (๐‘ˆโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  cdc 12623  โ„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  โŒŠcfl 13701  โ†‘cexp 13973  abscabs 15125  ฮฃcsu 15576  expce 15949  logclog 25926  ฯˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-o1 15378  df-lo1 15379  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-tan 15959  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-ppi 26465  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  pntleml  26975
  Copyright terms: Public domain W3C validator