Theorem ltaddrpd 13107

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151   + caddc 11155   < clt 11292  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13108  xov1plusxeqvd  13534  isumltss  15880  effsumlt  16143  tanhlt1  16192  4sqlem12  16989  vdwlem1  17014  prmgaplem7  17090  chfacfscmul0  22879  chfacfpmmul0  22883  nlmvscnlem2  24721  nlmvscnlem1  24722  iccntr  24856  icccmplem2  24858  reconnlem2  24862  opnreen  24866  lebnumii  25011  ipcnlem2  25291  ipcnlem1  25292  ivthlem2  25500  ovolgelb  25528  ovollb2lem  25536  itg2monolem3  25801  dvferm1lem  26036  lhop1lem  26066  lhop  26069  dvcnvrelem1  26070  dvcnvrelem2  26071  pserdvlem1  26485  pserdv  26487  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  lgamucov  27095  perfectlem2  27288  bposlem2  27343  pntibndlem2  27649  pntlemb  27655  pntlem3  27667  tpr2rico  33872  omssubaddlem  34280  fibp1  34382  heicant  37641  itg2addnc  37660  rrnequiv  37821  2np3bcnp1  42125  2ap1caineq  42126  pellfundex  42873  rmspecfund  42896  acongeq  42971  jm3.1lem2  43006  oddfl  45227  infrpge  45300  xralrple2  45303  xrralrecnnle  45332  iooiinicc  45494  iooiinioc  45508  fsumnncl  45527  climinf  45561  lptre2pt  45595  ioodvbdlimc1lem2  45887  wallispilem4  46023  dirkertrigeqlem3  46055  dirkercncflem2  46059  fourierdlem63  46124  fourierdlem65  46126  fourierdlem75  46136  fourierdlem79  46140  fouriersw  46186  etransclem35  46224  qndenserrnbllem  46249  omeiunltfirp  46474  hoidmvlelem1  46550  hoidmvlelem3  46552  hoiqssbllem3  46579  iinhoiicc  46629  iunhoiioo  46631  vonioolem2  46636  vonicclem1  46638  preimaleiinlt  46676  smfmullem3  46748  perfectALTVlem2  47646