Theorem ltaddrpd 13224

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   + caddc 11230   < clt 11370  ℝ⁺crp 13147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-rp 13148

This theorem is used by:  ltaddrp2d  13225  xov1plusxeqvd  13656  isumltss  16046  effsumlt  16308  tanhlt1  16357  4sqlem12  17163  vdwlem1  17188  prmgaplem7  17264  chfacfscmul0  23206  chfacfpmmul0  23210  nlmvscnlem2  25034  nlmvscnlem1  25035  iccntr  25171  icccmplem2  25173  reconnlem2  25177  opnreen  25181  lebnumii  25317  ipcnlem2  25595  ipcnlem1  25596  ivthlem2  25803  ovolgelb  25831  ovollb2lem  25839  itg2monolem3  26103  dvferm1lem  26334  lhop1lem  26363  lhop  26366  dvcnvrelem1  26367  dvcnvrelem2  26368  pserdvlem1  26784  pserdv  26786  lgamgulmlem2  27387  lgamgulmlem3  27388  lgamucov  27395  perfectlem2  27587  bposlem2  27642  pntibndlem2  27948  pntlemb  27954  pntlem3  27966  tpr2rico  34614  omssubaddlem  35001  fibp1  35103  qdiff  38440  heicant  38765  itg2addnc  38784  rrnequiv  38961  2np3bcnp1  43386  2ap1caineq  43387  pellfundex  44086  rmspecfund  44109  acongeq  44183  jm3.1lem2  44218  oddfl  46499  infrpge  46568  xralrple2  46571  xrralrecnnle  46599  iooiinicc  46759  iooiinioc  46773  fsumnncl  46789  climinf  46823  lptre2pt  46855  ioodvbdlimc1lem2  47147  wallispilem4  47283  dirkertrigeqlem3  47315  dirkercncflem2  47319  fourierdlem63  47384  fourierdlem65  47386  fourierdlem75  47396  fourierdlem79  47400  fouriersw  47446  etransclem35  47484  qndenserrnbllem  47509  omeiunltfirp  47734  hoidmvlelem1  47810  hoidmvlelem3  47812  hoiqssbllem3  47839  iinhoiicc  47889  iunhoiioo  47891  vonioolem2  47896  vonicclem1  47898  preimaleiinlt  47936  smfmullem3  48008  perfectALTVlem2  49025