Theorem itgconst 25183

Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itgconst

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (ℜ‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 = (ℜ‘𝐵))
2	1	itgeq2dv 25146	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)
3		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
4	2, 3	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
5		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		fconstmpt 5694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × {𝑦}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑦)
7		simpl1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
8		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
10		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		iblconst 25182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
14	6, 13	eqeltrrid 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑦) ∈ 𝐿1)
15	5, 14	itgrevallem1 25159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
16		ifan 4539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)
17	16	mpteq2i 5210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))
18	17	fveq2i 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)))
19		0re 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		ifcl 4531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
21	10, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
22		max1 13104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
23	19, 10, 22	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
24		elrege0 13371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
26		itg2const 25105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
27	7, 9, 25, 26	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
28	18, 27	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
29		ifan 4539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)
30	29	mpteq2i 5210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))
31	30	fveq2i 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)))
32		renegcl 11464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
34		ifcl 4531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
35	33, 19, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
36		max1 13104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
37	19, 33, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
38		elrege0 13371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)))
39	35, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
40		itg2const 25105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
41	7, 9, 39, 40	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
42	31, 41	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
43	28, 42	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
44	21	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℂ)
45	35	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℂ)
46	8	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
48	44, 45, 47	subdird 11612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
49		max0sub 13115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
51	50	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
52	43, 48, 51	3eqtr2rd 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
53	15, 52	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
54	53	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
55		recl 14995	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
56	55	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
57	4, 54, 56	rspcdva 3582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
58		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = (ℑ‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 = (ℑ‘𝐵))
59	58	itgeq2dv 25146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)
60		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
61	59, 60	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
62		imcl 14996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
63	62	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
64	61, 54, 63	rspcdva 3582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
65	64	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
66		ax-icn 11110	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
68	63	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
69	67, 68, 46	mulassd 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
70	65, 69	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)))
71	57, 70	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
72	56	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
73		mulcl 11135	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
74	66, 68, 73	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
75	72, 74, 46	adddird 11180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
76	71, 75	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
77		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
78		fconstmpt 5694	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
79		iblconst 25182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)
80	78, 79	eqeltrrid 2843	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
81	77, 80	itgcnval 25164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
82		replim 15001	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
83	82	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
84	83	oveq1d 7372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
85	76, 81, 84	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386  [,)cico 13266  ℜcre 14982  ℑcim 14983  volcvol 24827  ∫₂citg2 24980  𝐿¹cibl 24981  ∫citg 24982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034

This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25403  itgulm  25767  itgexpif  33219  ftc1cnnclem  36149  arearect  41535  areaquad  41536  wallispilem2  44297  fourierdlem87  44424  sqwvfoura  44459  etransclem23  44488