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Theorem itgconst 25089
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑦 = (ℜ‘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 = (ℜ‘𝐵))
21itgeq2dv 25052 . . . . . 6 (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)
3 oveq1 7344 . . . . . 6 (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
42, 3eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
5 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 fconstmpt 5680 . . . . . . . . 9 (𝐴 × {𝑦}) = (𝑥𝐴𝑦)
7 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
8 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
10 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110recnd 11104 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
12 iblconst 25088 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
137, 9, 11, 12syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
146, 13eqeltrrid 2842 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝑦) ∈ 𝐿1)
155, 14itgrevallem1 25065 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
16 ifan 4526 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)
1716mpteq2i 5197 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))
1817fveq2i 6828 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)))
19 0re 11078 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
20 ifcl 4518 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
2110, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
22 max1 13020 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
2319, 10, 22sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
24 elrege0 13287 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0)))
2521, 23, 24sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
26 itg2const 25011 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
277, 9, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
2818, 27eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
29 ifan 4526 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)
3029mpteq2i 5197 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))
3130fveq2i 6828 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)))
32 renegcl 11385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
34 ifcl 4518 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
3533, 19, 34sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
36 max1 13020 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
3719, 33, 36sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
38 elrege0 13287 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)))
3935, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
40 itg2const 25011 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
417, 9, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
4231, 41eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
4328, 42oveq12d 7355 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
4421recnd 11104 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℂ)
4535recnd 11104 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℂ)
468recnd 11104 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
4844, 45, 47subdird 11533 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
49 max0sub 13031 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
5049adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
5150oveq1d 7352 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
5243, 48, 513eqtr2rd 2783 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
5315, 52eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
5453ralrimiva 3139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
55 recl 14920 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
56553ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
574, 54, 56rspcdva 3571 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
58 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = (ℑ‘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 = (ℑ‘𝐵))
5958itgeq2dv 25052 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)
60 oveq1 7344 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
6159, 60eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
62 imcl 14921 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
63623ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
6461, 54, 63rspcdva 3571 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
6564oveq2d 7353 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
66 ax-icn 11031 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
6863recnd 11104 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
6967, 68, 46mulassd 11099 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
7065, 69eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)))
7157, 70oveq12d 7355 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
7256recnd 11104 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
73 mulcl 11056 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
7466, 68, 73sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
7572, 74, 46adddird 11101 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
7671, 75eqtr4d 2779 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
77 simpl3 1192 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
78 fconstmpt 5680 . . . 4 (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵)
79 iblconst 25088 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)
8078, 79eqeltrrid 2842 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
8177, 80itgcnval 25070 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
82 replim 14926 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
83823ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
8483oveq1d 7352 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
8576, 81, 843eqtr4d 2786 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  ifcif 4473  {csn 4573   class class class wbr 5092  cmpt 5175   × cxp 5618  dom cdm 5620  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  ici 10974   + caddc 10975   · cmul 10977  +∞cpnf 11107  cle 11111  cmin 11306  -cneg 11307  [,)cico 13182  cre 14907  cim 14908  volcvol 24733  2citg2 24886  𝐿1cibl 24887  citg 24888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-ofr 7596  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xadd 12950  df-ioo 13184  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-xmet 20696  df-met 20697  df-ovol 24734  df-vol 24735  df-mbf 24889  df-itg1 24890  df-itg2 24891  df-ibl 24892  df-itg 24893  df-0p 24940
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25309  itgulm  25673  itgexpif  32886  ftc1cnnclem  35961  arearect  41317  areaquad  41318  wallispilem2  43951  fourierdlem87  44078  sqwvfoura  44113  etransclem23  44142
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