Theorem ltaddrpd 12969

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12931	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012   + caddc 11016   < clt 11153  ℝ⁺crp 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-rp 12893

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12970  xov1plusxeqvd  13400  isumltss  15757  effsumlt  16022  tanhlt1  16071  4sqlem12  16870  vdwlem1  16895  prmgaplem7  16971  chfacfscmul0  22774  chfacfpmmul0  22778  nlmvscnlem2  24601  nlmvscnlem1  24602  iccntr  24738  icccmplem2  24740  reconnlem2  24744  opnreen  24748  lebnumii  24893  ipcnlem2  25172  ipcnlem1  25173  ivthlem2  25381  ovolgelb  25409  ovollb2lem  25417  itg2monolem3  25681  dvferm1lem  25916  lhop1lem  25946  lhop  25949  dvcnvrelem1  25950  dvcnvrelem2  25951  pserdvlem1  26365  pserdv  26367  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  lgamucov  26976  perfectlem2  27169  bposlem2  27224  pntibndlem2  27530  pntlemb  27536  pntlem3  27548  tpr2rico  33946  omssubaddlem  34333  fibp1  34435  heicant  37715  itg2addnc  37734  rrnequiv  37895  2np3bcnp1  42257  2ap1caineq  42258  pellfundex  43003  rmspecfund  43026  acongeq  43100  jm3.1lem2  43135  oddfl  45403  infrpge  45474  xralrple2  45477  xrralrecnnle  45505  iooiinicc  45666  iooiinioc  45680  fsumnncl  45696  climinf  45730  lptre2pt  45762  ioodvbdlimc1lem2  46054  wallispilem4  46190  dirkertrigeqlem3  46222  dirkercncflem2  46226  fourierdlem63  46291  fourierdlem65  46293  fourierdlem75  46303  fourierdlem79  46307  fouriersw  46353  etransclem35  46391  qndenserrnbllem  46416  omeiunltfirp  46641  hoidmvlelem1  46717  hoidmvlelem3  46719  hoiqssbllem3  46746  iinhoiicc  46796  iunhoiioo  46798  vonioolem2  46803  vonicclem1  46805  preimaleiinlt  46843  smfmullem3  46915  perfectALTVlem2  47846