Theorem ltaddrpd 13094

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13056	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100   + caddc 11104   < clt 11244  ℝ⁺crp 13017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-rp 13018

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13095  xov1plusxeqvd  13526  isumltss  15904  effsumlt  16168  tanhlt1  16217  4sqlem12  17017  vdwlem1  17042  prmgaplem7  17118  chfacfscmul0  22996  chfacfpmmul0  23000  nlmvscnlem2  24823  nlmvscnlem1  24824  iccntr  24960  icccmplem2  24962  reconnlem2  24966  opnreen  24970  lebnumii  25106  ipcnlem2  25384  ipcnlem1  25385  ivthlem2  25592  ovolgelb  25620  ovollb2lem  25628  itg2monolem3  25892  dvferm1lem  26124  lhop1lem  26153  lhop  26156  dvcnvrelem1  26157  dvcnvrelem2  26158  pserdvlem1  26568  pserdv  26570  lgamgulmlem2  27172  lgamgulmlem3  27173  lgamucov  27180  perfectlem2  27372  bposlem2  27427  pntibndlem2  27733  pntlemb  27739  pntlem3  27751  tpr2rico  34280  omssubaddlem  34667  fibp1  34769  qdiff  37949  heicant  38284  itg2addnc  38303  rrnequiv  38464  2np3bcnp1  42889  2ap1caineq  42890  pellfundex  43593  rmspecfund  43616  acongeq  43690  jm3.1lem2  43725  oddfl  45977  infrpge  46047  xralrple2  46050  xrralrecnnle  46078  iooiinicc  46238  iooiinioc  46252  fsumnncl  46268  climinf  46302  lptre2pt  46334  ioodvbdlimc1lem2  46626  wallispilem4  46762  dirkertrigeqlem3  46794  dirkercncflem2  46798  fourierdlem63  46863  fourierdlem65  46865  fourierdlem75  46875  fourierdlem79  46879  fouriersw  46925  etransclem35  46963  qndenserrnbllem  46988  omeiunltfirp  47213  hoidmvlelem1  47289  hoidmvlelem3  47291  hoiqssbllem3  47318  iinhoiicc  47368  iunhoiioo  47370  vonioolem2  47375  vonicclem1  47377  preimaleiinlt  47415  smfmullem3  47487  perfectALTVlem2  48464