Theorem ltaddrpd 12988

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12950	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   + caddc 11031   < clt 11168  ℝ⁺crp 12911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-rp 12912

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12989  xov1plusxeqvd  13419  isumltss  15773  effsumlt  16038  tanhlt1  16087  4sqlem12  16886  vdwlem1  16911  prmgaplem7  16987  chfacfscmul0  22761  chfacfpmmul0  22765  nlmvscnlem2  24589  nlmvscnlem1  24590  iccntr  24726  icccmplem2  24728  reconnlem2  24732  opnreen  24736  lebnumii  24881  ipcnlem2  25160  ipcnlem1  25161  ivthlem2  25369  ovolgelb  25397  ovollb2lem  25405  itg2monolem3  25669  dvferm1lem  25904  lhop1lem  25934  lhop  25937  dvcnvrelem1  25938  dvcnvrelem2  25939  pserdvlem1  26353  pserdv  26355  lgamgulmlem2  26956  lgamgulmlem3  26957  lgamucov  26964  perfectlem2  27157  bposlem2  27212  pntibndlem2  27518  pntlemb  27524  pntlem3  27536  tpr2rico  33878  omssubaddlem  34266  fibp1  34368  heicant  37634  itg2addnc  37653  rrnequiv  37814  2np3bcnp1  42117  2ap1caineq  42118  pellfundex  42859  rmspecfund  42882  acongeq  42956  jm3.1lem2  42991  oddfl  45260  infrpge  45331  xralrple2  45334  xrralrecnnle  45363  iooiinicc  45524  iooiinioc  45538  fsumnncl  45554  climinf  45588  lptre2pt  45622  ioodvbdlimc1lem2  45914  wallispilem4  46050  dirkertrigeqlem3  46082  dirkercncflem2  46086  fourierdlem63  46151  fourierdlem65  46153  fourierdlem75  46163  fourierdlem79  46167  fouriersw  46213  etransclem35  46251  qndenserrnbllem  46276  omeiunltfirp  46501  hoidmvlelem1  46577  hoidmvlelem3  46579  hoiqssbllem3  46606  iinhoiicc  46656  iunhoiioo  46658  vonioolem2  46663  vonicclem1  46665  preimaleiinlt  46703  smfmullem3  46775  perfectALTVlem2  47707