MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgconst 25768
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต))
21itgeq2dv 25731 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
3 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
42, 3eqeq12d 2744 . . . . 5 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜๐ต) โ†’ (โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) โ†” โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
5 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6 fconstmpt 5744 . . . . . . . . 9 (๐ด ร— {๐‘ฆ}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘ฆ)
7 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
8 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1110recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
12 iblconst 25767 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐‘ฆ}) โˆˆ ๐ฟ1)
137, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ร— {๐‘ฆ}) โˆˆ ๐ฟ1)
146, 13eqeltrrid 2834 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ฟ1)
155, 14itgrevallem1 25744 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))))
16 ifan 4585 . . . . . . . . . . . 12 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0)
1716mpteq2i 5257 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))
1817fveq2i 6905 . . . . . . . . . 10 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0)))
19 0re 11254 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
20 ifcl 4577 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
2110, 19, 20sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
22 max1 13204 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0))
2319, 10, 22sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0))
24 elrege0 13471 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0)))
2521, 23, 24sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
26 itg2const 25690 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
277, 9, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
2818, 27eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
29 ifan 4585 . . . . . . . . . . . 12 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0)
3029mpteq2i 5257 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))
3130fveq2i 6905 . . . . . . . . . 10 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0)))
32 renegcl 11561 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„)
34 ifcl 4577 . . . . . . . . . . . . 13 ((-๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
3533, 19, 34sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„)
36 max1 13204 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0))
3719, 33, 36sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0))
38 elrege0 13471 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)))
3935, 37, 38sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
40 itg2const 25690 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
417, 9, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0), 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
4231, 41eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0))) = (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
4328, 42oveq12d 7444 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))) = ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด))))
4421recnd 11280 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚)
4535recnd 11280 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) โˆˆ โ„‚)
468recnd 11280 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4746adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4844, 45, 47subdird 11709 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) ยท (volโ€˜๐ด)) = ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆ’ (if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0) ยท (volโ€˜๐ด))))
49 max0sub 13215 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) = ๐‘ฆ)
5049adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) = ๐‘ฆ)
5150oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((if(0 โ‰ค ๐‘ฆ, ๐‘ฆ, 0) โˆ’ if(0 โ‰ค -๐‘ฆ, -๐‘ฆ, 0)) ยท (volโ€˜๐ด)) = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
5243, 48, 513eqtr2rd 2775 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐‘ฆ), -๐‘ฆ, 0)))))
5315, 52eqtr4d 2771 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
5453ralrimiva 3143 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)))
55 recl 15097 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
56553ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
574, 54, 56rspcdva 3612 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
58 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต))
5958itgeq2dv 25731 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
60 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
6159, 60eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐ต) โ†’ (โˆซ๐ด๐‘ฆ d๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (volโ€˜๐ด)) โ†” โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
62 imcl 15098 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
63623ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
6461, 54, 63rspcdva 3612 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)))
6564oveq2d 7442 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
66 ax-icn 11205 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
6766a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
6863recnd 11280 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
6967, 68, 46mulassd 11275 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด)) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด))))
7065, 69eqtr4d 2771 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด)))
7157, 70oveq12d 7444 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด))))
7256recnd 11280 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
73 mulcl 11230 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7466, 68, 73sylancr 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7572, 74, 46adddird 11277 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (volโ€˜๐ด)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (volโ€˜๐ด))))
7671, 75eqtr4d 2771 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)))
77 simpl3 1190 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
78 fconstmpt 5744 . . . 4 (๐ด ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)
79 iblconst 25767 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)
8078, 79eqeltrrid 2834 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
8177, 80itgcnval 25749 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
82 replim 15103 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
83823ad2ant3 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8483oveq1d 7441 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) ยท (volโ€˜๐ด)))
8576, 81, 843eqtr4d 2778 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235   ร— cxp 5680  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  ici 11148   + caddc 11149   ยท cmul 11151  +โˆžcpnf 11283   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  [,)cico 13366  โ„œcre 15084  โ„‘cim 15085  volcvol 25412  โˆซ2citg2 25565  ๐ฟ1cibl 25566  โˆซcitg 25567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-itg 25572  df-0p 25619
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25994  itgulm  26364  itgexpif  34271  ftc1cnnclem  37197  arearect  42674  areaquad  42675  wallispilem2  45483  fourierdlem87  45610  sqwvfoura  45645  etransclem23  45674
  Copyright terms: Public domain W3C validator