Theorem ltaddrpd 13017

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12979	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035   + caddc 11039   < clt 11177  ℝ⁺crp 12940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-rp 12941

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13018  xov1plusxeqvd  13449  isumltss  15811  effsumlt  16076  tanhlt1  16125  4sqlem12  16925  vdwlem1  16950  prmgaplem7  17026  chfacfscmul0  22848  chfacfpmmul0  22852  nlmvscnlem2  24675  nlmvscnlem1  24676  iccntr  24812  icccmplem2  24814  reconnlem2  24818  opnreen  24822  lebnumii  24958  ipcnlem2  25236  ipcnlem1  25237  ivthlem2  25444  ovolgelb  25472  ovollb2lem  25480  itg2monolem3  25744  dvferm1lem  25976  lhop1lem  26005  lhop  26008  dvcnvrelem1  26009  dvcnvrelem2  26010  pserdvlem1  26417  pserdv  26419  lgamgulmlem2  27018  lgamgulmlem3  27019  lgamucov  27026  perfectlem2  27218  bposlem2  27273  pntibndlem2  27579  pntlemb  27585  pntlem3  27597  tpr2rico  34103  omssubaddlem  34490  fibp1  34592  qdiff  37694  heicant  38029  itg2addnc  38048  rrnequiv  38209  2np3bcnp1  42636  2ap1caineq  42637  pellfundex  43338  rmspecfund  43361  acongeq  43435  jm3.1lem2  43470  oddfl  45733  infrpge  45803  xralrple2  45806  xrralrecnnle  45834  iooiinicc  45994  iooiinioc  46008  fsumnncl  46024  climinf  46058  lptre2pt  46090  ioodvbdlimc1lem2  46382  wallispilem4  46518  dirkertrigeqlem3  46550  dirkercncflem2  46554  fourierdlem63  46619  fourierdlem65  46621  fourierdlem75  46631  fourierdlem79  46635  fouriersw  46681  etransclem35  46719  qndenserrnbllem  46744  omeiunltfirp  46969  hoidmvlelem1  47045  hoidmvlelem3  47047  hoiqssbllem3  47074  iinhoiicc  47124  iunhoiioo  47126  vonioolem2  47131  vonicclem1  47133  preimaleiinlt  47171  smfmullem3  47243  perfectALTVlem2  48220