Theorem pntlemp 25768

Description: Lemma for pnt 25772. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlemp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlemp.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlemp.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlemp.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlemp.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
pntlemp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlemp.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlemp.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlemp.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlemp.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlemp.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pntlemp	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑣,𝐹,𝑤,𝑦,𝑧   𝑒,𝐾,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑒,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐸,𝑎,𝑒,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑒,𝐿,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐵,𝑒,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑈,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑌(𝑥,𝑢,𝑒)

Proof of Theorem pntlemp

Dummy variables 𝑡 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐵 / 𝑒) = (𝐵 / 𝐸))
2	1	fveq2d 6452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
3		pntlemp.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
4	2, 3	syl6eqr 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = 𝐾)
5	4	oveq1d 6939	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞) = (𝐾[,)+∞))
6		oveq2 6932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐿 · 𝑒) = (𝐿 · 𝐸))
7	6	oveq2d 6940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (1 + (𝐿 · 𝑒)) = (1 + (𝐿 · 𝐸)))
8	7	oveq1d 6939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))
9	8	breq1d 4898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
10	9	anbi2d 622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
11	8	oveq2d 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)))
12		breq2 4892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
13	11, 12	raleqbidv 3326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
14	10, 13	anbi12d 624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	15	ralbidv 3168	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17	5, 16	raleqbidv 3326	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
18	17	rexbidv 3237	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
19		oveq1 6931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝑥(,)+∞) = (𝑡(,)+∞))
20	19	raleqdv 3340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
21	20	ralbidv 3168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
22	21	cbvrexv 3368	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
23	18, 22	syl6bb 279	. . 3 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
24		pntlemp.K	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
25		pntlem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
26		pntlem3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
27		pntlemp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
28		pntlemp.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
29		pntlemp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
30		pntlemp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
31		pntlemp.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
32		pntlemp.u2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
33		pntlemp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
34	25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 3	pntlemc 25753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
35	34	simp3d 1135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
36	35	simp1d 1133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
37	23, 24, 36	rspcdva 3517	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
38		pntlemp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
39	38	simpld 490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12186	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41	38	simprd 491	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
42	25	pntrlog2bnd 25742	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
43	40, 41, 42	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
44		reeanv 3293	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) ↔ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))
45	26	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
46	27	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
47	28	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
48	31	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
49	32	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
50	38	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
51		simpl 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
52		rpaddcl 12166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+)
53	39, 51, 52	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+)
54		ltaddrp 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))
55	40, 51, 54	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))
56	53, 55	jca 507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)))
57	56	adantrr 707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)))
58		simprlr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
59		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐))))) = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐)))))
60		pntlemp.U	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
61	60	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
62		rpxr 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → 𝑡 ∈ ℝ*)
63	62	ad2antrl 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ*)
64		rpre 12150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → 𝑡 ∈ ℝ)
65	64	ad2antrl 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ)
66	53	rpred 12186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → (𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ)
67	39	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
68	65, 67	ltaddrp2d 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 < (𝑌 + 𝑡))
69	65, 66, 68	ltled 10526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡))
70		iooss1 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡)) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
71	63, 69, 70	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
72	71	adantrr 707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞))
73		simprrl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
74		ssralv 3885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
75	74	ralimdv 3145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
76	72, 73, 75	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
77		simprrr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)
78	25, 45, 46, 47, 29, 30, 48, 49, 33, 3, 50, 57, 58, 59, 61, 76, 77	pntleme 25766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
79	78	expr 450	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)) → ((∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
80	79	rexlimdvva 3221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
81	44, 80	syl5bir 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))))
82	37, 43, 81	mp2and 689	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  +∞cpnf 10410  ℝ^*cxr 10412   < clt 10413   ≤ cle 10414   − cmin 10608   / cdiv 11035  2c2 11435  3c3 11436  4c4 11437  ;cdc 11850  ℝ⁺crp 12142  (,)cioo 12492  [,)cico 12494  [,]cicc 12495  ...cfz 12648  ⌊cfl 12915  ↑cexp 13183  abscabs 14387  Σcsu 14833  expce 15203  logclog 24749  ψcchp 25282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ioc 12497  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-bc 13414  df-hash 13442  df-shft 14220  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-limsup 14619  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-o1 14638  df-lo1 14639  df-sum 14834  df-ef 15209  df-e 15210  df-sin 15211  df-cos 15212  df-pi 15214  df-dvds 15397  df-gcd 15633  df-prm 15801  df-pc 15957  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-lp 21359  df-perf 21360  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-haus 21538  df-cmp 21610  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-fm 22161  df-flim 22162  df-flf 22163  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cncf 23100  df-limc 24078  df-dv 24079  df-log 24751  df-cxp 24752  df-em 25182  df-cht 25286  df-vma 25287  df-chp 25288  df-ppi 25289  df-mu 25290

This theorem is referenced by:  pntleml  25769