MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrpd 12991
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltaddrp 12953 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051   + caddc 11055   < clt 11190  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12992  xov1plusxeqvd  13416  isumltss  15734  effsumlt  15994  tanhlt1  16043  4sqlem12  16829  vdwlem1  16854  prmgaplem7  16930  chfacfscmul0  22210  chfacfpmmul0  22214  nlmvscnlem2  24052  nlmvscnlem1  24053  iccntr  24187  icccmplem2  24189  reconnlem2  24193  opnreen  24197  lebnumii  24332  ipcnlem2  24611  ipcnlem1  24612  ivthlem2  24819  ovolgelb  24847  ovollb2lem  24855  itg2monolem3  25120  dvferm1lem  25351  lhop1lem  25380  lhop  25383  dvcnvrelem1  25384  dvcnvrelem2  25385  pserdvlem1  25789  pserdv  25791  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem3  26383  lgamucov  26390  perfectlem2  26581  bposlem2  26636  pntibndlem2  26942  pntlemb  26948  pntlem3  26960  tpr2rico  32496  omssubaddlem  32902  fibp1  33004  heicant  36116  itg2addnc  36135  rrnequiv  36297  2np3bcnp1  40555  2ap1caineq  40556  pellfundex  41212  rmspecfund  41235  acongeq  41310  jm3.1lem2  41345  oddfl  43518  infrpge  43592  xralrple2  43595  xrralrecnnle  43624  iooiinicc  43787  iooiinioc  43801  fsumnncl  43820  climinf  43854  lptre2pt  43888  ioodvbdlimc1lem2  44180  wallispilem4  44316  dirkertrigeqlem3  44348  dirkercncflem2  44352  fourierdlem63  44417  fourierdlem65  44419  fourierdlem75  44429  fourierdlem79  44433  fouriersw  44479  etransclem35  44517  qndenserrnbllem  44542  omeiunltfirp  44767  hoidmvlelem1  44843  hoidmvlelem3  44845  hoiqssbllem3  44872  iinhoiicc  44922  iunhoiioo  44924  vonioolem2  44929  vonicclem1  44931  preimaleiinlt  44969  smfmullem3  45041  perfectALTVlem2  45921
  Copyright terms: Public domain W3C validator