Theorem ltaddrpd 13028

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12990	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   + caddc 11071   < clt 11208  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13029  xov1plusxeqvd  13459  isumltss  15814  effsumlt  16079  tanhlt1  16128  4sqlem12  16927  vdwlem1  16952  prmgaplem7  17028  chfacfscmul0  22745  chfacfpmmul0  22749  nlmvscnlem2  24573  nlmvscnlem1  24574  iccntr  24710  icccmplem2  24712  reconnlem2  24716  opnreen  24720  lebnumii  24865  ipcnlem2  25144  ipcnlem1  25145  ivthlem2  25353  ovolgelb  25381  ovollb2lem  25389  itg2monolem3  25653  dvferm1lem  25888  lhop1lem  25918  lhop  25921  dvcnvrelem1  25922  dvcnvrelem2  25923  pserdvlem1  26337  pserdv  26339  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamucov  26948  perfectlem2  27141  bposlem2  27196  pntibndlem2  27502  pntlemb  27508  pntlem3  27520  tpr2rico  33902  omssubaddlem  34290  fibp1  34392  heicant  37649  itg2addnc  37668  rrnequiv  37829  2np3bcnp1  42132  2ap1caineq  42133  pellfundex  42874  rmspecfund  42897  acongeq  42972  jm3.1lem2  43007  oddfl  45276  infrpge  45347  xralrple2  45350  xrralrecnnle  45379  iooiinicc  45540  iooiinioc  45554  fsumnncl  45570  climinf  45604  lptre2pt  45638  ioodvbdlimc1lem2  45930  wallispilem4  46066  dirkertrigeqlem3  46098  dirkercncflem2  46102  fourierdlem63  46167  fourierdlem65  46169  fourierdlem75  46179  fourierdlem79  46183  fouriersw  46229  etransclem35  46267  qndenserrnbllem  46292  omeiunltfirp  46517  hoidmvlelem1  46593  hoidmvlelem3  46595  hoiqssbllem3  46622  iinhoiicc  46672  iunhoiioo  46674  vonioolem2  46679  vonicclem1  46681  preimaleiinlt  46719  smfmullem3  46791  perfectALTVlem2  47723