Theorem itgconst 25774

Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itgconst

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (ℜ‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 = (ℜ‘𝐵))
2	1	itgeq2dv 25737	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)
3		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
4	2, 3	eqeq12d 2750	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
5		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		fconstmpt 5684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × {𝑦}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑦)
7		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
8		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		iblconst 25773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 × {𝑦}) ∈ 𝐿1)
14	6, 13	eqeltrrid 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑦) ∈ 𝐿1)
15	5, 14	itgrevallem1 25750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
16		ifan 4531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)
17	16	mpteq2i 5192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))
18	17	fveq2i 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0)))
19		0re 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		ifcl 4523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
21	10, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
22		max1 13098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
23	19, 10, 22	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0))
24		elrege0 13368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
26		itg2const 25695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
27	7, 9, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
28	18, 27	eqtrid 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
29		ifan 4531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)
30	29	mpteq2i 5192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))
31	30	fveq2i 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0)))
32		renegcl 11442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
34		ifcl 4523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
35	33, 19, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ)
36		max1 13098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
37	19, 33, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0))
38		elrege0 13368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)))
39	35, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞))
40		itg2const 25695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
41	7, 9, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0), 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
42	31, 41	eqtrid 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0))) = (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴)))
43	28, 42	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
44	21	recnd 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℂ)
45	35	recnd 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) ∈ ℂ)
46	8	recnd 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
48	44, 45, 47	subdird 11592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) · (vol‘𝐴)) − (if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0) · (vol‘𝐴))))
49		max0sub 13109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) = 𝑦)
51	50	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((if(0 ≤ 𝑦, 𝑦, 0) − if(0 ≤ -𝑦, -𝑦, 0)) · (vol‘𝐴)) = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
52	43, 48, 51	3eqtr2rd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝑦), -𝑦, 0)))))
53	15, 52	eqtr4d 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
54	53	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)))
55		recl 15031	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
56	55	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
57	4, 54, 56	rspcdva 3575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
58		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = (ℑ‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 = (ℑ‘𝐵))
59	58	itgeq2dv 25737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → ∫𝐴𝑦 d𝑥 = ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)
60		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (𝑦 · (vol‘𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
61	59, 60	eqeq12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝐵) → (∫𝐴𝑦 d𝑥 = (𝑦 · (vol‘𝐴)) ↔ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
62		imcl 15032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
63	62	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
64	61, 54, 63	rspcdva 3575	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴)))
65	64	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
66		ax-icn 11083	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
68	63	recnd 11158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
69	67, 68, 46	mulassd 11153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)) = (i · ((ℑ‘𝐵) · (vol‘𝐴))))
70	65, 69	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴)))
71	57, 70	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
72	56	recnd 11158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
73		mulcl 11108	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
74	66, 68, 73	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
75	72, 74, 46	adddird 11155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) · (vol‘𝐴)) + ((i · (ℑ‘𝐵)) · (vol‘𝐴))))
76	71, 75	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
77		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
78		fconstmpt 5684	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
79		iblconst 25773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)
80	78, 79	eqeltrrid 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
81	77, 80	itgcnval 25755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
82		replim 15037	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
83	82	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
84	83	oveq1d 7371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) · (vol‘𝐴)))
85	76, 81, 84	3eqtr4d 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4477  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  ici 11026   + caddc 11027   · cmul 11029  +∞cpnf 11161   ≤ cle 11165   − cmin 11362  -cneg 11363  [,)cico 13261  ℜcre 15018  ℑcim 15019  volcvol 25418  ∫₂citg2 25571  𝐿¹cibl 25572  ∫citg 25573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xadd 13025  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-xmet 21300  df-met 21301  df-ovol 25419  df-vol 25420  df-mbf 25574  df-itg1 25575  df-itg2 25576  df-ibl 25577  df-itg 25578  df-0p 25625

This theorem is referenced by:  ftc1lem4  26000  itgulm  26371  itgexpif  34712  ftc1cnnclem  37831  arearect  43399  areaquad  43400  wallispilem2  46252  fourierdlem87  46379  sqwvfoura  46414  etransclem23  46443