MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrpd 12115
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltaddrp 12077 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 575 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2156   class class class wbr 4844  (class class class)co 6870  cr 10216   + caddc 10220   < clt 10355  +crp 12042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-ltxr 10360  df-rp 12043
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12116  xov1plusxeqvd  12537  isumltss  14798  effsumlt  15057  tanhlt1  15106  4sqlem12  15873  vdwlem1  15898  prmgaplem7  15974  chfacfscmul0  20873  chfacfpmmul0  20877  nlmvscnlem2  22699  nlmvscnlem1  22700  iccntr  22834  icccmplem2  22836  reconnlem2  22840  lebnumii  22975  ipcnlem2  23252  ipcnlem1  23253  ivthlem2  23432  ovolgelb  23460  ovollb2lem  23468  itg2monolem3  23732  dvferm1lem  23960  lhop1lem  23989  lhop  23992  dvcnvrelem1  23993  dvcnvrelem2  23994  pserdvlem1  24394  pserdv  24396  lgamgulmlem2  24969  lgamgulmlem3  24970  lgamucov  24977  perfectlem2  25168  bposlem2  25223  pntibndlem2  25493  pntlemb  25499  pntlem3  25511  tpr2rico  30282  omssubaddlem  30685  fibp1  30787  heicant  33755  itg2addnc  33774  rrnequiv  33943  pellfundex  37949  rmspecfund  37972  acongeq  38048  jm3.1lem2  38083  oddfl  39968  infrpge  40044  xralrple2  40047  xrralrecnnle  40079  iooiinicc  40246  iooiinioc  40260  fsumnncl  40280  climinf  40315  lptre2pt  40349  ioodvbdlimc1lem2  40624  wallispilem4  40761  dirkertrigeqlem3  40793  dirkercncflem2  40797  fourierdlem63  40862  fourierdlem65  40864  fourierdlem75  40874  fourierdlem79  40878  fouriersw  40924  etransclem35  40962  qndenserrnbllem  40990  omeiunltfirp  41212  hoidmvlelem1  41288  hoidmvlelem3  41290  hoiqssbllem3  41317  iinhoiicc  41367  iunhoiioo  41369  vonioolem2  41374  vonicclem1  41376  preimaleiinlt  41410  smfmullem3  41479  perfectALTVlem2  42203
  Copyright terms: Public domain W3C validator