Theorem ltaddrpd 13053

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13015	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   < clt 11252  ℝ⁺crp 12978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-rp 12979

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13054  xov1plusxeqvd  13479  isumltss  15798  effsumlt  16058  tanhlt1  16107  4sqlem12  16893  vdwlem1  16918  prmgaplem7  16994  chfacfscmul0  22580  chfacfpmmul0  22584  nlmvscnlem2  24422  nlmvscnlem1  24423  iccntr  24557  icccmplem2  24559  reconnlem2  24563  opnreen  24567  lebnumii  24712  ipcnlem2  24992  ipcnlem1  24993  ivthlem2  25201  ovolgelb  25229  ovollb2lem  25237  itg2monolem3  25502  dvferm1lem  25736  lhop1lem  25765  lhop  25768  dvcnvrelem1  25769  dvcnvrelem2  25770  pserdvlem1  26175  pserdv  26177  lgamgulmlem2  26770  lgamgulmlem3  26771  lgamucov  26778  perfectlem2  26969  bposlem2  27024  pntibndlem2  27330  pntlemb  27336  pntlem3  27348  tpr2rico  33190  omssubaddlem  33596  fibp1  33698  heicant  36826  itg2addnc  36845  rrnequiv  37006  2np3bcnp1  41266  2ap1caineq  41267  pellfundex  41926  rmspecfund  41949  acongeq  42024  jm3.1lem2  42059  oddfl  44285  infrpge  44359  xralrple2  44362  xrralrecnnle  44391  iooiinicc  44553  iooiinioc  44567  fsumnncl  44586  climinf  44620  lptre2pt  44654  ioodvbdlimc1lem2  44946  wallispilem4  45082  dirkertrigeqlem3  45114  dirkercncflem2  45118  fourierdlem63  45183  fourierdlem65  45185  fourierdlem75  45195  fourierdlem79  45199  fouriersw  45245  etransclem35  45283  qndenserrnbllem  45308  omeiunltfirp  45533  hoidmvlelem1  45609  hoidmvlelem3  45611  hoiqssbllem3  45638  iinhoiicc  45688  iunhoiioo  45690  vonioolem2  45695  vonicclem1  45697  preimaleiinlt  45735  smfmullem3  45807  perfectALTVlem2  46688