Theorem ltaddrpd 13049

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109   + caddc 11113   < clt 11248  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13050  xov1plusxeqvd  13475  isumltss  15794  effsumlt  16054  tanhlt1  16103  4sqlem12  16889  vdwlem1  16914  prmgaplem7  16990  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  nlmvscnlem2  24202  nlmvscnlem1  24203  iccntr  24337  icccmplem2  24339  reconnlem2  24343  opnreen  24347  lebnumii  24482  ipcnlem2  24761  ipcnlem1  24762  ivthlem2  24969  ovolgelb  24997  ovollb2lem  25005  itg2monolem3  25270  dvferm1lem  25501  lhop1lem  25530  lhop  25533  dvcnvrelem1  25534  dvcnvrelem2  25535  pserdvlem1  25939  pserdv  25941  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamucov  26542  perfectlem2  26733  bposlem2  26788  pntibndlem2  27094  pntlemb  27100  pntlem3  27112  tpr2rico  32892  omssubaddlem  33298  fibp1  33400  heicant  36523  itg2addnc  36542  rrnequiv  36703  2np3bcnp1  40960  2ap1caineq  40961  pellfundex  41624  rmspecfund  41647  acongeq  41722  jm3.1lem2  41757  oddfl  43987  infrpge  44061  xralrple2  44064  xrralrecnnle  44093  iooiinicc  44255  iooiinioc  44269  fsumnncl  44288  climinf  44322  lptre2pt  44356  ioodvbdlimc1lem2  44648  wallispilem4  44784  dirkertrigeqlem3  44816  dirkercncflem2  44820  fourierdlem63  44885  fourierdlem65  44887  fourierdlem75  44897  fourierdlem79  44901  fouriersw  44947  etransclem35  44985  qndenserrnbllem  45010  omeiunltfirp  45235  hoidmvlelem1  45311  hoidmvlelem3  45313  hoiqssbllem3  45340  iinhoiicc  45390  iunhoiioo  45392  vonioolem2  45397  vonicclem1  45399  preimaleiinlt  45437  smfmullem3  45509  perfectALTVlem2  46390