Theorem ltaddrpd 12458

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530   + caddc 10534   < clt 10669  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12459  xov1plusxeqvd  12878  isumltss  15197  effsumlt  15458  tanhlt1  15507  4sqlem12  16286  vdwlem1  16311  prmgaplem7  16387  chfacfscmul0  21460  chfacfpmmul0  21464  nlmvscnlem2  23288  nlmvscnlem1  23289  iccntr  23423  icccmplem2  23425  reconnlem2  23429  opnreen  23433  lebnumii  23564  ipcnlem2  23841  ipcnlem1  23842  ivthlem2  24047  ovolgelb  24075  ovollb2lem  24083  itg2monolem3  24347  dvferm1lem  24575  lhop1lem  24604  lhop  24607  dvcnvrelem1  24608  dvcnvrelem2  24609  pserdvlem1  25009  pserdv  25011  lgamgulmlem2  25601  lgamgulmlem3  25602  lgamucov  25609  perfectlem2  25800  bposlem2  25855  pntibndlem2  26161  pntlemb  26167  pntlem3  26179  tpr2rico  31150  omssubaddlem  31552  fibp1  31654  heicant  34921  itg2addnc  34940  rrnequiv  35107  pellfundex  39476  rmspecfund  39499  acongeq  39573  jm3.1lem2  39608  oddfl  41536  infrpge  41612  xralrple2  41615  xrralrecnnle  41646  iooiinicc  41811  iooiinioc  41825  fsumnncl  41845  climinf  41880  lptre2pt  41914  ioodvbdlimc1lem2  42210  wallispilem4  42347  dirkertrigeqlem3  42379  dirkercncflem2  42383  fourierdlem63  42448  fourierdlem65  42450  fourierdlem75  42460  fourierdlem79  42464  fouriersw  42510  etransclem35  42548  qndenserrnbllem  42573  omeiunltfirp  42795  hoidmvlelem1  42871  hoidmvlelem3  42873  hoiqssbllem3  42900  iinhoiicc  42950  iunhoiioo  42952  vonioolem2  42957  vonicclem1  42959  preimaleiinlt  42993  smfmullem3  43062  perfectALTVlem2  43881