MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgconst 25698
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต))
21itgeq2dv 25661 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
3 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
42, 3eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ (โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) โ†” โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
5 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6 fconstmpt 5731 . . . . . . . . 9 (๐ด ร— {๐‘ฆ}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘ฆ)
7 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
8 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1110recnd 11243 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
12 iblconst 25697 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐‘ฆ}) โˆˆ ๐ฟ1)
137, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ร— {๐‘ฆ}) โˆˆ ๐ฟ1)
146, 13eqeltrrid 2832 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ฟ1)
155, 14itgrevallem1 25674 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))))
16 ifan 4576 . . . . . . . . . . . 12 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0)
1716mpteq2i 5246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))
1817fveq2i 6887 . . . . . . . . . 10 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0)))
19 0re 11217 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
20 ifcl 4568 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
2110, 19, 20sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
22 max1 13167 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0))
2319, 10, 22sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0))
24 elrege0 13434 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0)))
2521, 23, 24sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
26 itg2const 25620 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
277, 9, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
2818, 27eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
29 ifan 4576 . . . . . . . . . . . 12 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0)
3029mpteq2i 5246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))
3130fveq2i 6887 . . . . . . . . . 10 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0)))
32 renegcl 11524 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„)
34 ifcl 4568 . . . . . . . . . . . . 13 ((-๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
3533, 19, 34sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
36 max1 13167 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0))
3719, 33, 36sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0))
38 elrege0 13434 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)))
3935, 37, 38sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
40 itg2const 25620 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
417, 9, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
4231, 41eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
4328, 42oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))) = ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด))))
4421recnd 11243 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚)
4535recnd 11243 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚)
468recnd 11243 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4746adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4844, 45, 47subdird 11672 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) ยท (volโ€˜๐ด)) = ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด))))
49 max0sub 13178 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) = ๐‘ฆ)
5049adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) = ๐‘ฆ)
5150oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) ยท (volโ€˜๐ด)) = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
5243, 48, 513eqtr2rd 2773 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))))
5315, 52eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
5453ralrimiva 3140 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
55 recl 15060 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
56553ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
574, 54, 56rspcdva 3607 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
58 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต))
5958itgeq2dv 25661 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
60 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
6159, 60eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ (โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) โ†” โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
62 imcl 15061 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
63623ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
6461, 54, 63rspcdva 3607 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
6564oveq2d 7420 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
66 ax-icn 11168 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
6766a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
6863recnd 11243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
6967, 68, 46mulassd 11238 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด)) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
7065, 69eqtr4d 2769 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด)))
7157, 70oveq12d 7422 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด))))
7256recnd 11243 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
73 mulcl 11193 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7466, 68, 73sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7572, 74, 46adddird 11240 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด))))
7671, 75eqtr4d 2769 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)))
77 simpl3 1190 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
78 fconstmpt 5731 . . . 4 (๐ด ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)
79 iblconst 25697 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)
8078, 79eqeltrrid 2832 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
8177, 80itgcnval 25679 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
82 replim 15066 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
83823ad2ant3 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8483oveq1d 7419 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)))
8576, 81, 843eqtr4d 2776 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  [,)cico 13329  โ„œcre 15047  โ„‘cim 15048  volcvol 25342  โˆซ2citg2 25495  ๐ฟ1cibl 25496  โˆซcitg 25497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-xmet 21228  df-met 21229  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499  df-itg2 25500  df-ibl 25501  df-itg 25502  df-0p 25549
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25924  itgulm  26294  itgexpif  34146  ftc1cnnclem  37071  arearect  42522  areaquad  42523  wallispilem2  45336  fourierdlem87  45463  sqwvfoura  45498  etransclem23  45527
  Copyright terms: Public domain W3C validator