Theorem ltaddrpd 13045

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13007	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   + caddc 11109   < clt 11244  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13046  xov1plusxeqvd  13471  isumltss  15790  effsumlt  16050  tanhlt1  16099  4sqlem12  16885  vdwlem1  16910  prmgaplem7  16986  chfacfscmul0  22351  chfacfpmmul0  22355  nlmvscnlem2  24193  nlmvscnlem1  24194  iccntr  24328  icccmplem2  24330  reconnlem2  24334  opnreen  24338  lebnumii  24473  ipcnlem2  24752  ipcnlem1  24753  ivthlem2  24960  ovolgelb  24988  ovollb2lem  24996  itg2monolem3  25261  dvferm1lem  25492  lhop1lem  25521  lhop  25524  dvcnvrelem1  25525  dvcnvrelem2  25526  pserdvlem1  25930  pserdv  25932  lgamgulmlem2  26523  lgamgulmlem3  26524  lgamucov  26531  perfectlem2  26722  bposlem2  26777  pntibndlem2  27083  pntlemb  27089  pntlem3  27101  tpr2rico  32880  omssubaddlem  33286  fibp1  33388  heicant  36511  itg2addnc  36530  rrnequiv  36691  2np3bcnp1  40948  2ap1caineq  40949  pellfundex  41609  rmspecfund  41632  acongeq  41707  jm3.1lem2  41742  oddfl  43973  infrpge  44047  xralrple2  44050  xrralrecnnle  44079  iooiinicc  44241  iooiinioc  44255  fsumnncl  44274  climinf  44308  lptre2pt  44342  ioodvbdlimc1lem2  44634  wallispilem4  44770  dirkertrigeqlem3  44802  dirkercncflem2  44806  fourierdlem63  44871  fourierdlem65  44873  fourierdlem75  44883  fourierdlem79  44887  fouriersw  44933  etransclem35  44971  qndenserrnbllem  44996  omeiunltfirp  45221  hoidmvlelem1  45297  hoidmvlelem3  45299  hoiqssbllem3  45326  iinhoiicc  45376  iunhoiioo  45378  vonioolem2  45383  vonicclem1  45385  preimaleiinlt  45423  smfmullem3  45495  perfectALTVlem2  46376