Theorem ltaddrpd 12994

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11178  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12995  xov1plusxeqvd  13426  isumltss  15783  effsumlt  16048  tanhlt1  16097  4sqlem12  16896  vdwlem1  16921  prmgaplem7  16997  chfacfscmul0  22814  chfacfpmmul0  22818  nlmvscnlem2  24641  nlmvscnlem1  24642  iccntr  24778  icccmplem2  24780  reconnlem2  24784  opnreen  24788  lebnumii  24933  ipcnlem2  25212  ipcnlem1  25213  ivthlem2  25421  ovolgelb  25449  ovollb2lem  25457  itg2monolem3  25721  dvferm1lem  25956  lhop1lem  25986  lhop  25989  dvcnvrelem1  25990  dvcnvrelem2  25991  pserdvlem1  26405  pserdv  26407  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  lgamucov  27016  perfectlem2  27209  bposlem2  27264  pntibndlem2  27570  pntlemb  27576  pntlem3  27588  tpr2rico  34089  omssubaddlem  34476  fibp1  34578  heicant  37900  itg2addnc  37919  rrnequiv  38080  2np3bcnp1  42508  2ap1caineq  42509  pellfundex  43237  rmspecfund  43260  acongeq  43334  jm3.1lem2  43369  oddfl  45634  infrpge  45704  xralrple2  45707  xrralrecnnle  45735  iooiinicc  45896  iooiinioc  45910  fsumnncl  45926  climinf  45960  lptre2pt  45992  ioodvbdlimc1lem2  46284  wallispilem4  46420  dirkertrigeqlem3  46452  dirkercncflem2  46456  fourierdlem63  46521  fourierdlem65  46523  fourierdlem75  46533  fourierdlem79  46537  fouriersw  46583  etransclem35  46621  qndenserrnbllem  46646  omeiunltfirp  46871  hoidmvlelem1  46947  hoidmvlelem3  46949  hoiqssbllem3  46976  iinhoiicc  47026  iunhoiioo  47028  vonioolem2  47033  vonicclem1  47035  preimaleiinlt  47073  smfmullem3  47145  perfectALTVlem2  48076