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Theorem mbfi1flimlem 25239
Description: Lemma for mbfi1flim 25240. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flimlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flimlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑔,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem mbfi1flimlem
Dummy variables 𝑦 𝑓 β„Ž π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1flimlem.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
31feqmptd 6960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4 mbfi1flim.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
53, 4eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
62, 5mbfpos 25167 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
7 0re 11215 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
8 ifcl 4573 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
92, 7, 8sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
10 max1 13163 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))
117, 2, 10sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))
12 elrege0 13430 . . . . 5 (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
139, 11, 12sylanbrc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ (0[,)+∞))
1413fmpttd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
156, 14mbfi1fseq 25238 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
162renegcld 11640 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
172, 5mbfneg 25166 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
1816, 17mbfpos 25167 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
19 ifcl 4573 . . . . . 6 ((-(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
2016, 7, 19sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
21 max1 13163 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))
227, 16, 21sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))
23 elrege0 13430 . . . . 5 (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0)))
2420, 22, 23sylanbrc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ (0[,)+∞))
2524fmpttd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
2618, 25mbfi1fseq 25238 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
27 exdistrv 1959 . . 3 (βˆƒπ‘“βˆƒβ„Ž((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ βˆƒβ„Ž(β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))))
28 3simpb 1149 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
29 3simpb 1149 . . . . . . 7 ((β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
3028, 29anim12i 613 . . . . . 6 (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) β†’ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))))
31 an4 654 . . . . . 6 (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) ↔ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))))
3230, 31sylib 217 . . . . 5 (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) β†’ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))))
33 r19.26 3111 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
34 i1fsub 25225 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ dom ∫1) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑦) ∈ dom ∫1)
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ (π‘₯ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ dom ∫1)) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑦) ∈ dom ∫1)
36 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆdom ∫1)
37 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)
38 nnex 12217 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ β„• ∈ V)
40 inidm 4218 . . . . . . . . 9 (β„• ∩ β„•) = β„•
4135, 36, 37, 39, 39, 40off 7687 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž):β„•βŸΆdom ∫1)
42 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
4342breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4443, 42ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))
46 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
47 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
4846, 47ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . 14 if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
4944, 45, 48fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
5049breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
5142negeqd 11453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘₯))
5251breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯)))
5352, 51ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
54 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))
55 negex 11457 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
5655, 47ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . 14 if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
5753, 54, 56fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
5857breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
5950, 58anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
6059adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
61 nnuz 12864 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
62 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ 1 ∈ β„€)
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
6438mptex 7224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V)
66 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
6736ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
68 i1ff 25192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘“β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
7069ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7170an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7271recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7372fmpttd 7114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
7574ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7637ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (β„Žβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
77 i1ff 25192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„Žβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (β„Žβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (β„Žβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
7978ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8079an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8180recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8281fmpttd 7114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
8483ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8536ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ 𝑓 Fn β„•)
8637ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ β„Ž Fn β„•)
87 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
88 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) = (β„Žβ€˜π‘˜))
8985, 86, 39, 39, 40, 87, 88ofval 7680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘˜) ∘f βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜)))
9089fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (((π‘“β€˜π‘˜) ∘f βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))β€˜π‘₯))
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (((π‘“β€˜π‘˜) ∘f βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))β€˜π‘₯))
9236ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ dom ∫1)
93 i1ff 25192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘“β€˜π‘˜):β„βŸΆβ„)
94 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘“β€˜π‘˜):β„βŸΆβ„ β†’ (π‘“β€˜π‘˜) Fn ℝ)
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) Fn ℝ)
9637ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1)
97 i1ff 25192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1 β†’ (β„Žβ€˜π‘˜):β„βŸΆβ„)
98 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„Žβ€˜π‘˜):β„βŸΆβ„ β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) Fn ℝ)
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) Fn ℝ)
100 reex 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
102 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
103 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
104 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
10595, 99, 101, 101, 102, 103, 104ofval 7680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) ∘f βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))β€˜π‘₯) = (((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
10691, 105eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
107106an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
108 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›) = ((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜))
109108fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
110 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
111 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
112109, 110, 111fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
114 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘˜))
115114fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
116 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
117 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
119 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = π‘˜ β†’ (β„Žβ€˜π‘›) = (β„Žβ€˜π‘˜))
120119fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
121 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
122 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
123120, 121, 122fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
124118, 123oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„Žβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
126107, 113, 1253eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)))
127126adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)))
12861, 62, 63, 65, 66, 75, 84, 127climsub 15577 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
1291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
130129ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
131 max0sub 13174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (πΉβ€˜π‘₯))
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (πΉβ€˜π‘₯))
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) βˆ’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (πΉβ€˜π‘₯))
134128, 133breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
135134ex 413 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
13660, 135sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
137136ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
138 ovex 7441 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) ∈ V
139 feq1 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) β†’ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ↔ (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž):β„•βŸΆdom ∫1))
140 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) β†’ (π‘”β€˜π‘›) = ((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›))
141140fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
142141mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
143142breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
144143ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
145139, 144anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž) β†’ ((𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž):β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
146138, 145spcev 3596 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž):β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑓 ∘f ∘f βˆ’ β„Ž)β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
14741, 137, 146syl6an 682 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
14833, 147biimtrrid 242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1)) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
149148expimpd 454 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
15032, 149syl5 34 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
151150exlimdvv 1937 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒβ„Ž((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ (β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
15227, 151biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘“β€˜π‘›) ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘“β€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦), (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) ∧ βˆƒβ„Ž(β„Ž:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (β„Žβ€˜π‘›) ∧ (β„Žβ€˜π‘›) ∘r ≀ (β„Žβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((β„Žβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘¦), -(πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
15315, 26, 152mp2and 697 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ∘r cofr 7668  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  β„•cn 12211  [,)cico 13325   ⇝ cli 15427  MblFncmbf 25130  βˆ«1citg1 25131  0𝑝c0p 25185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-0p 25186
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  25240
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