Theorem ltaddrpd 13067

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069   + caddc 11073   < clt 11213  ℝ⁺crp 12990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-rp 12991

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13068  xov1plusxeqvd  13499  isumltss  15861  effsumlt  16126  tanhlt1  16175  4sqlem12  16975  vdwlem1  17000  prmgaplem7  17076  chfacfscmul0  22898  chfacfpmmul0  22902  nlmvscnlem2  24725  nlmvscnlem1  24726  iccntr  24862  icccmplem2  24864  reconnlem2  24868  opnreen  24872  lebnumii  25008  ipcnlem2  25286  ipcnlem1  25287  ivthlem2  25494  ovolgelb  25522  ovollb2lem  25530  itg2monolem3  25794  dvferm1lem  26026  lhop1lem  26055  lhop  26058  dvcnvrelem1  26059  dvcnvrelem2  26060  pserdvlem1  26467  pserdv  26469  lgamgulmlem2  27071  lgamgulmlem3  27072  lgamucov  27079  perfectlem2  27271  bposlem2  27326  pntibndlem2  27632  pntlemb  27638  pntlem3  27650  tpr2rico  34170  omssubaddlem  34557  fibp1  34659  qdiff  37783  heicant  38118  itg2addnc  38137  rrnequiv  38298  2np3bcnp1  42725  2ap1caineq  42726  pellfundex  43427  rmspecfund  43450  acongeq  43524  jm3.1lem2  43559  oddfl  45821  infrpge  45891  xralrple2  45894  xrralrecnnle  45922  iooiinicc  46082  iooiinioc  46096  fsumnncl  46112  climinf  46146  lptre2pt  46178  ioodvbdlimc1lem2  46470  wallispilem4  46606  dirkertrigeqlem3  46638  dirkercncflem2  46642  fourierdlem63  46707  fourierdlem65  46709  fourierdlem75  46719  fourierdlem79  46723  fouriersw  46769  etransclem35  46807  qndenserrnbllem  46832  omeiunltfirp  47057  hoidmvlelem1  47133  hoidmvlelem3  47135  hoiqssbllem3  47162  iinhoiicc  47212  iunhoiioo  47214  vonioolem2  47219  vonicclem1  47221  preimaleiinlt  47259  smfmullem3  47331  perfectALTVlem2  48308