Theorem ltaddrpd 13123

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13085	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127   + caddc 11131   < clt 11271  ℝ⁺crp 13046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-rp 13047

This theorem is used by:  ltaddrp2d  13124  xov1plusxeqvd  13555  isumltss  15941  effsumlt  16205  tanhlt1  16254  4sqlem12  17054  vdwlem1  17079  prmgaplem7  17155  chfacfscmul0  23089  chfacfpmmul0  23093  nlmvscnlem2  24917  nlmvscnlem1  24918  iccntr  25054  icccmplem2  25056  reconnlem2  25060  opnreen  25064  lebnumii  25200  ipcnlem2  25478  ipcnlem1  25479  ivthlem2  25686  ovolgelb  25714  ovollb2lem  25722  itg2monolem3  25986  dvferm1lem  26218  lhop1lem  26247  lhop  26250  dvcnvrelem1  26251  dvcnvrelem2  26252  pserdvlem1  26670  pserdv  26672  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem3  27275  lgamucov  27282  perfectlem2  27474  bposlem2  27529  pntibndlem2  27835  pntlemb  27841  pntlem3  27853  tpr2rico  34430  omssubaddlem  34818  fibp1  34920  qdiff  38087  heicant  38412  itg2addnc  38431  rrnequiv  38593  2np3bcnp1  43018  2ap1caineq  43019  pellfundex  43735  rmspecfund  43758  acongeq  43832  jm3.1lem2  43867  oddfl  46119  infrpge  46189  xralrple2  46192  xrralrecnnle  46220  iooiinicc  46380  iooiinioc  46394  fsumnncl  46410  climinf  46444  lptre2pt  46476  ioodvbdlimc1lem2  46768  wallispilem4  46904  dirkertrigeqlem3  46936  dirkercncflem2  46940  fourierdlem63  47005  fourierdlem65  47007  fourierdlem75  47017  fourierdlem79  47021  fouriersw  47067  etransclem35  47105  qndenserrnbllem  47130  omeiunltfirp  47355  hoidmvlelem1  47431  hoidmvlelem3  47433  hoiqssbllem3  47460  iinhoiicc  47510  iunhoiioo  47512  vonioolem2  47517  vonicclem1  47519  preimaleiinlt  47557  smfmullem3  47629  perfectALTVlem2  48646