Theorem ltaddrpd 12805

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874   < clt 11009  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12806  xov1plusxeqvd  13230  isumltss  15560  effsumlt  15820  tanhlt1  15869  4sqlem12  16657  vdwlem1  16682  prmgaplem7  16758  chfacfscmul0  22007  chfacfpmmul0  22011  nlmvscnlem2  23849  nlmvscnlem1  23850  iccntr  23984  icccmplem2  23986  reconnlem2  23990  opnreen  23994  lebnumii  24129  ipcnlem2  24408  ipcnlem1  24409  ivthlem2  24616  ovolgelb  24644  ovollb2lem  24652  itg2monolem3  24917  dvferm1lem  25148  lhop1lem  25177  lhop  25180  dvcnvrelem1  25181  dvcnvrelem2  25182  pserdvlem1  25586  pserdv  25588  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  lgamucov  26187  perfectlem2  26378  bposlem2  26433  pntibndlem2  26739  pntlemb  26745  pntlem3  26757  tpr2rico  31862  omssubaddlem  32266  fibp1  32368  heicant  35812  itg2addnc  35831  rrnequiv  35993  2np3bcnp1  40100  2ap1caineq  40101  pellfundex  40708  rmspecfund  40731  acongeq  40805  jm3.1lem2  40840  oddfl  42816  infrpge  42890  xralrple2  42893  xrralrecnnle  42922  iooiinicc  43080  iooiinioc  43094  fsumnncl  43113  climinf  43147  lptre2pt  43181  ioodvbdlimc1lem2  43473  wallispilem4  43609  dirkertrigeqlem3  43641  dirkercncflem2  43645  fourierdlem63  43710  fourierdlem65  43712  fourierdlem75  43722  fourierdlem79  43726  fouriersw  43772  etransclem35  43810  qndenserrnbllem  43835  omeiunltfirp  44057  hoidmvlelem1  44133  hoidmvlelem3  44135  hoiqssbllem3  44162  iinhoiicc  44212  iunhoiioo  44214  vonioolem2  44219  vonicclem1  44221  preimaleiinlt  44258  smfmullem3  44327  perfectALTVlem2  45174