Theorem ltaddrpd 12281

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  ℝcr 10334   + caddc 10338   < clt 10474  ℝ⁺crp 12204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479  df-rp 12205

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12282  xov1plusxeqvd  12700  isumltss  15063  effsumlt  15324  tanhlt1  15373  4sqlem12  16148  vdwlem1  16173  prmgaplem7  16249  chfacfscmul0  21170  chfacfpmmul0  21174  nlmvscnlem2  22997  nlmvscnlem1  22998  iccntr  23132  icccmplem2  23134  reconnlem2  23138  opnreen  23142  lebnumii  23273  ipcnlem2  23550  ipcnlem1  23551  ivthlem2  23756  ovolgelb  23784  ovollb2lem  23792  itg2monolem3  24056  dvferm1lem  24284  lhop1lem  24313  lhop  24316  dvcnvrelem1  24317  dvcnvrelem2  24318  pserdvlem1  24718  pserdv  24720  lgamgulmlem2  25309  lgamgulmlem3  25310  lgamucov  25317  perfectlem2  25508  bposlem2  25563  pntibndlem2  25869  pntlemb  25875  pntlem3  25887  tpr2rico  30805  omssubaddlem  31208  fibp1  31311  heicant  34374  itg2addnc  34393  rrnequiv  34561  pellfundex  38885  rmspecfund  38908  acongeq  38982  jm3.1lem2  39017  oddfl  40978  infrpge  41054  xralrple2  41057  xrralrecnnle  41089  iooiinicc  41255  iooiinioc  41269  fsumnncl  41289  climinf  41324  lptre2pt  41358  ioodvbdlimc1lem2  41653  wallispilem4  41790  dirkertrigeqlem3  41822  dirkercncflem2  41826  fourierdlem63  41891  fourierdlem65  41893  fourierdlem75  41903  fourierdlem79  41907  fouriersw  41953  etransclem35  41991  qndenserrnbllem  42016  omeiunltfirp  42238  hoidmvlelem1  42314  hoidmvlelem3  42316  hoiqssbllem3  42343  iinhoiicc  42393  iunhoiioo  42395  vonioolem2  42400  vonicclem1  42402  preimaleiinlt  42436  smfmullem3  42505  perfectALTVlem2  43261