Theorem itgconst 25089

Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itgconst

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (ℜ‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 = (ℜ‘𝐵))
2	1	itgeq2dv 25052	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)
3		oveq1 7344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
4	2, 3	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
5		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		fconstmpt 5680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × {𝑦}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑦)
7		simpl1 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
8		simp2 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
10		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		iblconst 25088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
14	6, 13	eqeltrrid 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑦) ∈ 𝐿1)
15	5, 14	itgrevallem1 25065	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
16		ifan 4526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)
17	16	mpteq2i 5197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))
18	17	fveq2i 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)))
19		0re 11078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		ifcl 4518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
21	10, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
22		max1 13020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
23	19, 10, 22	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
24		elrege0 13287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
26		itg2const 25011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
27	7, 9, 25, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
28	18, 27	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
29		ifan 4526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)
30	29	mpteq2i 5197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))
31	30	fveq2i 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)))
32		renegcl 11385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
34		ifcl 4518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
35	33, 19, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
36		max1 13020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
37	19, 33, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
38		elrege0 13287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)))
39	35, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
40		itg2const 25011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
41	7, 9, 39, 40	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
42	31, 41	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
43	28, 42	oveq12d 7355	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
44	21	recnd 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℂ)
45	35	recnd 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℂ)
46	8	recnd 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
48	44, 45, 47	subdird 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
49		max0sub 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
51	50	oveq1d 7352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
52	43, 48, 51	3eqtr2rd 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
53	15, 52	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
54	53	ralrimiva 3139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
55		recl 14920	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
56	55	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
57	4, 54, 56	rspcdva 3571	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
58		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = (ℑ‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 = (ℑ‘𝐵))
59	58	itgeq2dv 25052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)
60		oveq1 7344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
61	59, 60	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
62		imcl 14921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
63	62	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
64	61, 54, 63	rspcdva 3571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
65	64	oveq2d 7353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
66		ax-icn 11031	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
68	63	recnd 11104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
69	67, 68, 46	mulassd 11099	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
70	65, 69	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)))
71	57, 70	oveq12d 7355	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
72	56	recnd 11104	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
73		mulcl 11056	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
74	66, 68, 73	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
75	72, 74, 46	adddird 11101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
76	71, 75	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
77		simpl3 1192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
78		fconstmpt 5680	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
79		iblconst 25088	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)
80	78, 79	eqeltrrid 2842	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
81	77, 80	itgcnval 25070	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
82		replim 14926	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
83	82	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
84	83	oveq1d 7352	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
85	76, 81, 84	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4473  {csn 4573   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5175   × cxp 5618  dom cdm 5620  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  ℝcr 10971  0cc0 10972  ici 10974   + caddc 10975   · cmul 10977  +∞cpnf 11107   ≤ cle 11111   − cmin 11306  -cneg 11307  [,)cico 13182  ℜcre 14907  ℑcim 14908  volcvol 24733  ∫₂citg2 24886  𝐿¹cibl 24887  ∫citg 24888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-ofr 7596  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xadd 12950  df-ioo 13184  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-xmet 20696  df-met 20697  df-ovol 24734  df-vol 24735  df-mbf 24889  df-itg1 24890  df-itg2 24891  df-ibl 24892  df-itg 24893  df-0p 24940

This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25309  itgulm  25673  itgexpif  32886  ftc1cnnclem  35961  arearect  41317  areaquad  41318  wallispilem2  43951  fourierdlem87  44078  sqwvfoura  44113  etransclem23  44142