Theorem ltaddrpd 12661

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝcr 10728   + caddc 10732   < clt 10867  ℝ⁺crp 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-rp 12587

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12662  xov1plusxeqvd  13086  isumltss  15412  effsumlt  15672  tanhlt1  15721  4sqlem12  16509  vdwlem1  16534  prmgaplem7  16610  chfacfscmul0  21755  chfacfpmmul0  21759  nlmvscnlem2  23583  nlmvscnlem1  23584  iccntr  23718  icccmplem2  23720  reconnlem2  23724  opnreen  23728  lebnumii  23863  ipcnlem2  24141  ipcnlem1  24142  ivthlem2  24349  ovolgelb  24377  ovollb2lem  24385  itg2monolem3  24650  dvferm1lem  24881  lhop1lem  24910  lhop  24913  dvcnvrelem1  24914  dvcnvrelem2  24915  pserdvlem1  25319  pserdv  25321  lgamgulmlem2  25912  lgamgulmlem3  25913  lgamucov  25920  perfectlem2  26111  bposlem2  26166  pntibndlem2  26472  pntlemb  26478  pntlem3  26490  tpr2rico  31576  omssubaddlem  31978  fibp1  32080  heicant  35549  itg2addnc  35568  rrnequiv  35730  2np3bcnp1  39822  2ap1caineq  39823  pellfundex  40411  rmspecfund  40434  acongeq  40508  jm3.1lem2  40543  oddfl  42488  infrpge  42563  xralrple2  42566  xrralrecnnle  42595  iooiinicc  42755  iooiinioc  42769  fsumnncl  42788  climinf  42822  lptre2pt  42856  ioodvbdlimc1lem2  43148  wallispilem4  43284  dirkertrigeqlem3  43316  dirkercncflem2  43320  fourierdlem63  43385  fourierdlem65  43387  fourierdlem75  43397  fourierdlem79  43401  fouriersw  43447  etransclem35  43485  qndenserrnbllem  43510  omeiunltfirp  43732  hoidmvlelem1  43808  hoidmvlelem3  43810  hoiqssbllem3  43837  iinhoiicc  43887  iunhoiioo  43889  vonioolem2  43894  vonicclem1  43896  preimaleiinlt  43930  smfmullem3  43999  perfectALTVlem2  44847