Theorem ltaddrpd 13019

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11179  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13020  xov1plusxeqvd  13451  isumltss  15813  effsumlt  16078  tanhlt1  16127  4sqlem12  16927  vdwlem1  16952  prmgaplem7  17028  chfacfscmul0  22823  chfacfpmmul0  22827  nlmvscnlem2  24650  nlmvscnlem1  24651  iccntr  24787  icccmplem2  24789  reconnlem2  24793  opnreen  24797  lebnumii  24933  ipcnlem2  25211  ipcnlem1  25212  ivthlem2  25419  ovolgelb  25447  ovollb2lem  25455  itg2monolem3  25719  dvferm1lem  25951  lhop1lem  25980  lhop  25983  dvcnvrelem1  25984  dvcnvrelem2  25985  pserdvlem1  26392  pserdv  26394  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamucov  27001  perfectlem2  27193  bposlem2  27248  pntibndlem2  27554  pntlemb  27560  pntlem3  27572  tpr2rico  34056  omssubaddlem  34443  fibp1  34545  qdiff  37641  heicant  37976  itg2addnc  37995  rrnequiv  38156  2np3bcnp1  42583  2ap1caineq  42584  pellfundex  43314  rmspecfund  43337  acongeq  43411  jm3.1lem2  43446  oddfl  45711  infrpge  45781  xralrple2  45784  xrralrecnnle  45812  iooiinicc  45972  iooiinioc  45986  fsumnncl  46002  climinf  46036  lptre2pt  46068  ioodvbdlimc1lem2  46360  wallispilem4  46496  dirkertrigeqlem3  46528  dirkercncflem2  46532  fourierdlem63  46597  fourierdlem65  46599  fourierdlem75  46609  fourierdlem79  46613  fouriersw  46659  etransclem35  46697  qndenserrnbllem  46722  omeiunltfirp  46947  hoidmvlelem1  47023  hoidmvlelem3  47025  hoiqssbllem3  47052  iinhoiicc  47102  iunhoiioo  47104  vonioolem2  47109  vonicclem1  47111  preimaleiinlt  47149  smfmullem3  47221  perfectALTVlem2  48198