Theorem ltaddrpd 12734

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   < clt 10940  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12735  xov1plusxeqvd  13159  isumltss  15488  effsumlt  15748  tanhlt1  15797  4sqlem12  16585  vdwlem1  16610  prmgaplem7  16686  chfacfscmul0  21915  chfacfpmmul0  21919  nlmvscnlem2  23755  nlmvscnlem1  23756  iccntr  23890  icccmplem2  23892  reconnlem2  23896  opnreen  23900  lebnumii  24035  ipcnlem2  24313  ipcnlem1  24314  ivthlem2  24521  ovolgelb  24549  ovollb2lem  24557  itg2monolem3  24822  dvferm1lem  25053  lhop1lem  25082  lhop  25085  dvcnvrelem1  25086  dvcnvrelem2  25087  pserdvlem1  25491  pserdv  25493  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamucov  26092  perfectlem2  26283  bposlem2  26338  pntibndlem2  26644  pntlemb  26650  pntlem3  26662  tpr2rico  31764  omssubaddlem  32166  fibp1  32268  heicant  35739  itg2addnc  35758  rrnequiv  35920  2np3bcnp1  40028  2ap1caineq  40029  pellfundex  40624  rmspecfund  40647  acongeq  40721  jm3.1lem2  40756  oddfl  42705  infrpge  42780  xralrple2  42783  xrralrecnnle  42812  iooiinicc  42970  iooiinioc  42984  fsumnncl  43003  climinf  43037  lptre2pt  43071  ioodvbdlimc1lem2  43363  wallispilem4  43499  dirkertrigeqlem3  43531  dirkercncflem2  43535  fourierdlem63  43600  fourierdlem65  43602  fourierdlem75  43612  fourierdlem79  43616  fouriersw  43662  etransclem35  43700  qndenserrnbllem  43725  omeiunltfirp  43947  hoidmvlelem1  44023  hoidmvlelem3  44025  hoiqssbllem3  44052  iinhoiicc  44102  iunhoiioo  44104  vonioolem2  44109  vonicclem1  44111  preimaleiinlt  44145  smfmullem3  44214  perfectALTVlem2  45062