Theorem ltaddrpd 13010

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028   + caddc 11032   < clt 11170  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13011  xov1plusxeqvd  13442  isumltss  15804  effsumlt  16069  tanhlt1  16118  4sqlem12  16918  vdwlem1  16943  prmgaplem7  17019  chfacfscmul0  22833  chfacfpmmul0  22837  nlmvscnlem2  24660  nlmvscnlem1  24661  iccntr  24797  icccmplem2  24799  reconnlem2  24803  opnreen  24807  lebnumii  24943  ipcnlem2  25221  ipcnlem1  25222  ivthlem2  25429  ovolgelb  25457  ovollb2lem  25465  itg2monolem3  25729  dvferm1lem  25961  lhop1lem  25990  lhop  25993  dvcnvrelem1  25994  dvcnvrelem2  25995  pserdvlem1  26405  pserdv  26407  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  lgamucov  27015  perfectlem2  27207  bposlem2  27262  pntibndlem2  27568  pntlemb  27574  pntlem3  27586  tpr2rico  34072  omssubaddlem  34459  fibp1  34561  heicant  37990  itg2addnc  38009  rrnequiv  38170  2np3bcnp1  42597  2ap1caineq  42598  pellfundex  43332  rmspecfund  43355  acongeq  43429  jm3.1lem2  43464  oddfl  45729  infrpge  45799  xralrple2  45802  xrralrecnnle  45830  iooiinicc  45990  iooiinioc  46004  fsumnncl  46020  climinf  46054  lptre2pt  46086  ioodvbdlimc1lem2  46378  wallispilem4  46514  dirkertrigeqlem3  46546  dirkercncflem2  46550  fourierdlem63  46615  fourierdlem65  46617  fourierdlem75  46627  fourierdlem79  46631  fouriersw  46677  etransclem35  46715  qndenserrnbllem  46740  omeiunltfirp  46965  hoidmvlelem1  47041  hoidmvlelem3  47043  hoiqssbllem3  47070  iinhoiicc  47120  iunhoiioo  47122  vonioolem2  47127  vonicclem1  47129  preimaleiinlt  47167  smfmullem3  47239  perfectALTVlem2  48210