MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgitg1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgitg1 25756
Description: Transfer an integral using ∫1 to an equivalent integral using ∫. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgitg1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹
Proof of Theorem itgitg1
StepHypRef Expression
1 i1ff 25623 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ffvelcdmda 7097 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31feqmptd 6970 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4 i1fibl 25755 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
53, 4eqeltrrd 2829 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
62, 5itgreval 25744 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ βˆ’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯))
7 0re 11252 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8 ifcl 4575 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
92, 7, 8sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
10 max1 13202 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
117, 2, 10sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
133, 12eqeltrrd 2829 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ dom ∫1)
1413i1fposd 25655 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
15 i1fibl 25755 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
179, 11, 16itgitg2 25754 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
1811ralrimiva 3142 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
19 reex 11235 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
217a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
22 fconstmpt 5742 . . . . . . . . . 10 (ℝ Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0))
24 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
2520, 21, 9, 23, 24ofrfval2 7710 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
2618, 25mpbird 256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
27 ax-resscn 11201 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ βŠ† β„‚)
299fmpttd 7128 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆβ„)
3029ffnd 6726 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ)
3128, 300pledm 25620 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3226, 31mpbird 256 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
33 itg2itg1 25684 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3414, 32, 33syl2anc 582 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3517, 34eqtrd 2767 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
362renegcld 11677 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
37 ifcl 4575 . . . . . . 7 ((-(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
3836, 7, 37sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
39 max1 13202 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
407, 36, 39sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
41 neg1rr 12363 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -1 ∈ ℝ)
43 fconstmpt 5742 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -1)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -1))
4520, 42, 2, 44, 3offval2 7709 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
462recnd 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4746mulm1d 11702 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = -(πΉβ€˜π‘₯))
4847mpteq2dva 5250 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)))
4945, 48eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)))
5041a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ -1 ∈ ℝ)
5112, 50i1fmulc 25651 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
5249, 51eqeltrrd 2829 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ dom ∫1)
5352i1fposd 25655 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
54 i1fibl 25755 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ 𝐿1)
5638, 40, 55itgitg2 25754 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
5740ralrimiva 3142 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
58 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
5920, 21, 38, 23, 58ofrfval2 7710 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
6057, 59mpbird 256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
6138fmpttd 7128 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆβ„)
6261ffnd 6726 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ)
6328, 620pledm 25620 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6460, 63mpbird 256 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
65 itg2itg1 25684 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6653, 64, 65syl2anc 582 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6756, 66eqtrd 2767 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6835, 67oveq12d 7442 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ βˆ’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) βˆ’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
69 itg1sub 25657 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) βˆ’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
7014, 53, 69syl2anc 582 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) βˆ’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
7168, 70eqtr4d 2770 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (βˆ«β„if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯ βˆ’ βˆ«β„if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) dπ‘₯) = (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
72 max0sub 13213 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (πΉβ€˜π‘₯))
732, 72syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (πΉβ€˜π‘₯))
7473mpteq2dva 5250 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
7520, 9, 38, 24, 58offval2 7709 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
7674, 75, 33eqtr4d 2777 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = 𝐹)
7776fveq2d 6904 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = (∫1β€˜πΉ))
786, 71, 773eqtrd 2771 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ«β„(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5150   ↦ cmpt 5233   Γ— cxp 5678  dom cdm 5680  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∘f cof 7687   ∘r cofr 7688  β„‚cc 11142  β„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   Β· cmul 11149   ≀ cle 11285   βˆ’ cmin 11480  -cneg 11481  βˆ«1citg1 25562  βˆ«2citg2 25563  πΏ1cibl 25564  βˆ«citg 25565  0𝑝c0p 25616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5116  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671  df-rest 17409  df-topgen 17430  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cmp 23309  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-itg 25570  df-0p 25617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator