MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgconst 25206
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต))
21itgeq2dv 25169 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
3 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
42, 3eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ (โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) โ†” โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
5 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6 fconstmpt 5698 . . . . . . . . 9 (๐ด ร— {๐‘ฆ}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘ฆ)
7 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
8 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1110recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
12 iblconst 25205 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐‘ฆ}) โˆˆ ๐ฟ1)
137, 9, 11, 12syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ร— {๐‘ฆ}) โˆˆ ๐ฟ1)
146, 13eqeltrrid 2839 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ฟ1)
155, 14itgrevallem1 25182 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))))
16 ifan 4543 . . . . . . . . . . . 12 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0)
1716mpteq2i 5214 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))
1817fveq2i 6849 . . . . . . . . . 10 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0)))
19 0re 11165 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
20 ifcl 4535 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
2110, 19, 20sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
22 max1 13113 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0))
2319, 10, 22sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0))
24 elrege0 13380 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0)))
2521, 23, 24sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
26 itg2const 25128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
277, 9, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
2818, 27eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
29 ifan 4543 . . . . . . . . . . . 12 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0)
3029mpteq2i 5214 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))
3130fveq2i 6849 . . . . . . . . . 10 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0)))
32 renegcl 11472 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„)
34 ifcl 4535 . . . . . . . . . . . . 13 ((-๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
3533, 19, 34sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
36 max1 13113 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0))
3719, 33, 36sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0))
38 elrege0 13380 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)))
3935, 37, 38sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
40 itg2const 25128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
417, 9, 39, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
4231, 41eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
4328, 42oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))) = ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด))))
4421recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚)
4535recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚)
468recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4844, 45, 47subdird 11620 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) ยท (volโ€˜๐ด)) = ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด))))
49 max0sub 13124 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) = ๐‘ฆ)
5049adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) = ๐‘ฆ)
5150oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) ยท (volโ€˜๐ด)) = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
5243, 48, 513eqtr2rd 2780 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))))
5315, 52eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
5453ralrimiva 3140 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
55 recl 15004 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
56553ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
574, 54, 56rspcdva 3584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
58 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต))
5958itgeq2dv 25169 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
60 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
6159, 60eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ (โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) โ†” โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
62 imcl 15005 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
63623ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
6461, 54, 63rspcdva 3584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
6564oveq2d 7377 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
66 ax-icn 11118 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
6766a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
6863recnd 11191 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
6967, 68, 46mulassd 11186 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด)) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
7065, 69eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด)))
7157, 70oveq12d 7379 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด))))
7256recnd 11191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
73 mulcl 11143 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7466, 68, 73sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7572, 74, 46adddird 11188 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด))))
7671, 75eqtr4d 2776 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)))
77 simpl3 1194 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
78 fconstmpt 5698 . . . 4 (๐ด ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)
79 iblconst 25205 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)
8078, 79eqeltrrid 2839 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
8177, 80itgcnval 25187 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
82 replim 15010 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
83823ad2ant3 1136 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8483oveq1d 7376 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)))
8576, 81, 843eqtr4d 2783 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  dom cdm 5637  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  [,)cico 13275  โ„œcre 14991  โ„‘cim 14992  volcvol 24850  โˆซ2citg2 25003  ๐ฟ1cibl 25004  โˆซcitg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25426  itgulm  25790  itgexpif  33283  ftc1cnnclem  36199  arearect  41596  areaquad  41597  wallispilem2  44397  fourierdlem87  44524  sqwvfoura  44559  etransclem23  44588
  Copyright terms: Public domain W3C validator