Theorem ltaddrpd 12982

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   + caddc 11029   < clt 11166  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12983  xov1plusxeqvd  13414  isumltss  15771  effsumlt  16036  tanhlt1  16085  4sqlem12  16884  vdwlem1  16909  prmgaplem7  16985  chfacfscmul0  22802  chfacfpmmul0  22806  nlmvscnlem2  24629  nlmvscnlem1  24630  iccntr  24766  icccmplem2  24768  reconnlem2  24772  opnreen  24776  lebnumii  24921  ipcnlem2  25200  ipcnlem1  25201  ivthlem2  25409  ovolgelb  25437  ovollb2lem  25445  itg2monolem3  25709  dvferm1lem  25944  lhop1lem  25974  lhop  25977  dvcnvrelem1  25978  dvcnvrelem2  25979  pserdvlem1  26393  pserdv  26395  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamucov  27004  perfectlem2  27197  bposlem2  27252  pntibndlem2  27558  pntlemb  27564  pntlem3  27576  tpr2rico  34069  omssubaddlem  34456  fibp1  34558  heicant  37852  itg2addnc  37871  rrnequiv  38032  2np3bcnp1  42394  2ap1caineq  42395  pellfundex  43124  rmspecfund  43147  acongeq  43221  jm3.1lem2  43256  oddfl  45522  infrpge  45592  xralrple2  45595  xrralrecnnle  45623  iooiinicc  45784  iooiinioc  45798  fsumnncl  45814  climinf  45848  lptre2pt  45880  ioodvbdlimc1lem2  46172  wallispilem4  46308  dirkertrigeqlem3  46340  dirkercncflem2  46344  fourierdlem63  46409  fourierdlem65  46411  fourierdlem75  46421  fourierdlem79  46425  fouriersw  46471  etransclem35  46509  qndenserrnbllem  46534  omeiunltfirp  46759  hoidmvlelem1  46835  hoidmvlelem3  46837  hoiqssbllem3  46864  iinhoiicc  46914  iunhoiioo  46916  vonioolem2  46921  vonicclem1  46923  preimaleiinlt  46961  smfmullem3  47033  perfectALTVlem2  47964