Theorem ltaddrpd 12964

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12926	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11002   + caddc 11006   < clt 11143  ℝ⁺crp 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-rp 12888

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12965  xov1plusxeqvd  13395  isumltss  15752  effsumlt  16017  tanhlt1  16066  4sqlem12  16865  vdwlem1  16890  prmgaplem7  16966  chfacfscmul0  22771  chfacfpmmul0  22775  nlmvscnlem2  24598  nlmvscnlem1  24599  iccntr  24735  icccmplem2  24737  reconnlem2  24741  opnreen  24745  lebnumii  24890  ipcnlem2  25169  ipcnlem1  25170  ivthlem2  25378  ovolgelb  25406  ovollb2lem  25414  itg2monolem3  25678  dvferm1lem  25913  lhop1lem  25943  lhop  25946  dvcnvrelem1  25947  dvcnvrelem2  25948  pserdvlem1  26362  pserdv  26364  lgamgulmlem2  26965  lgamgulmlem3  26966  lgamucov  26973  perfectlem2  27166  bposlem2  27221  pntibndlem2  27527  pntlemb  27533  pntlem3  27545  tpr2rico  33920  omssubaddlem  34307  fibp1  34409  heicant  37694  itg2addnc  37713  rrnequiv  37874  2np3bcnp1  42176  2ap1caineq  42177  pellfundex  42918  rmspecfund  42941  acongeq  43015  jm3.1lem2  43050  oddfl  45318  infrpge  45389  xralrple2  45392  xrralrecnnle  45420  iooiinicc  45581  iooiinioc  45595  fsumnncl  45611  climinf  45645  lptre2pt  45677  ioodvbdlimc1lem2  45969  wallispilem4  46105  dirkertrigeqlem3  46137  dirkercncflem2  46141  fourierdlem63  46206  fourierdlem65  46208  fourierdlem75  46218  fourierdlem79  46222  fouriersw  46268  etransclem35  46306  qndenserrnbllem  46331  omeiunltfirp  46556  hoidmvlelem1  46632  hoidmvlelem3  46634  hoiqssbllem3  46661  iinhoiicc  46711  iunhoiioo  46713  vonioolem2  46718  vonicclem1  46720  preimaleiinlt  46758  smfmullem3  46830  perfectALTVlem2  47752