Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgmulc2nclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2nclem2 37095
Description: Lemma for itgmulc2nc 37096; cf. itgmulc2lem2 25749. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
itgmulc2nc.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
itgmulc2nc.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
itgmulc2nc.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
itgmulc2nc.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ∫𝐴(𝐢 Β· 𝐡) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
2 max0sub 13199 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) = 𝐢)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) = 𝐢)
43oveq1d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· 𝐡) = (𝐢 Β· 𝐡))
54adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· 𝐡) = (𝐢 Β· 𝐡))
6 0re 11238 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
7 ifcl 4569 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
81, 6, 7sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
98recnd 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
109adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
111renegcld 11663 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ ℝ)
12 ifcl 4569 . . . . . . . 8 ((-𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ ℝ)
1311, 6, 12sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ ℝ)
1413recnd 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ β„‚)
1514adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ β„‚)
16 itgmulc2nc.5 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1716recnd 11264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1810, 15, 17subdird 11693 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)))
195, 18eqtr3d 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)))
2019itgeq2dv 25698 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐢 Β· 𝐡) dπ‘₯ = ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) dπ‘₯)
21 ovexd 7449 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) ∈ V)
22 itgmulc2nc.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
23 itgmulc2nc.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
24 ovexd 7449 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ V)
2523, 24mbfdm2 25553 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
268adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
27 fconstmpt 5734 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
2827a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
29 eqidd 2728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3025, 26, 16, 28, 29offval2 7699 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)))
31 iblmbf 25684 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
3222, 31syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
3317fmpttd 7119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
3432, 8, 33mbfmulc2re 25564 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
3530, 34eqeltrrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
369, 16, 22, 35iblmulc2nc 37093 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ 𝐿1)
37 ovexd 7449 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) ∈ V)
3813adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) ∈ ℝ)
39 fconstmpt 5734 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0))
4039a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)))
4125, 38, 16, 40, 29offval2 7699 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)))
4232, 13, 33mbfmulc2re 25564 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
4341, 42eqeltrrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
4414, 16, 22, 43iblmulc2nc 37093 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) ∈ 𝐿1)
4519mpteq2dva 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡))))
4645, 23eqeltrrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡))) ∈ MblFn)
4721, 36, 37, 44, 46itgsubnc 37090 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) dπ‘₯ = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯))
48 ovexd 7449 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ V)
49 ifcl 4569 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
5016, 6, 49sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
5116iblre 25710 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ 𝐿1)))
5222, 51mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ 𝐿1))
5352simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ 𝐿1)
54 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
5525, 26, 50, 28, 54offval2 7699 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
5616, 32mbfpos 25567 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5750recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
5857fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
5956, 8, 58mbfmulc2re 25564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
6055, 59eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
619, 50, 53, 60iblmulc2nc 37093 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
62 ovexd 7449 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ V)
6316renegcld 11663 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
64 ifcl 4569 . . . . . . . 8 ((-𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
6563, 6, 64sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ ℝ)
6652simprd 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ 𝐿1)
67 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
6825, 26, 65, 28, 67offval2 7699 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
6916, 32mbfneg 25566 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡) ∈ MblFn)
7063, 69mbfpos 25567 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
7165recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) ∈ β„‚)
7271fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
7370, 8, 72mbfmulc2re 25564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
7468, 73eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
759, 65, 66, 74iblmulc2nc 37093 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
76 max0sub 13199 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = 𝐡)
7716, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) = 𝐡)
7877oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡))
7910, 57, 71subdid 11692 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
8078, 79eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
8180mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
8230, 81eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
8382, 34eqeltrrd 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))) ∈ MblFn)
8448, 61, 62, 75, 83itgsubnc 37090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯ = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
8580itgeq2dv 25698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = ∫𝐴((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯)
8616, 22itgreval 25713 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯))
8786oveq2d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
8850, 53itgcl 25700 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ ∈ β„‚)
8965, 66itgcl 25700 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯ ∈ β„‚)
909, 88, 89subdid 11692 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
91 max1 13188 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
926, 1, 91sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
93 max1 13188 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
946, 16, 93sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
959, 50, 53, 60, 8, 50, 92, 94itgmulc2nclem1 37094 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯)
96 max1 13188 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐡 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
976, 63, 96sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
989, 65, 66, 74, 8, 65, 92, 97itgmulc2nclem1 37094 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯)
9995, 98oveq12d 7432 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
10087, 90, 993eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
10184, 85, 1003eqtr4d 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = (if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
102 ovexd 7449 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ V)
10325, 38, 50, 40, 54offval2 7699 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
10456, 13, 58mbfmulc2re 25564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
105103, 104eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ MblFn)
10614, 50, 53, 105iblmulc2nc 37093 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
107 ovexd 7449 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ V)
10825, 38, 65, 40, 67offval2 7699 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
10970, 13, 72mbfmulc2re 25564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
110108, 109eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ MblFn)
11114, 65, 66, 110iblmulc2nc 37093 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) ∈ 𝐿1)
11277oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡))
11315, 57, 71subdid 11692 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) = ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
114112, 113eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) = ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))))
115114mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
11641, 115eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))))
117116, 42eqeltrrd 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))) ∈ MblFn)
118102, 106, 107, 111, 117itgsubnc 37090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯ = (∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
119114itgeq2dv 25698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = ∫𝐴((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))) dπ‘₯)
12086oveq2d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
12114, 88, 89subdid 11692 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· (∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)))
122 max1 13188 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐢 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0))
1236, 11, 122sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0))
12414, 50, 53, 105, 13, 50, 123, 94itgmulc2nclem1 37094 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯)
12514, 65, 66, 110, 13, 65, 123, 97itgmulc2nclem1 37094 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯) = ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯)
126124, 125oveq12d 7432 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0) dπ‘₯)) = (∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
127120, 121, 1263eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) dπ‘₯))
128118, 119, 1273eqtr4d 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ = (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
129101, 128oveq12d 7432 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯)))
13016, 22itgcl 25700 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ ∈ β„‚)
1319, 14, 130subdird 11693 . . 3 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) βˆ’ (if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯)))
1323oveq1d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ ((if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) βˆ’ if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0)) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
133129, 131, 1323eqtr2d 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯ βˆ’ ∫𝐴(if(0 ≀ -𝐢, -𝐢, 0) Β· 𝐡) dπ‘₯) = (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
13420, 47, 1333eqtrrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ∫𝐴(𝐢 Β· 𝐡) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467  volcvol 25379  MblFncmbf 25530  πΏ1cibl 25533  βˆ«citg 25534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586
This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  37096
  Copyright terms: Public domain W3C validator