Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgmulc2nclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2nclem2 36148
Description: Lemma for itgmulc2nc 36149; cf. itgmulc2lem2 25200. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
itgmulc2nc.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
itgmulc2nc.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
itgmulc2nc.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
itgmulc2nc.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ∫𝐴(𝐢 Β· 𝐡) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
2 max0sub 13116 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) = 𝐢)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) = 𝐢)
43oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· 𝐡) = (𝐢 Β· 𝐡))
54adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· 𝐡) = (𝐢 Β· 𝐡))
6 0re 11158 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
7 ifcl 4532 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
81, 6, 7sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
98recnd 11184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
109adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
111renegcld 11583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ ℝ)
12 ifcl 4532 . . . . . . . 8 ((-𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ ℝ)
1311, 6, 12sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ ℝ)
1413recnd 11184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ β„‚)
1514adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ β„‚)
16 itgmulc2nc.5 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1716recnd 11184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1810, 15, 17subdird 11613 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)))
195, 18eqtr3d 2779 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)))
2019itgeq2dv 25149 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐢 Β· 𝐡) dπ‘₯ = ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) dπ‘₯)
21 ovexd 7393 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) ∈ V)
22 itgmulc2nc.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
23 itgmulc2nc.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
24 ovexd 7393 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ V)
2523, 24mbfdm2 25004 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
268adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
27 fconstmpt 5695 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
2827a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
29 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3025, 26, 16, 28, 29offval2 7638 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)))
31 iblmbf 25135 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
3222, 31syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
3317fmpttd 7064 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
3432, 8, 33mbfmulc2re 25015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
3530, 34eqeltrrd 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
369, 16, 22, 35iblmulc2nc 36146 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ 𝐿1)
37 ovexd 7393 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) ∈ V)
3813adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ ℝ)
39 fconstmpt 5695 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0))
4039a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)))
4125, 38, 16, 40, 29offval2 7638 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)))
4232, 13, 33mbfmulc2re 25015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
4341, 42eqeltrrd 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
4414, 16, 22, 43iblmulc2nc 36146 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ 𝐿1)
4519mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡))))
4645, 23eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡))) ∈ MblFn)
4721, 36, 37, 44, 46itgsubnc 36143 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) dπ‘₯ = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯))
48 ovexd 7393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ V)
49 ifcl 4532 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
5016, 6, 49sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
5116iblre 25161 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ 𝐿1)))
5222, 51mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ 𝐿1))
5352simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ 𝐿1)
54 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
5525, 26, 50, 28, 54offval2 7638 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
5616, 32mbfpos 25018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5750recnd 11184 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
5857fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
5956, 8, 58mbfmulc2re 25015 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
6055, 59eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
619, 50, 53, 60iblmulc2nc 36146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
62 ovexd 7393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ V)
6316renegcld 11583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
64 ifcl 4532 . . . . . . . 8 ((-𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
6563, 6, 64sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
6652simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ 𝐿1)
67 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
6825, 26, 65, 28, 67offval2 7638 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
6916, 32mbfneg 25017 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡) ∈ MblFn)
7063, 69mbfpos 25018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
7165recnd 11184 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ β„‚)
7271fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
7370, 8, 72mbfmulc2re 25015 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
7468, 73eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
759, 65, 66, 74iblmulc2nc 36146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
76 max0sub 13116 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = 𝐡)
7716, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = 𝐡)
7877oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡))
7910, 57, 71subdid 11612 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
8078, 79eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
8180mpteq2dva 5206 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
8230, 81eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
8382, 34eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))) ∈ MblFn)
8448, 61, 62, 75, 83itgsubnc 36143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯ = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
8580itgeq2dv 25149 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯)
8616, 22itgreval 25164 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯))
8786oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
8850, 53itgcl 25151 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ ∈ β„‚)
8965, 66itgcl 25151 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯ ∈ β„‚)
909, 88, 89subdid 11612 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
91 max1 13105 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
926, 1, 91sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
93 max1 13105 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
946, 16, 93sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
959, 50, 53, 60, 8, 50, 92, 94itgmulc2nclem1 36147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯)
96 max1 13105 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐡 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
976, 63, 96sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
989, 65, 66, 74, 8, 65, 92, 97itgmulc2nclem1 36147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯)
9995, 98oveq12d 7376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
10087, 90, 993eqtrd 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
10184, 85, 1003eqtr4d 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
102 ovexd 7393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ V)
10325, 38, 50, 40, 54offval2 7638 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
10456, 13, 58mbfmulc2re 25015 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
105103, 104eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
10614, 50, 53, 105iblmulc2nc 36146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
107 ovexd 7393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ V)
10825, 38, 65, 40, 67offval2 7638 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
10970, 13, 72mbfmulc2re 25015 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
110108, 109eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
11114, 65, 66, 110iblmulc2nc 36146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
11277oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡))
11315, 57, 71subdid 11612 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
114112, 113eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
115114mpteq2dva 5206 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
11641, 115eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
117116, 42eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))) ∈ MblFn)
118102, 106, 107, 111, 117itgsubnc 36143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯ = (∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
119114itgeq2dv 25149 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = ∫𝐴((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯)
12086oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
12114, 88, 89subdid 11612 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
122 max1 13105 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐢 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0))
1236, 11, 122sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0))
12414, 50, 53, 105, 13, 50, 123, 94itgmulc2nclem1 36147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯)
12514, 65, 66, 110, 13, 65, 123, 97itgmulc2nclem1 36147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯)
126124, 125oveq12d 7376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = (∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
127120, 121, 1263eqtrd 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
128118, 119, 1273eqtr4d 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
129101, 128oveq12d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯)))
13016, 22itgcl 25151 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ ∈ β„‚)
1319, 14, 130subdird 11613 . . 3 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯)))
1323oveq1d 7373 . . 3 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
133129, 131, 1323eqtr2d 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯) = (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
13420, 47, 1333eqtrrd 2782 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ∫𝐴(𝐢 Β· 𝐡) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052   Β· cmul 11057   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386  -cneg 11387  volcvol 24830  MblFncmbf 24981  πΏ1cibl 24984  βˆ«citg 24985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988  df-ibl 24989  df-itg 24990  df-0p 25037
This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  36149
  Copyright terms: Public domain W3C validator