Theorem ltaddrpd 13111

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13073	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   + caddc 11121   < clt 11261  ℝ⁺crp 13034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-rp 13035

This theorem is used by:  ltaddrp2d  13112  xov1plusxeqvd  13543  isumltss  15928  effsumlt  16192  tanhlt1  16241  4sqlem12  17041  vdwlem1  17066  prmgaplem7  17142  chfacfscmul0  23052  chfacfpmmul0  23056  nlmvscnlem2  24879  nlmvscnlem1  24880  iccntr  25016  icccmplem2  25018  reconnlem2  25022  opnreen  25026  lebnumii  25162  ipcnlem2  25440  ipcnlem1  25441  ivthlem2  25648  ovolgelb  25676  ovollb2lem  25684  itg2monolem3  25948  dvferm1lem  26180  lhop1lem  26209  lhop  26212  dvcnvrelem1  26213  dvcnvrelem2  26214  pserdvlem1  26627  pserdv  26629  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem3  27232  lgamucov  27239  perfectlem2  27431  bposlem2  27486  pntibndlem2  27792  pntlemb  27798  pntlem3  27810  tpr2rico  34333  omssubaddlem  34721  fibp1  34823  qdiff  38012  heicant  38347  itg2addnc  38366  rrnequiv  38527  2np3bcnp1  42952  2ap1caineq  42953  pellfundex  43654  rmspecfund  43677  acongeq  43751  jm3.1lem2  43786  oddfl  46038  infrpge  46108  xralrple2  46111  xrralrecnnle  46139  iooiinicc  46299  iooiinioc  46313  fsumnncl  46329  climinf  46363  lptre2pt  46395  ioodvbdlimc1lem2  46687  wallispilem4  46823  dirkertrigeqlem3  46855  dirkercncflem2  46859  fourierdlem63  46924  fourierdlem65  46926  fourierdlem75  46936  fourierdlem79  46940  fouriersw  46986  etransclem35  47024  qndenserrnbllem  47049  omeiunltfirp  47274  hoidmvlelem1  47350  hoidmvlelem3  47352  hoiqssbllem3  47379  iinhoiicc  47429  iunhoiioo  47431  vonioolem2  47436  vonicclem1  47438  preimaleiinlt  47476  smfmullem3  47548  perfectALTVlem2  48528