Theorem ltaddrpd 13084

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13046	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   + caddc 11132   < clt 11269  ℝ⁺crp 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-rp 13009

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13085  xov1plusxeqvd  13515  isumltss  15864  effsumlt  16129  tanhlt1  16178  4sqlem12  16976  vdwlem1  17001  prmgaplem7  17077  chfacfscmul0  22796  chfacfpmmul0  22800  nlmvscnlem2  24624  nlmvscnlem1  24625  iccntr  24761  icccmplem2  24763  reconnlem2  24767  opnreen  24771  lebnumii  24916  ipcnlem2  25196  ipcnlem1  25197  ivthlem2  25405  ovolgelb  25433  ovollb2lem  25441  itg2monolem3  25705  dvferm1lem  25940  lhop1lem  25970  lhop  25973  dvcnvrelem1  25974  dvcnvrelem2  25975  pserdvlem1  26389  pserdv  26391  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem3  26993  lgamucov  27000  perfectlem2  27193  bposlem2  27248  pntibndlem2  27554  pntlemb  27560  pntlem3  27572  tpr2rico  33943  omssubaddlem  34331  fibp1  34433  heicant  37679  itg2addnc  37698  rrnequiv  37859  2np3bcnp1  42157  2ap1caineq  42158  pellfundex  42909  rmspecfund  42932  acongeq  43007  jm3.1lem2  43042  oddfl  45306  infrpge  45378  xralrple2  45381  xrralrecnnle  45410  iooiinicc  45571  iooiinioc  45585  fsumnncl  45601  climinf  45635  lptre2pt  45669  ioodvbdlimc1lem2  45961  wallispilem4  46097  dirkertrigeqlem3  46129  dirkercncflem2  46133  fourierdlem63  46198  fourierdlem65  46200  fourierdlem75  46210  fourierdlem79  46214  fouriersw  46260  etransclem35  46298  qndenserrnbllem  46323  omeiunltfirp  46548  hoidmvlelem1  46624  hoidmvlelem3  46626  hoiqssbllem3  46653  iinhoiicc  46703  iunhoiioo  46705  vonioolem2  46710  vonicclem1  46712  preimaleiinlt  46750  smfmullem3  46822  perfectALTVlem2  47736