Theorem ltaddrpd 13110

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   + caddc 11158   < clt 11295  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13111  xov1plusxeqvd  13538  isumltss  15884  effsumlt  16147  tanhlt1  16196  4sqlem12  16994  vdwlem1  17019  prmgaplem7  17095  chfacfscmul0  22864  chfacfpmmul0  22868  nlmvscnlem2  24706  nlmvscnlem1  24707  iccntr  24843  icccmplem2  24845  reconnlem2  24849  opnreen  24853  lebnumii  24998  ipcnlem2  25278  ipcnlem1  25279  ivthlem2  25487  ovolgelb  25515  ovollb2lem  25523  itg2monolem3  25787  dvferm1lem  26022  lhop1lem  26052  lhop  26055  dvcnvrelem1  26056  dvcnvrelem2  26057  pserdvlem1  26471  pserdv  26473  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  lgamucov  27081  perfectlem2  27274  bposlem2  27329  pntibndlem2  27635  pntlemb  27641  pntlem3  27653  tpr2rico  33911  omssubaddlem  34301  fibp1  34403  heicant  37662  itg2addnc  37681  rrnequiv  37842  2np3bcnp1  42145  2ap1caineq  42146  pellfundex  42897  rmspecfund  42920  acongeq  42995  jm3.1lem2  43030  oddfl  45289  infrpge  45362  xralrple2  45365  xrralrecnnle  45394  iooiinicc  45555  iooiinioc  45569  fsumnncl  45587  climinf  45621  lptre2pt  45655  ioodvbdlimc1lem2  45947  wallispilem4  46083  dirkertrigeqlem3  46115  dirkercncflem2  46119  fourierdlem63  46184  fourierdlem65  46186  fourierdlem75  46196  fourierdlem79  46200  fouriersw  46246  etransclem35  46284  qndenserrnbllem  46309  omeiunltfirp  46534  hoidmvlelem1  46610  hoidmvlelem3  46612  hoiqssbllem3  46639  iinhoiicc  46689  iunhoiioo  46691  vonioolem2  46696  vonicclem1  46698  preimaleiinlt  46736  smfmullem3  46808  perfectALTVlem2  47709