Theorem ltaddrpd 13178

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13140	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180   + caddc 11184   < clt 11324  ℝ⁺crp 13101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-rp 13102

This theorem is used by:  ltaddrp2d  13179  xov1plusxeqvd  13610  isumltss  15997  effsumlt  16259  tanhlt1  16308  4sqlem12  17114  vdwlem1  17139  prmgaplem7  17215  chfacfscmul0  23156  chfacfpmmul0  23160  nlmvscnlem2  24984  nlmvscnlem1  24985  iccntr  25121  icccmplem2  25123  reconnlem2  25127  opnreen  25131  lebnumii  25267  ipcnlem2  25545  ipcnlem1  25546  ivthlem2  25753  ovolgelb  25781  ovollb2lem  25789  itg2monolem3  26053  dvferm1lem  26284  lhop1lem  26313  lhop  26316  dvcnvrelem1  26317  dvcnvrelem2  26318  pserdvlem1  26736  pserdv  26738  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem3  27340  lgamucov  27347  perfectlem2  27539  bposlem2  27594  pntibndlem2  27900  pntlemb  27906  pntlem3  27918  tpr2rico  34526  omssubaddlem  34914  fibp1  35016  qdiff  38216  heicant  38541  itg2addnc  38560  rrnequiv  38737  2np3bcnp1  43162  2ap1caineq  43163  pellfundex  43846  rmspecfund  43869  acongeq  43943  jm3.1lem2  43978  oddfl  46237  infrpge  46307  xralrple2  46310  xrralrecnnle  46338  iooiinicc  46498  iooiinioc  46512  fsumnncl  46528  climinf  46562  lptre2pt  46594  ioodvbdlimc1lem2  46886  wallispilem4  47022  dirkertrigeqlem3  47054  dirkercncflem2  47058  fourierdlem63  47123  fourierdlem65  47125  fourierdlem75  47135  fourierdlem79  47139  fouriersw  47185  etransclem35  47223  qndenserrnbllem  47248  omeiunltfirp  47473  hoidmvlelem1  47549  hoidmvlelem3  47551  hoiqssbllem3  47578  iinhoiicc  47628  iunhoiioo  47630  vonioolem2  47635  vonicclem1  47637  preimaleiinlt  47675  smfmullem3  47747  perfectALTVlem2  48764