Theorem ltaddrpd 13132

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13094	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13133  xov1plusxeqvd  13558  isumltss  15896  effsumlt  16159  tanhlt1  16208  4sqlem12  17003  vdwlem1  17028  prmgaplem7  17104  chfacfscmul0  22885  chfacfpmmul0  22889  nlmvscnlem2  24727  nlmvscnlem1  24728  iccntr  24862  icccmplem2  24864  reconnlem2  24868  opnreen  24872  lebnumii  25017  ipcnlem2  25297  ipcnlem1  25298  ivthlem2  25506  ovolgelb  25534  ovollb2lem  25542  itg2monolem3  25807  dvferm1lem  26042  lhop1lem  26072  lhop  26075  dvcnvrelem1  26076  dvcnvrelem2  26077  pserdvlem1  26489  pserdv  26491  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamucov  27099  perfectlem2  27292  bposlem2  27347  pntibndlem2  27653  pntlemb  27659  pntlem3  27671  tpr2rico  33858  omssubaddlem  34264  fibp1  34366  heicant  37615  itg2addnc  37634  rrnequiv  37795  2np3bcnp1  42101  2ap1caineq  42102  pellfundex  42842  rmspecfund  42865  acongeq  42940  jm3.1lem2  42975  oddfl  45192  infrpge  45266  xralrple2  45269  xrralrecnnle  45298  iooiinicc  45460  iooiinioc  45474  fsumnncl  45493  climinf  45527  lptre2pt  45561  ioodvbdlimc1lem2  45853  wallispilem4  45989  dirkertrigeqlem3  46021  dirkercncflem2  46025  fourierdlem63  46090  fourierdlem65  46092  fourierdlem75  46102  fourierdlem79  46106  fouriersw  46152  etransclem35  46190  qndenserrnbllem  46215  omeiunltfirp  46440  hoidmvlelem1  46516  hoidmvlelem3  46518  hoiqssbllem3  46545  iinhoiicc  46595  iunhoiioo  46597  vonioolem2  46602  vonicclem1  46604  preimaleiinlt  46642  smfmullem3  46714  perfectALTVlem2  47596