Theorem ltaddrpd 13031

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  ℝcr 11091   + caddc 11095   < clt 11230  ℝ⁺crp 12956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-rp 12957

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13032  xov1plusxeqvd  13457  isumltss  15776  effsumlt  16036  tanhlt1  16085  4sqlem12  16871  vdwlem1  16896  prmgaplem7  16972  chfacfscmul0  22289  chfacfpmmul0  22293  nlmvscnlem2  24131  nlmvscnlem1  24132  iccntr  24266  icccmplem2  24268  reconnlem2  24272  opnreen  24276  lebnumii  24411  ipcnlem2  24690  ipcnlem1  24691  ivthlem2  24898  ovolgelb  24926  ovollb2lem  24934  itg2monolem3  25199  dvferm1lem  25430  lhop1lem  25459  lhop  25462  dvcnvrelem1  25463  dvcnvrelem2  25464  pserdvlem1  25868  pserdv  25870  lgamgulmlem2  26461  lgamgulmlem3  26462  lgamucov  26469  perfectlem2  26660  bposlem2  26715  pntibndlem2  27021  pntlemb  27027  pntlem3  27039  tpr2rico  32723  omssubaddlem  33129  fibp1  33231  heicant  36327  itg2addnc  36346  rrnequiv  36508  2np3bcnp1  40765  2ap1caineq  40766  pellfundex  41395  rmspecfund  41418  acongeq  41493  jm3.1lem2  41528  oddfl  43760  infrpge  43834  xralrple2  43837  xrralrecnnle  43866  iooiinicc  44028  iooiinioc  44042  fsumnncl  44061  climinf  44095  lptre2pt  44129  ioodvbdlimc1lem2  44421  wallispilem4  44557  dirkertrigeqlem3  44589  dirkercncflem2  44593  fourierdlem63  44658  fourierdlem65  44660  fourierdlem75  44670  fourierdlem79  44674  fouriersw  44720  etransclem35  44758  qndenserrnbllem  44783  omeiunltfirp  45008  hoidmvlelem1  45084  hoidmvlelem3  45086  hoiqssbllem3  45113  iinhoiicc  45163  iunhoiioo  45165  vonioolem2  45170  vonicclem1  45172  preimaleiinlt  45210  smfmullem3  45282  perfectALTVlem2  46162