MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgitg1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgitg1 25689
Description: Transfer an integral using ∫1 to an equivalent integral using ∫. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgitg1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹
Proof of Theorem itgitg1
StepHypRef Expression
1 i1ff 25556 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ffvelcdmda 7079 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31feqmptd 6953 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4 i1fibl 25688 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
53, 4eqeltrrd 2828 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
62, 5itgreval 25677 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ βˆ’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯))
7 0re 11217 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8 ifcl 4568 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
92, 7, 8sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
10 max1 13167 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
117, 2, 10sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
133, 12eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ dom ∫1)
1413i1fposd 25588 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
15 i1fibl 25688 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
179, 11, 16itgitg2 25687 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
1811ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
19 reex 11200 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
217a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
22 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . 10 (ℝ Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0))
24 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
2520, 21, 9, 23, 24ofrfval2 7687 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
2618, 25mpbird 257 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
27 ax-resscn 11166 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ βŠ† β„‚)
299fmpttd 7109 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆβ„)
3029ffnd 6711 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ)
3128, 300pledm 25553 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3226, 31mpbird 257 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
33 itg2itg1 25617 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3414, 32, 33syl2anc 583 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3517, 34eqtrd 2766 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
362renegcld 11642 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
37 ifcl 4568 . . . . . . 7 ((-(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
3836, 7, 37sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
39 max1 13167 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
407, 36, 39sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
41 neg1rr 12328 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -1 ∈ ℝ)
43 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -1)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -1))
4520, 42, 2, 44, 3offval2 7686 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
462recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4746mulm1d 11667 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = -(πΉβ€˜π‘₯))
4847mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)))
4945, 48eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)))
5041a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ -1 ∈ ℝ)
5112, 50i1fmulc 25584 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
5249, 51eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ dom ∫1)
5352i1fposd 25588 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
54 i1fibl 25688 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
5638, 40, 55itgitg2 25687 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
5740ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
58 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
5920, 21, 38, 23, 58ofrfval2 7687 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
6057, 59mpbird 257 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
6138fmpttd 7109 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆβ„)
6261ffnd 6711 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ)
6328, 620pledm 25553 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6460, 63mpbird 257 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
65 itg2itg1 25617 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6653, 64, 65syl2anc 583 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6756, 66eqtrd 2766 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6835, 67oveq12d 7422 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ βˆ’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) βˆ’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
69 itg1sub 25590 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) βˆ’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
7014, 53, 69syl2anc 583 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) βˆ’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
7168, 70eqtr4d 2769 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ βˆ’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯) = (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
72 max0sub 13178 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (πΉβ€˜π‘₯))
732, 72syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (πΉβ€˜π‘₯))
7473mpteq2dva 5241 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
7520, 9, 38, 24, 58offval2 7686 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
7674, 75, 33eqtr4d 2776 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = 𝐹)
7776fveq2d 6888 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = (∫1β€˜πΉ))
786, 71, 773eqtrd 2770 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  βˆ«1citg1 25495  βˆ«2citg2 25496  πΏ1cibl 25497  βˆ«citg 25498  0𝑝c0p 25549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cmp 23242  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-itg1 25500  df-itg2 25501  df-ibl 25502  df-itg 25503  df-0p 25550
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator