Theorem ltaddrpd 13084

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13046	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087   + caddc 11091   < clt 11231  ℝ⁺crp 13007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-rp 13008

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13085  xov1plusxeqvd  13516  isumltss  15892  effsumlt  16157  tanhlt1  16206  4sqlem12  17006  vdwlem1  17031  prmgaplem7  17107  chfacfscmul0  22976  chfacfpmmul0  22980  nlmvscnlem2  24803  nlmvscnlem1  24804  iccntr  24940  icccmplem2  24942  reconnlem2  24946  opnreen  24950  lebnumii  25086  ipcnlem2  25364  ipcnlem1  25365  ivthlem2  25572  ovolgelb  25600  ovollb2lem  25608  itg2monolem3  25872  dvferm1lem  26104  lhop1lem  26133  lhop  26136  dvcnvrelem1  26137  dvcnvrelem2  26138  pserdvlem1  26548  pserdv  26550  lgamgulmlem2  27152  lgamgulmlem3  27153  lgamucov  27160  perfectlem2  27352  bposlem2  27407  pntibndlem2  27713  pntlemb  27719  pntlem3  27731  tpr2rico  34219  omssubaddlem  34606  fibp1  34708  qdiff  37831  heicant  38166  itg2addnc  38185  rrnequiv  38346  2np3bcnp1  42773  2ap1caineq  42774  pellfundex  43475  rmspecfund  43498  acongeq  43572  jm3.1lem2  43607  oddfl  45855  infrpge  45925  xralrple2  45928  xrralrecnnle  45956  iooiinicc  46116  iooiinioc  46130  fsumnncl  46146  climinf  46180  lptre2pt  46212  ioodvbdlimc1lem2  46504  wallispilem4  46640  dirkertrigeqlem3  46672  dirkercncflem2  46676  fourierdlem63  46741  fourierdlem65  46743  fourierdlem75  46753  fourierdlem79  46757  fouriersw  46803  etransclem35  46841  qndenserrnbllem  46866  omeiunltfirp  47091  hoidmvlelem1  47167  hoidmvlelem3  47169  hoiqssbllem3  47196  iinhoiicc  47246  iunhoiioo  47248  vonioolem2  47253  vonicclem1  47255  preimaleiinlt  47293  smfmullem3  47365  perfectALTVlem2  48342