Theorem ltaddrpd 13200

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202   + caddc 11206   < clt 11346  ℝ⁺crp 13123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-rp 13124

This theorem is used by:  ltaddrp2d  13201  xov1plusxeqvd  13632  isumltss  16022  effsumlt  16284  tanhlt1  16333  4sqlem12  17139  vdwlem1  17164  prmgaplem7  17240  chfacfscmul0  23181  chfacfpmmul0  23185  nlmvscnlem2  25009  nlmvscnlem1  25010  iccntr  25146  icccmplem2  25148  reconnlem2  25152  opnreen  25156  lebnumii  25292  ipcnlem2  25570  ipcnlem1  25571  ivthlem2  25778  ovolgelb  25806  ovollb2lem  25814  itg2monolem3  26078  dvferm1lem  26309  lhop1lem  26338  lhop  26341  dvcnvrelem1  26342  dvcnvrelem2  26343  pserdvlem1  26759  pserdv  26761  lgamgulmlem2  27362  lgamgulmlem3  27363  lgamucov  27370  perfectlem2  27562  bposlem2  27617  pntibndlem2  27923  pntlemb  27929  pntlem3  27941  tpr2rico  34590  omssubaddlem  34977  fibp1  35079  qdiff  38341  heicant  38666  itg2addnc  38685  rrnequiv  38862  2np3bcnp1  43287  2ap1caineq  43288  pellfundex  43986  rmspecfund  44009  acongeq  44083  jm3.1lem2  44118  oddfl  46387  infrpge  46456  xralrple2  46459  xrralrecnnle  46487  iooiinicc  46647  iooiinioc  46661  fsumnncl  46677  climinf  46711  lptre2pt  46743  ioodvbdlimc1lem2  47035  wallispilem4  47171  dirkertrigeqlem3  47203  dirkercncflem2  47207  fourierdlem63  47272  fourierdlem65  47274  fourierdlem75  47284  fourierdlem79  47288  fouriersw  47334  etransclem35  47372  qndenserrnbllem  47397  omeiunltfirp  47622  hoidmvlelem1  47698  hoidmvlelem3  47700  hoiqssbllem3  47727  iinhoiicc  47777  iunhoiioo  47779  vonioolem2  47784  vonicclem1  47786  preimaleiinlt  47824  smfmullem3  47896  perfectALTVlem2  48913