MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2lem2 25775
Description: Lemma for itgmulc2 25776: real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgmulc2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
itgmulc2.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgmulc2lem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
21adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3 max0sub 13202 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0)) = ๐ถ)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0)) = ๐ถ)
54oveq1d 7428 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0)) ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ต))
6 0re 11241 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
7 ifcl 4570 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
81, 6, 7sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
98recnd 11267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚)
109adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚)
111renegcld 11666 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„)
12 ifcl 4570 . . . . . . . 8 ((-๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
1311, 6, 12sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
1413recnd 11267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚)
1514adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚)
16 itgmulc2.5 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716recnd 11267 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1810, 15, 17subdird 11696 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0)) ยท ๐ต) = ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต)))
195, 18eqtr3d 2767 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต)))
2019itgeq2dv 25724 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)
218adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
2221, 16remulcld 11269 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
23 itgmulc2.2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
24 itgmulc2.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
259, 23, 24iblmulc2 25773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
2613adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
2726, 16remulcld 11269 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
2814, 23, 24iblmulc2 25773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
2922, 25, 27, 28itgsub 25768 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
30 ifcl 4570 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
3116, 6, 30sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
3221, 31remulcld 11269 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆˆ โ„)
3316iblre 25736 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
3424, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1))
3534simpld 493 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
369, 31, 35iblmulc2 25773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0))) โˆˆ ๐ฟ1)
3716renegcld 11666 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
38 ifcl 4570 . . . . . . . 8 ((-๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) โˆˆ โ„)
3937, 6, 38sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) โˆˆ โ„)
4021, 39remulcld 11269 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) โˆˆ โ„)
4134simprd 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
429, 39, 41iblmulc2 25773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) โˆˆ ๐ฟ1)
4332, 36, 40, 42itgsub 25768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ))
44 max0sub 13202 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) = ๐ต)
4516, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) = ๐ต)
4645oveq2d 7429 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท (if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) = (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต))
4731recnd 11267 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆˆ โ„‚)
4839recnd 11267 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) โˆˆ โ„‚)
4910, 47, 48subdid 11695 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท (if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) = ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))))
5046, 49eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) = ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))))
5150itgeq2dv 25724 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) d๐‘ฅ)
5216, 24itgreval 25739 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ))
5352oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)))
5431, 35itgcl 25726 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5539, 41itgcl 25726 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
569, 54, 55subdid 11695 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)) = ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ) โˆ’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)))
57 max1 13191 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))
586, 1, 57sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))
59 max1 13191 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0))
606, 16, 59sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0))
619, 31, 35, 8, 31, 58, 60itgmulc2lem1 25774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ)
62 max1 13191 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))
636, 37, 62sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))
649, 39, 41, 8, 39, 58, 63itgmulc2lem1 25774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ)
6561, 64oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ) โˆ’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ))
6653, 56, 653eqtrd 2769 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ))
6743, 51, 663eqtr4d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
6826, 31remulcld 11269 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆˆ โ„)
6914, 31, 35iblmulc2 25773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0))) โˆˆ ๐ฟ1)
7026, 39remulcld 11269 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) โˆˆ โ„)
7114, 39, 41iblmulc2 25773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) โˆˆ ๐ฟ1)
7268, 69, 70, 71itgsub 25768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ))
7345oveq2d 7429 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท (if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) = (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต))
7415, 47, 48subdid 11695 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท (if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) = ((if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))))
7573, 74eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต) = ((if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))))
7675itgeq2dv 25724 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0))) d๐‘ฅ)
7752oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)))
7814, 54, 55subdid 11695 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)) = ((if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)))
79 max1 13191 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0))
806, 11, 79sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0))
8114, 31, 35, 13, 31, 80, 60itgmulc2lem1 25774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ)
8214, 39, 41, 13, 39, 80, 63itgmulc2lem1 25774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ)
8381, 82oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ))
8477, 78, 833eqtrd 2769 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) d๐‘ฅ))
8572, 76, 843eqtr4d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
8667, 85oveq12d 7431 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ) = ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
8723, 24itgcl 25726 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
889, 14, 87subdird 11696 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
891, 3syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0)) = ๐ถ)
9089oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
9186, 88, 903eqtr2d 2771 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด(if(0 โ‰ค -๐ถ, -๐ถ, 0) ยท ๐ต) d๐‘ฅ) = (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
9220, 29, 913eqtrrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4525   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133   ยท cmul 11138   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470  ๐ฟ1cibl 25559  โˆซcitg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612
This theorem is referenced by:  itgmulc2  25776
  Copyright terms: Public domain W3C validator